Pri razstavljanju izrazov moramo biti dobri opazovalci, da pravilno »identificiramo« zapis, na podlagi česar se potem odločimo za postopek. Seveda obstaja lažji način od učenja vseh kombinacij na pamet, ampak ga včasih učitelji niso veseli. Je pa z njim vseeno možno rešiti kakšno nalogo več. Omejimo se na dvočlenike, ki jih obravnavamo v osnovni šoli. Najprej je seveda potrebno vedeti, ali izraz razstavljamo ali poenostavljamo. Pri nalogi običajno jasno piše, še vedno pa je dobro »od daleč« videti, kaj bomo počeli: Poenostavljeno povedano: zgornji izraz na sliki nima oklepajev, zato ga je potrebno razstaviti, spodnji pa ima oklepaje, zato pri njem pride v poštev poenostavljanje. V nadaljevanju se posvetimo razstavljanju. Pri tem imamo v bistvu le dve večji opciji – izpostavljanje skupnega faktorja ali pa Vietovo pravilo: Oba izraza na zgornji sliki imata tri člene, ampak zgornji ima v prvem členu številski faktor, poleg tega pa ima še različne črke (spremenljivke), medtem ko gre desni po pravilu »spremenljivka na kvadrat, spremenljivka, brez spremenljivke« (govorimo o spremenljivki a na sliki). Zato prvega rešimo z izpostavljanjem skupnega faktorja, drugega pa po Vietovem pravilu. Se sprašujete, kam sta izginila kvadrat dvočlenika ter produkt vsote in razlike? Brez panike, tudi ta dva tipa razstavljanja si bomo ogledali, jima pa ne bomo dodelili svojega postopka, saj ju je moč rešiti s pomočjo vietovega pravila. V šoli vam pa tega običajno ne povedo, ampak vas naučijo še dva postopka, kot da jih že tako ali tako ni dovolj ... Najprej si oglejmo prvi »posebni primer«: Veste, kateri izraz na zgornji sliki predstavlja kvadrat dvočlenika? V bistvu vam sploh ni treba vedeti. Izraz ustreza »normam« za razstavljanje po Vietovem pravilu, torej ga ne bomo reševali z izpostavljanjem skupnega faktorja. Če bomo kot rezultat dobili dva popolnoma identična faktorja, ju bomo zapisali kot kvadrat, sicer pa enega zraven drugega. Sedaj pa si oglejmo še situacijo s produktom vsote in razlike: Če med prvi in drugi člen spodnjega izraza zapišemo »0⋅a«, se vrednost izraza ne spremeni, nova oblika pa je ustrezna za razstavljanje po Vietovem pravilu:
a² + 0⋅a – 9 Razstavljanje marsikomu povzroča kar nekaj težav, a ni potrebno, da je tako. Predvsem se ga ne smemo ustrašiti in tudi če pozabimo kakšno pravilo, imejmo v mislih, da se vedno lahko znajdemo in z nekaj logike račun rešimo nekoliko drugače.
0 Comments
Ko imamo opravka s pozitivnimi števili, ponavadi ni težav, saj »smo z njimi gor rasli«. Pri negativnih številih pa si s »klasičnimi« modeli ne moremo več pomagati (predstavljajte si, da je na avtobusu 5 ljudi, nato pa jih 7 izstopi – mission impossible), zato si je potrebno izmisliti nove. Najdete jih na koncu tega članka, prej pa si odgovorimo še na nekaj vprašanj. Predznak ali računska operacija? Kadar množimo ali delimo, ni dileme: če se vmes pojavi kakšen plus ali minus, gre definitivno za predznak. Pri seštevanju in odštevanju pa zadeva postane že bolj zanimiva, a povsem obvladljiva, če upoštevamo naslednje:
Za predznak je logično, da je negativen, saj pozitivnega ni potrebno pisati, v nalogah pa je potrebna pazljivost, saj nikjer ne piše, da pozitivnega predznaka ne smemo pisati, zato nas učitelji radi presenetijo tudi s kakšnim zapisom v stilu »2+(+3)-(+5) ...« Zakaj moramo predznak postaviti v oklepaj? Zato, ker se z računsko operacijo »ne marata« in ju je potrebno fizično ločiti. :) Ne vem, če je to sicer res, si je pa lahko zapomniti. :) Povrhu zapis brez oklepaja še »grdo zgleda«, recimo 5 - - 3, 6 + - 2 ... Prišteti ali odšteti, to je sedaj vprašanje Ko se pred nami pojavi račun s samimi plusi in minusi, med katerimi je nekaj računskih operacij, nekaj pa predznakov, ga je potrebno najprej poenostaviti, kar marsikomu povzroča težave. Zato sem za vas pripravil nekaj modelov, s katerimi si lahko pomagate. Če si predstavljamo, da računski operaciji seštevanja in odštevanja pomenita segrevanje in ohlajanje, predznak minus pa zanikanje trditve in zamižimo na eno oko glede slovnice, rezultat dobimo že z nekaj logike: Na podoben način si seštevanje in odštevanje lahko predstavljamo kot hojo naprej in nazaj po sobi, pri čemer nas negativni predznak obrne za 180 stopinj: Lahko pa rečemo, da je število s predznakom minus »negativno razpoloženo« in računski operaciji, ki stoji pred njim, »meša štrene« in sicer tako, da plus spremeni v minus, minus pa v plus. :)
