O tem, da za seštevanje obstajata dva (glavna) postopka in da eden ne more nadomestiti drugega, sem že pisal, zato le na kratko povzamem: Seštevanje v vrsti je močno povezano z razumevanjem koncepta (desetiške enote, mestnovrednostni koncept), medtem ko je seštevanje v stolpcu zgolj na pamet naučen matematični postopek. Za prvega bi lahko rekli, da je »človeku bolj prijazno« in ga lahko izvajamo tudi ustno, medtem ko je drugi primeren zgolj za pisno računanje. Slednji tudi ni preveč perspektiven, saj računanje v taki obliki vse bolj prevzemajo računalniki. Zato povejmo raje nekaj več o seštevanju v vrsti in sicer tistem »na pamet«. Ustno seštevanje je vsekakor koristno usvojiti, saj je hitrejše, pa še zvezka in pisala nimamo vedno pri roki. Na primer v trgovini, ko lovimo znesek 20 evrov, da bi si pridobili bonus, a ne želimo iti niti centa čez. ;) Zna pa biti za marsikoga zahtevnejše od pisnega računanja, se ga velja lotiti postopoma. Na začetku v vrsti lahko seštevamo pisno. Najprej seštejemo posamezne desetiške enote, nato pa še vse skupaj: Ko zadevo obvladamo že nekoliko bolje, si pa lahko zapišemo le še vmesne zneske (recimo najprej le vsoto stotic, ki ji nato dodamo vsoto desetic in nazadnje prištejemo še enice), ostalo pa poskusimo izračunati ustno. Z ustnim seštevanjem se naučimo tudi t.i. »inženirskega računanja«, kjer je velikokrat potrebno narediti hitre ocene rezultata. V dolgi vrsti v trgovini za to sicer ni potrebe, a vseeno. :)
Za konec pa bi poudaril še eno prednost seštevanja v vrsti, to je večja svoboda pri računanju. Za marsikoga to sicer niti ni ne vem kakšna prednost, saj od nas zahteva »skok iz cone udobja«. Na drugi strani se moramo pri seštevanju v stolpcu strogo držati postopka, kar po svoje pomeni določeno stopnjo varnosti, težava pa nastane, če postopek pozabimo. Če poznamo koncept, si pri seštevanju pomagamo lahko tudi kako drugače, recimo z izposojanjem številskih enot, dopolnjevanjem do desetice ipd. Seštevanje v vrstici bi lahko poimenovali kar »kreativno seštevanje«. V učbenikih so take naloge ponavadi označene s »Spretno izračunaj ...« Pri teh vam bo kalkulator prej v napoto kot v korist. ;)
0 Comments
V tokratnem prispevku najprej vprašanje za vas. Na spodnji sliki je isti račun rešen na dva načina. Za katerega menite, da je boljši oziroma lažji, bolj razumljiv in si ga je lažje zapomniti ter za dlje časa? S čim vas en ali drug postopek "prepričata"? V nadaljevanju si bomo oba podrobneje ogledali. Seštevanje "v vrsti" Seštevanje "v vrsti" (včasih slišimo tudi izraz "vodoravno seštevanje") se bo mogoče komu zdelo zastarelo. Starši se verjetno v večini spomnimo predvsem drugega načina ("v stolpcu"), a prvi v sebi skriva več, kot si morda predstavljamo. Tovrsten postopek je namreč osnova za dejansko razumevanje tega, kar se pri tem računskem postopku dogaja s števili - razumevanje koncepta seštevanja. Pri seštevanju v vrsti najprej seštejemo velike desetiške enote, nato pa po vrsti vedno manjše. V našem primeru seštevamo tri dvomestna števila, tako da najprej seštejemo vse tri desetice (označene rdeče), zatem pa še vse tri enice (označene modro). Na ta način možgane razbremenimo razmišljanja pri prehodu čez desetico. 60 + 19 je recimo opazno lažji račun, kot pa 25 + 36 + 18. Če tudi krajši zapis za nas pretrd oreh, ga lahko še nadalje poenostavimo. V našem primeru: 60 + 19 = 60 + 10 + 9. Druga poenostavitev pride v poštev recimo pri kakšnem prehodu čez stotico, tisočico ... Recimo v primeru 90 + 14. Veliko lažje je k 100 prišteti 4 kot pa k 90 prišteti 14. Miselni tok seštevanja je pri tem postopku zelo podoben računanju "na pamet", kar verjetno večina od nas počne na primer v trgovini, ko sproti računamo, koliko je vredno blago, ki ga zlagamo v nakupovalni voziček. Seštevanje "v stolpcu"
