Ste se kdaj "zataknili" pri definicijskem območju ali zalogi vrednosti?

Govorimo seveda o funkcijah, takih in drugačnih, vsaki z zvrhanim košem lastnosti :) Da pred tablo ali na pisnem testu ne boste "debelo gledali", vam predstavimo nekaj idej, kako funkciji določiti lastnosti na čim lažji način.

Definicijsko območje

Začnimo z definicijskim območjem, ki smo ga malo prej že omenili. Kot vemo, funkcija preslika neodvisno spremenljivko (največkrat je to x) v odvisno spremenljivko (običajno y). In definicijsko območje pomeni tiste vrednosti x, ki se bodo preslikale v y. Jap, ne pridejo vedno vse na vrsto za preslikavo ;)

Definicijsko območje si je najlažje predstavljati na grafu funkcije. Zamislite si, da ste možak na spodnji sliki. Hodite po abscisi koordinatnega sistema (to je x os) od leve proti desni strani (v tej smeri tudi pišemo). Pri hoji se ozirate navzgor in navzdol, če boste kje videli funkcijo. Del poti, kjer je funkcija vidna, pobarvate z zeleno (tako kot je označeno na spodnji sliki). Interval, ki ste ga narisali (obarvan zeleno), je definicijsko območje funkcije:

Naj omenimo še to, da točke, kjer graf iz padanja preide v naraščanje (in obratno), ne spadajo v intervale naraščanja oz. padanja, zato so oklepaji v zapisu intervalov vedno okrogli.

Ne pozabimo: če graf "pride iz neskončnosti" oziroma "gre v neskončnost", moramo pa tako ali tako uporabiti okrogli oklepaj!

Omejenost

Funkcija je lahko omejena navzgor, navzdol ali pa kar v obe smeri (in ne na levo in desno, kot se včasih kdo rad zmoti).

Vsi ste že kdaj merili svojo višino. Če ne drugače, so vas izmerili na sistematskem pregledu. Na podoben način lahko "izmerimo" tudi funkcijo, s to razliko, da ne bomo podali njene višine, ampak le najnižjo in najvišjo točko.

Zopet si pomagajmo z grafom funkcije. Zamislimo si dve veliki pokrovki (na sliki rdeče barve), med kateri "ulovimo" funkcijo. Zakaj ravno pokrovki? Zato, da bo zares "odbito" in si boste zato bolj zapomnili :)

Položaj spodnje pokrovke na navpični (y) osi nam pove spodnjo mejo funkcije (označimo jo z malo črko m), položaj zgornje pokrovke na y osi pa nam pove zgornjo mejo funkcije (označimo jo z veliko črko M).

Včasih se zgodi, da funkcije ne moremo "ujeti v pokrovko". V tem primeru funkcija navzdol oz. navzgor ni omejena. Kakšne niso omejene navzgor, druge navzdol, se pa najdejo tudi take, ki sploh niso omejene.​

Pozitivnost in negativnost

Poglejmo, pri katerih vrednostih x je funkcija pozitivna oziroma negativna. Tudi tu vrednosti spremenljivke podajamo v obliki intervalov ("vodoravni" intervali, obarvani zeleno)

Spomnimo se poglavja o definicijskem območju, kjer se je zelen možak oziral navzgor in navzdol ter preverjal, kje je funkcija vidna. Takrat ga ni zanimalo, ali je funkcija nad ali pod njim, sedaj pa je to pomembno (zato smo možaku glavo obarvali rdeče). Kadar je funkcija nad možakom, je le-ta pozitivna, kadar pa je pod njim, pa je negativna:

Točke, kjer graf seka x os, ne spadajo v intervale pozitivnosti oz. negativnosti (uporabimo okrogli oklepaj!), saj tam funkcija ni ne pozitivna in ne negativna, ampak je njena vrednost enaka nič. Te točke imenujemo ničle funkcije. K njim se še vrnemo v nadaljevanju.

​Ne pozabimo: Če graf "pride iz neskončnosti" in/ali "gre v neskončnost", moramo na začetku prvega in/ali na koncu zadnjega intervala uporabiti okrogli oklepaj!

Ničle funkcije

Nekaj vrstic nazaj smo iskali vrednosti (neodvisne) spremenljivke x, pri katerih je funkcija pozitivna oziroma negativna. In kakšno vrednost ima funkcija, če ni niti pozitivna, niti negativna? Nič, seveda :)

Točke, v katerih ima funkcija vrednost 0, imenujemo ničle funkcije. Nahajajo se na abscisni (x) osi koordinatnega sistema.

Ne pozabimo: v ničlah je y enak 0, medtem ko vrednost "ničle" pove x!