Seštevanje "v stolpcu" marsikomu izgleda enostavneje od seštevanja "v vrsti", a nima kaj dosti skupnega z razumevanjem koncepta seštevanja. Glavna težava omenjene metode je seštevanje "z napačnega konca", vsaj kar se številskih predstav tiče. Pri seštevanju v stolpcu namreč računamo od desne proti levi oziroma od manjših desetiških enot proti večjim, kar po domače povedano "ni možganom prijazno". Miselni tok gre pri računanju "na pamet", ki zahteva (in tudi vzpodbuja) dobre številske predstave, večinoma v obratni smeri. Spomnimo se štetja denarja. Pri tem je lažje najprej sešteti večje vrednosti in nato prišteti še drobiž, kot pa obratno. Pri računanju "v stolpcu" poseben postopek s "prenašanjem naprej" omogoča, da števila zlahka seštejemo, tudi če številskih predstav (še) nimamo dobro razvitih. To na prvi pogled izgleda obetavno, a je na dolgi rok zelo problematično. Otrok, ki nima dobro razvitih številskih predstav, bo sicer nekaj časa lahko še uspeval v matematiki, a bo učenja "na pamet" vedno več, napake pa vedno bolj izrazite. Na neki točki lahko preprosto zaide v slepo ulico, iz katere pa je pot zelo naporna. "Znak za alarm" pri razumevanju je recimo lahko že nepravilno podpisovanje (pravilno je enice pod enice, desetice pod desetice ...) ali napačno "prenašanje" pri prehodu čez desetico (recimo prenos enice namesto desetice). Težava nastane tudi, če postopek pozabimo. Brez dobrih številskih predstav ga bomo zelo težko ponovno priklicali iz spomina. V času pred razcvetom žepnih računalnikov je bil ta postopek praktično edini način za hitro seštevanje večmestnih števil, danes pa so ga v večini nadomestili računalniški algoritmi, zato bo v prihodnosti vedno manj pomemben. V našem primeru najprej seštejemo (modre) enice. Rezultat je 19, kar pomeni, da 9 zapišemo, desetico (1, zapisana z manjšo pisavo) pa "nesemo naprej" v stolpec levo ter jo prištejemo k seštevku desetic (2 + 3 + 1 = 6), skupaj torej 7. In dobimo rezultat 79. Več, kot si mislite. Pa s tem ne mislim zgolj preprek, zastojev in slabe volje. :) Zaenkrat se osredotočimo na izraze, ki vsebujejo osnovne štiri računske operacije (seštevanje, odštevanje, množenje, deljenje ) in oklepaje. Da bo razlaga bolj življenjska, potegnimo vzporednico z gradnjo avtoceste. Tako kot je pri gradnji avtoceste najprej potrebno utrditi peščeni teren, se pri reševanju računskih izrazov najprej lotimo oklepajev. V izrazih sledi množenje in deljenje, "na terenu" pa polaganje asfalta. Na koncu izraza preostanek še seštejemo oziroma odštejemo, na našem asfaltu pa narišemo črte. Pozor! Tako kot črt ne rišemo, če asfalt še ni položen, mora tudi seštevanje in odštevanje počakati, dokler ne končamo z množenjem in deljenjem. No ... ob tej trditvi se bo hitro nekje pojavil brihtnež, ki bo dejal: "Kaj pa računi, ki ne vsebujejo množenja in deljenja?" A brez skrbi, tudi zanj imam odgovor - vsak člen lahko pomnožimo z ena in imamo množenj, kar jih hočemo, rezultat pa se zaradi tega ne bo prav nič spremenil, mi bi tako v predzadnji vrstici recimo lahko zapisali 30∙1 - 7∙1 :) A brez skrbi, na šolskih testih se bo vedno nekje našlo kakšno množenje ali deljenje. Ponovimo še vse skupaj: pesek, asfalt, črte oziroma oklepaji, krat/deljeno, plus/minus. Ni težko, kajne? ;) Na začetku sem dejal, da se bomo osredotočili na izraze, ki vsebujejo zgolj seštevanje, odštevanje, množenje, deljenje in oklepaje. Če se v izrazu recimo pojavijo še potence, si zanje na sliki preprosto zamislimo še eno plast materiala. Veste, kje bi se ta plast nahajala?
Pa še dve vprašanji za "brihtne glavce"
Verjetno se nihče ne bi branil "nevidne sile", ki bi ga rešila vsakič, ko bi zašel v težave. Verjeli ali ne, v matematiki taka "sila" dejansko obstaja. To je število 1, ki ga v redovalnici seveda ne maramo, :) v matematičnem zvezku pa pride še kako prav.
Število 1 imenujemo tudi enota (oziroma nevtralni element) za množenje, to pa zato, ker je rezultat množenja katerega koli števila z 1 kar število samo (če koga zanima več o tem, lahko pokuka sem). Zakaj "nevidna"? Oglejmo si izraz ab. Ta izraz lahko pomnožimo z 1 tolikokrat, kot želimo, pa bo še vedno enak 1: ab⋅1 = ab⋅1⋅1 = ab⋅1⋅1⋅1 = ... = ab Ker vemo, da množenje nekega člena (če se sprašujete, kaj je to člen, lahko na hitro pokukate sem) z 1 samega člena ne spremeni, enice nima smisla pisati, dobro pa je vedeti, da je tam. :) Kateremu faktorju pripada minus? Člen -ab sestavljata dva faktorja, predznak pa nam sporoča, da je ta člen negativen. Kateremu faktorju pripada minus? Načeloma lahko pripada a-ju ali pa b-ju (saj poznate tisto: plus in minus pri množenju vrne minus ...), da se ne bomo kregali, pa lahko rečemo tudi nobenemu. :) Kako? Pomnožimo vse skupaj še z 1 in dobimo. -1ab oziroma (-1)ab. Tu pa se lepo vidi, da je minus "ukradla" enica. Ti, ti, enica :) Kako pri razstavljanju izrazov "ukalupiti" enačbo? Enačba za razliko kvadratov se glasi: a²-b² = (a+b)(a-b) Kaj pa, če imamo v izrazu recimo a²-1? Desni člen lahko mirno pomnožimo z 1 in dobimo: a²-1² To pa je že lažje, kajne? :) Podobno lahko storimo tudi z izrazom -a²+b². V enačbi je prvi člen pozitiven, drugi pa negativen, mi pa imamo ravno nasprotno situacijo. Tokrat z 1 pomnožimo kar oba člena: -1a²+1b², nato pa izpostavimo (-1): -1(a²-b²) in v oklepaju dobimo to, kar želimo. :) Če postopka ne razumemo, nam ta predstavlja zgolj skupek navodil brez pomena. Če se med računanjem zmotimo, večinoma tega niti ne opazimo, ko pa se »zatakne«, nam pa ne preostane drugega, kot da vse skupaj pustimo in gremo reševat naslednjo nalogo. Ob razumevanju koncepta, ki se »skriva« za postopkom, pa lahko hitro opazimo, če gre kaj narobe, najpomembnejše pa je to, da se v primeru težav lahko sami »rešimo«. Oglejmo si postopek pisnega množenja z dvomestnim številom. Za primer vzemimo račun 123 · 45. Pri pisnem množenju 123 najprej množimo s 4, nato pa še s 5: Zakaj je spodnja vrstica (množenje s 5) zamaknjena v desno? V bistvu ni, ker je zgornja zamaknjena v levo. :) Zakaj? Zato, ker množenje s 4 v bistvu ni množenje s 4, ampak s 40 (več o tem nekoliko kasneje). S tem namenom sem na skrajno desno stran zgornje »zelene« vrstice tudi zapisal ničlo, a narahlo, saj jo (vsaj v naših šolah) ne pišemo. Prištevanje 0 v zadnjem koraku postopka, do katerega še pridemo, namreč ne spremeni končnega rezultata. Če je 123 · 4 enako 492, je 123 · 40 enako 4920, saj z 10 preprosto množimo tako, da na desni strani prvega faktorja pripišemo ničlo, 123 · 5 pa je 615. Na koncu »zeleni« vrstici še seštejemo in celotni račun se glasi: Zakaj moramo »zelena« zmnožka sešteti? Distributivnostni zakon pravi, da je zmnožek vsote dveh števil s tretjim številom enak vsoti posameznih zmnožkov prvih dveh števil s tretjim številom. Zapleteno? Prav imate. Zato sem o tem pripravil posebno razlago, kjer vam bo postalo vse jasno. :) Če število 45 razdelimo na desetice in enice, dobimo vsoto dveh števil iz našega zakona (ja, tistega, z neznansko zapletenim imenom :) ), števili med črtama pa sta posamezna zmnožka, za katera vemo, da ju moramo na koncu sešteti. In točno to v postopku tudi naredimo. Zapis z upoštevanjem distributivnostnega zakona se tako glasi: Dodatna vprašanja:
Naslov izgleda zapleteno, pri razlagi pa se bom potrudil, da ne bo tako :) Za pisno deljenje z dvomestnim številom obstaja več metod (za eno izmed njih sem posnel tudi video), tokrat pa si oglejmo metodo s približki. Metoda je primerna predvsem za delitelje z majhno oziroma veliko vrednostjo enice, saj je tu relativna napaka majhna in nam ne bo potrebno toliko radirati. Zakaj, si lahko ogledate tule, kjer sem to metodo uporabil pri delitelju 14 in sem imel kar veliko dela :) Mi pa izračunajmo naslednji račun: 279 : 31 Najprej ugotovimo, s kolikšnim delom deljenca pričeti računanje. Ker 31 ne gre v 27 niti enkrat, moramo vzeti vse 3 števke deljenca, zato »kljukice« (z njo ločimo del deljenca, na katerem izvajamo operacije, od preostalega dela) ne bomo potrebovali, s podpisovanjem pa bomo začeli pod enico deljenca. Za matematične navdušence (ostali lahko nadaljujete v naslednjem odstavku): Načeloma bi lahko začeli tudi le z dvema števkama najvišje mestne vrednosti (2 in 7), a bi bila prva števka količnika 0 (števka z najvišjo mestno vrednostjo), za 0 pred številom pa vemo, da je vseeno, če ga ni (za ničlo na najnižji mestni vrednosti pa seveda vemo, da mora biti tam). Računanje bomo torej pričeli z »delnim« računom 279:31 (v našem primeru je to kar celoten račun). Sedaj vas pa verjetno že zanima, kje se skriva približek iz naslova in zakaj ga sploh uporabimo. 279:31 je razmeroma težak račun, če pa 279 zaokrožimo na 280, 31 pa na 30, dobimo: 280 : 30 Če tako deljenec kot delitelj delimo z 10, se račun ne spremeni, zato dobimo nov, lažji račun: Spomnimo se na krajšanje ulomkov, za katere vemo, da so v bistvu računi deljenja: Tu lahko uporabimo znanje poštevanke, saj vemo, da je 9·3 enako 27, 10·3 pa 30. 28 je malo nad 27, torej lahko rečemo, da je 28:3 enako 9 »in še malo zraven«. Na tem mestu ne smemo pozabiti, da naš račun ni 28:3, ampak 279:31, zato računamo naprej na »originalnem« računu. Približek smo uporabili samo zato, da smo lažje ugotovili, približno (!) kolikokrat gre 31 v 279. Ker je 28 nekaj več kot 9·3 (oziroma 280 nekaj več kot 9·30), za 31 lahko rečemo, da gre približno 9-krat v 279 in zapišemo prvo števko količnika: 279 : 31=9? Ker smo prvo števko količnika ("uporabili" smo že celotni deljenec, zato je ta edina) zgolj ocenili, še nismo prepričani, da je prava, jo je potrebno preveriti z obratno računsko operacijo - množenjem (če število delimo in nato množimo z istim številom, dobimo nazaj prvotno število). Pozor: tega preverjanja z množenjem ne smemo mešati z množenjem v preizkusu, ki sledi na koncu računa, saj tu preverjamo vsako števko količnika posebej, v preizkusu pa celoten račun. Pa preverimo: 1·9 je 9 in nič ne manjka več do 9, zato pod enico deljenca zapišemo 0. 3·9 je 27 in nič ne manjka več do 27, zato tudi pod desetico deljenca zapišemo 0. Ostanka ni, saj je 31·9 enako 279, kar kasneje seveda lahko preverimo tudi s preizkusom. 279 deljeno z 31 je torej res 9. Ker sta bila naša približka (280 in 30) relativno blizu "originalnima" vrednostma (279 in 31), nam je "uspelo" že v prvem poskusu, sicer pa bi morali še malo radirati :)
Za konec še nekaj vprašanj za razmislek:
Včasih nam kaj nikakor noče in noče "iti v glavo", zato se je potrebno spomniti kakšne "zvijače". Tu nikakor nimam v mislih kakšnega nelegalnega početja (plonkanje ...), pretentati je potrebno naše možgane :) Asociacije in kratke zgodbice so kot nalašč za to.