Na grafu ničle funkcije izgledajo kot neki kamni na zeleni poti (vodoravna x os), ob katere se spotika naš možic, ki smo ga že kar nekajkrat srečali:

V ničli graf seka ali pa se dotika (zeleno označene) x osi. Graf seka x os v ničlah "lihega reda" (stopnje 1,3,5,...), dotika se ga pa v ničlah "sodega reda" (stopnje 2,4,6,...).

V našem primeru sta ničli dve. Prva ima vrednost 0, druga pa vrednost 2. Označeni sta z zelenim okvirčkom.​

Začetna vrednost funkcije

V nasprotju z ničlami, ki smo jih obravnavali nekaj vrstic višje, tokrat 0 ni vrednost funkcije, ampak vrednost neodvisne spremenljivke x.

Ne pozabimo: v točki, ki označuje začetno vrednost, je x enak 0, medtem ko začetno vrednost podajamo z y!

Na grafu začetna vrednost izgleda kot nek "oprijemek" na rdeči steni (navpična y os), po kateri pleza naš možic, ki smo ga že kar nekajkrat srečali:

 V tej točki, ki označuje začetno vrednost,  graf funkcije seka (rdeče označeno) y os.

V našem primeru je začetna vrednost enaka 0. Označena je z rdečim okvirčkom.

Jih znate našteti? ;) Še enkrat jih ponovimo posebej za vas:

• eksplicitna
• implicitna
• odsekovna

Marsikdo je že zamešal vsaj prvi dve obliki (obe imeni izgledata enako neprivlačno :)), tretja je pa sploh "krneki", čeprav - moramo priznati - to niti ni. Pa pojdimo lepo po vrsti.

Eksplicitna oblika zapisa enačbe premice

Najprej razrešimo dilemo med eksplicitnim in implicitnim zapisom. Besedi seveda izvirata iz latinščine, v oči oziroma ušesa pa nas najbolj zbode predpona pri prvi, to je "eks-", ki po latinsko pomeni "izven" oziroma "iz".

Kdo je v tem primeru "zunaj"? Odvisna spremenljivka y. Na drugo stran enačaja jo je namreč postavila neodvisna spremenljivka x v družbi koeficientov (številk). 

To je nekako tako, kot da bi "eks" dekle pred vrata postavilo "eks" fanta. Auč, not good.

​Na sliki imate primer eksplicitnega zapisa:

Odsekovna oblika zapisa enačbe premice

Ta zapis je po eni strani najbolj zakompliciran, po drugi strani pa si ga je najlažje predstavljati, saj je v neposredni povezavi z grafom funkcije.

Tokrat je na svoji strani enačbe "osamljena" enica. Kaj nam ta enica pove?

• Če je x enak 0, je vrednost prvega ulomka na desni strani enačbe enaka 0 in števec v drugem ulomku mora biti enak imenovalcu, da bo njun količnik 1 z leve strani enačbe. Omenjena situacija predstavlja presečišče z ordinatno (y) osjo oziroma točko (0,-4) iz našega primera
• Če pa je y enak 0, je vrednost drugega ulomka na desni strani enačbe enaka 0 in števec v prvem ulomku mora biti enak imenovalcu, da bo njun količnik 1 z leve strani enačbe. Omenjena situacija predstavlja presečišče z abscisno (x) osjo oziroma točko (2,0) iz našega primera:

Enkrat je bilo v enem razredu ene šole eno dekle. In rada se je oblačila čisto "po svoje". Ker je bilo njenim sošolkam njeno oblačenje všeč, so jo pri tem posnemale.

In kje je tu matematika? 

​Dekle, ki se je oblačilo "po svoje", lahko označimo kot neodvisno, medtem ko so posnemovalke od nje odvisne.

Resno, kje je tu matematika?

Tako kot v zgornji zgodbi imamo tudi pri matematiki spremenljivke, ki so lahko odvisne ali pa neodvisne. Odvisne so seveda odvisne od - neodvisnih :) Odvisno spremenljivko običajno označimo z y, neodvisno pa z x. Na primer: y=2x+4.

No, sedaj pa imate matematiko :)

Načinov za risanje grafov linearnih funkcij je več; z enimi pokažete več znanja (ki ga tudi hitro pozabite), drugi so pa bolj enostavni, a jih zlepa ne pozabite. Pobliže poglejmo enega od slednjih.

Narišimo graf linearne funkcije y=2x+4. Vemo, da ima linearna funkcija dve spremenljivki. Ena je neodvisna (x), druga pa je odvisna (y). Vse, kar morate storiti je, da vsako od njiju izenačite z nič in preverite, kakšno vrednost ima pri tem druga spremenljivka:

S tem, ko smo vrednost spremenljivk x in y postavili na 0, smo dobili dve točki na koordinatnem sistemu. Ker imata vsaka eno od koordinat enako 0, ležita vsaka na eni od koordinatnih osi in ju je zato lahko označiti. Skoznji potegnemo le še premico in že imamo graf linearne funkcije.