Premica ne more stati na točki oziroma premica ne more biti element na točki, tako kot se slon ne more usesti na muho :) Zato ne pišimo p ∈ A, ampak A ∈ p. Kaj dela mimobežnica? Beži mimo krožnice, kajpak :) Kaj pa dotikalnica? Ta se je pa dotika. Sekanta jo pa - seveda - seka. Kaj je razlika med sekanto in tetivo? Sekanta je ravna nitka, ki seka krožnico, tetivo pa dobimo, ko z ostrim rezilom (krožnico) odrežemo odvečna dela na levi in desni, tako kot pri krpanju nogavic :) Če imaš pri risanju geometrijskega lika nekje podano le dolžino neke stranice, ne pa tudi njene smeri, uporabi šestilo. Zamisli si, da stojiš na mestu, kamor zapičiš konico šestila, nato pa se z daljnogledom, ki "nese" do točno določene dolžine, ozreš na vse strani okoli sebe. Ni vrag, da v določeni smeri ne ugledaš iskanega cilja ;) Če imaš pri risanju geometrijskega lika podano višino, nariši cesto, katere širina je enaka višini. Pri risanju geometrijskega lika išči podatke, ki se "tiščijo skupaj". Zadeve bodo najbolj "pod kontrolo", če začneš pri podatku, ki je "v zlati sredini" :) Prav ste slišali, kar s kladivom se je bomo lotili - metaforično seveda :) Omenjen pristop oziroma način razmišljanja utegne koristiti pri enačbah, ki vsebujejo "mešanico" osnovnih računskih operacij - vsaj eno seštevanje oziroma odštevanje ter vsaj eno množenje oziroma deljenje. Tak primer je recimo naslednja enačba: 3x + 2 - 6 = 5 Bistvo vsake enačbe je, da izrazimo oziroma "osvobodimo" neznanko, v našem primeru x. Če imamo preprosto enačbo, ki vsebuje le seštevanje in/ali odštevanje, preprosto uravnovesimo levo in desno stran tako, da bo na eni strani ostala le še neznanka. V našem primeru pa je neznanka pomnožena s faktorjem 3, zato bo potrebno za njeno "osvoboditev" nekoliko več napora. Osredotočimo se stran, ki vsebuje enačbo, v našem primeru na levo. Predstavljajmo si, da je ta izraz veriga: Naša veriga vsebuje 3 člene in kot nalašč, se tudi deli izraza na levi imenujejo členi. Po domače povedano, so členi "gmote" črk in/ali števil, ki so med seboj povezane s plusi in minusi. Več o členih si lahko preberete tule. Členi verige, ki ne vsebujejo iskane spremenljivke, so krhki in bodo odpadli najprej. Enačbo bomo rešili s postopkom istočasnega izvajanja računskih operacij na obeh straneh enačbe hkrati, ki je še najbolj pravilen način reševanja (t.i. "metanja" čez enačaj matematiki ne marajo preveč :) ). Pri tem si bomo pomagali z navpično črto na desni strani zvezka. Kar bomo pisali desno od te črte, si lahko predstavljamo kot komentar, ki nam bo prišel prav, ko bomo čez čas pregledovali svoje zapiske. Komentiranje je zelo razširjeno pri programiranju, še posebej, če programsko kodo piše več ljudi. Znebimo se najprej šestice. To storimo tako, da na obeh straneh enačbe prištejemo 6, saj je 6 na levi negativna (levo od nje stoji minus). 6 na levi tako nimamo več, na desni pa smo petici prišteli 6 in dobili 11. "Zelenega" člena na levi ni več, tako v računu, kot v verigi. Sedaj se znebimo še dvojke na levi, s tem, da na obeh straneh enačbe odštejemo 2, saj je 2 pozitivna (levo od nje stoji plus). Sedaj tudi 2 na levi nimamo več. Na desni pa smo 1 odšteli 2 in dobili 9. "Modrega" člena na levi ni več, tako v računu, kot v verigi, ostal je le še "rdeči" člen, ta, ki vsebuje iskano spremenljivko (x): Če iskano spremenljivko želimo "osvoboditi", moramo uporabiti kladivo :) V resnici ne bomo uporabili kladiva, želimo samo poudariti, da ima računska operacija deljenja, ki jo bomo sedaj izvedli na obeh straneh enačbe, večjo "moč" od seštevanja in odštevanja, ki smo ju izvedli v prejšnjih dveh korakih. Enako "moč" kot deljenje ima tudi množenje. In še nekaj zelo pomembnega: Orodje z največjo močjo uporabimo vedno na koncu. Tako kot v računalniških igricah ali pri kosilu - najboljše pustimo za konec :) Obe strani enačbe delimo s 3 in dobimo rezultat: To seveda ni univerzalen način reševanja enačb, si pa lahko z njim pomagamo pri "prvih korakih".
Mogoče kdo vpraša: "Kaj pa, če je neznanka v več členih?" V tem primeru pa take člene lahko združimo: 2x + 3x + 5 = 20 5x + 5 = 20 Seveda bi tudi našo enačbo lahko rešili hitreje; če nam negativna števila ne povzročajo težav, lahko zapišemo: 3x + 2 - 6 = 5 3x - 4 = 5 Kaj so to številska drevesa? Po domače povedano so to drevesa, na katerih namesto jabolk rastejo števila, obrnjena pa so z glavo navzdol. Vam je zdaj kaj bolj jasno? Manj? :) Pravijo, da slika pove več kot 1000 besed, zato si poglejmo primer. Razdelimo število 123 na desetiške enote in ga zapišimo v obliki: Predstavitev števila na tak način nam olajša računanje "na plus in minus", recimo:
Število lahko zapišemo tudi v obliki prafaktorjev. Pri nas razcep števila na prafaktorje v šolah običajno učijo na način z navpično črto (nekajkrat smo ga uporabili tudi v naših video vsebinah), v tujini pa se ga lotijo tudi takole (angl. izraz "factor tree"): Razcep izvajamo s postopnim "drobljenjem" števila, na podlagi poznavanja poštevanke. Za 24 vemo, da je 8 krat 3. 3 je že praštevilo, zato se tu veja konča, 8 pa delimo naprej, vse dokler ne pridemo še do preostalih prafaktorjev. Drevo bi lahko npr. začeli tudi s "6 krat 4"; v tem primeru bi bila struktura drevesa drugačna, na koncu pa bi dobili iste prafaktorje kot na zgornji sliki. Predstavitev števila na tak način nam olajša računanje "na krat in deljeno" ter še kar nekaj drugih računskih operacij, ki iz omenjenega izhajajo, recimo:
S pomočjo praštevilske faktorizacije si močno poenostavimo tudi iskanje najmanjšega skupnega večkratnika, največjega skupnega delitelja ter najmanjšega skupnega imenovalca ulomkov. Če združimo tako zapis v obliki desetiških enot kot razcep na prafaktorje, pa si lahko pomagamo tudi pri računskih izrazih in deljenju z ostankom. Za boljšo preglednost in ločevanje vrst dreves se dogovorimo še za označevanje:
Omenjeno znanje nam pomaga tudi pri računanju na pamet, ki je ob hitrem preverjanju pravilnosti rezultatov na koncu pisnih testov praktično nepogrešljivo. Oglejmo si nekaj primerov tovrstnega računanja. Seštevanje brez prehoda Na podlagi drevesnega zapisa hitro ugotovimo:
Seštevanje s prehodom Desetice enostavno seštejemo:
V našem primeru smo si ogledali prehod čez desetico. Na podoben način bi si lahko pomagali tudi pri prehodu čez stotico, tisočico ... Odštevanje brez prehoda Na podlagi drevesnega zapisa hitro ugotovimo:
Odštevanje s prehodom Če ne bi imeli prehoda, bi preprosto odšteli desetice in enice, tako kot v prejšnjem primeru. A Ker računa "3 - 6" v okviru naravnih števil ne moremo izračunati, smo enico odštevanca (6) razdelili še naprej in sicer tako, da se del le-te ujema z enico zmanjševanca (3, obarvano rumeno). Račun nato izračunamo postopoma:
Dodatek: Če nalogo razširimo na cela števila, si lahko pomagamo s "trikom", ki je razložen tule. Množenje Če oba faktorja razcepimo na prafaktorje, rezultat lahko preprosto zapišemo v obliki potenc:
Rezultat lahko razmeroma hitro dobimo tudi z množenjem praštevil, kjer upoštevamo:
V našem primeru bi tako izračunali:
Do rezultata seveda lahko pridemo tudi s pisnim množenjem, kjer pa si s številskimi drevesi lahko pomagamo le v manjši meri. Deljenje Tako kot smo pri odštevanju ločeno odšteli desetice in enice, lahko pri deljenju enako storimo s prafaktorji, ki smo jih dobili s praštevilskim razcepom deljenca (24) in delitelja (8), saj je koncept odštevanja in deljenja zelo podoben. Račun izračunamo postopoma:
Za razmislek: Ob upoštevanju, da je deljenje je isto kot krajšanje ulomkov, s pomočjo številskih dreves skušaj okrajšati ulomek 24/8. Delno korenjenje Če število pod korenom razcepimo na prafaktorje, ga lahko zapišemo v obliki potenc:
Končni rezultat je torej: √72 = √2²∙2∙3² = 2∙3√2 Pod korenom je ostal prafaktor 2, ker "nima svojega para". 20 + ☐ - 10 = 40
Saj poznate tale tip naloge, kajne? :) Kako najlažje ugotoviti, kaj je potrebno vpisati v okvirček? Enačaj nam pri tem lahko močno pomaga. Kaj pomeni "je enako"? Dobesedno pomeni "je enako" :) In kaj je enako? Seštevek števil na levi in na desni. No, na desni nam niti računati ni potrebno, ker imamo le eno število :) Opomba: govora je o seštevku, števil na levi strani. Zraven seveda štejemo tudi odštevanje, ki je v bistvu prištevanje nasprotnih števil. Računali bomo torej le na levi strani. Zapišimo levo stran računa še "v barvah", da bo lažje razumljiv: 20 + ☐ - 10 = 40 Pri "barvanju" smo upoštevali, da znak za računsko operacijo vpliva na število, ki mu sledi (na desni) in ne na število pred njim oziroma (na levi). Več o tem si lahko preberete tule. Ljudje smo (večinoma) narejeni tako, da se najprej lotimo tistega, kar poznamo, šele nato pa neznanega. Tudi tu bomo naredili tako. Komur okvirček ni všeč, račun lahko zapiše tudi takole: 20 + ? - 10 = 40 "Naberimo" torej na levi strani skupaj tisto, kar poznamo ... 20 - 10 ... in izračunajmo: 20 - 10 = 10 Kaj nam je torej do sedaj uspelo narediti? Na levi strani smo združili znano in dobili: 10 + ☐ = 40 Tole je pa že kanček lažje, kajne? :) Zopet se spomnimo na enačaj, ki nam pove, da mora biti rezultat na levi strani enak rezultatu na desni. Če imamo na levi strani 10, na desni pa 40, nam na levi nekaj manjka. Koliko moramo torej dodati na levi strani, da dobimo isto, kot imamo na desni? Odgovor je 30, saj velja 10 + 30 = 40 Opomba: Sklepali bi lahko tudi, da imamo na desni strani 30 preveč, kar je sicer pravilno, a potem računa ne bi mogli rešiti, saj se okvirček nahaja na levi in ne na desni strani. V okvirček tako zapišemo 30 in celoten račun se glasi: 20 + 30 - 10 = 40 Če naredimo preizkus, na levi strani res dobimo 40. Še nasvet za konec: Namesto (abstraktnih) števil lahko pri enačenju uporabimo tudi konkretne pripomočke - štejemo kocke, kroglice, denar ... ali pa tehtamo. |
ARHIV
December 2023
KATEGORIJE
All
|