Sedmi razred je pri matematiki za marsikoga kar zalogaj. Praštevila, nato pa ulomki in vse kar pride zraven – krajšanje, razširjanje, primerjanje, iskanje skupnega imenovalca ... in seveda računanje z ulomki. Najprej osnovne računske operacije (seštevanje, odštevanje, množenje in deljenje), nato pa kombinacije le-teh. Da je zadeva še bolj zanimiva, se ulomkom pridružijo še cela, mešana in decimalna števila. Pri obravnavi snovi se seveda vedno mudi in kdor je v nižjih razredih »prešprical« kakšno snov ali pa jo zgolj pozabil (vsi smo ljudje), se hitro znajde v težavah. Da v takih primerih ne bi bilo potrebno takoj klicati inštruktorja, sem pripravil nekaj hitrih nasvetov za »spopad z ulomki«. :) Kako obravnavati mešano število? Mešano število je število, ki je sestavljeno iz celega števila in ulomka, na primer 3 in ena polovica (glej sliko). Marsikdo ob pogledu na tako število začne v imenovalcu takoj množiti 3 z 2 in prištevati 1 ... (spodnji ulomek na desni strani slike). To je seveda pravilen postopek, a ga ni »modro« uporabljati v vseh primerih, ampak le pri množenju in deljenju. Pri seštevanju in odštevanju pa je mešani ulomek lažje zapisati »na dolgo« in sicer v obliki celo število + ulomek (zgornji ulomek na desni strani slike). Zakaj »na dolgo«? Zato, ker je zapis mešanega števila v bistvu skrajšan zapis vsote celega števila in ulomka. Kako odšteti ulomek od celega števila? V takem primeru lahko uporabimo t.i. »strategijo izposojanja«. V našem primeru na spodnji sliki si od 3 »izposodimo« 1, ki jo nato zapišemo v obliki ulomka. Število 1 v obliki ulomka zapišemo tako, da izenačimo vrednost števca in imenovalca, ta pa je lahko karšna koli celoštevilska vrednost. Ker v našem računu nastopa še en ulomek, ki ima vrednost imenovalca 7, enako vrednost uporabimo tudi pri ulomku, ki predstavlja celoto, saj nam tako ni potrebno iskati skupnega imenovalca. Enako strategijo lahko uporabimo tudi pri odštevanju ulomka od mešanega števila, če je ulomek, ki ga odštevamo, večji od ulomka zraven celega števila (npr. 5 2/5 – 3/5). Kako odšteti mešani ulomek? Za mešani ulomek vemo, da je skrajšan zapis vsote celega števila in ulomka. Če tak ulomek prištevamo, lahko enostavno zapišemo celo število + ulomek. Če pa ga odštevamo, ne smemo pozabiti, da minus pred njim »zagrabi« tako na celo število kot na ulomek (podobno kot če bi imeli oklepaj), zato je potrebno odšteti tako celo število kot ulomek. Kdaj je priporočljivo »nepravi ulomek« spremeniti v mešano število in kako to storim? Če ima ulomek »zgoraj več kot spodaj« oziroma ima števec večji od imenovalca, zanj rečemo, da je nepravi. Tak ulomek je »vreden« več kot 1, zato »lepše«, če ga zapišemo kot vsoto celega števila in ulomka oziroma »tistega, kar ostane«. Vemo, da ulomke seštevamo tako, da števce seštejemo, imenovalec pa prepišemo. Kaj pa, če bi to pravilo uporabili »v rikverc«? Števec ulomka lahko zapišemo kot vsoto vrednosti v imenovalcu in ji prištejemo »tisto, kar ostane«. V našem primeru števec 14 zapišemo kot vsoto dveh petic in »preostale« štirice (5+5+4). Tak ulomek lahko razdelimo na 3 ulomke (5/5, 5/5 in 4/5), od katerih sta prva dva enaka 1, zato ju lahko zapišemo kot celoštevilsko vrednost 2, zadnji ulomek (4/5) pa dopišemo zraven. Kdaj moram mešano število spremeniti v »nepravi ulomek« in kako to storim? Takrat, kadar mešano število množimo ali delimo s celimi števili ali ulomki. Primer množenja mešanega števila s celim številom je prikazan v prvi vrstici spodnje slike. Pri seštevanju in odštevanju pa cela števila in ulomke lahko seštevamo oz. odštevamo ločeno in jih na koncu združimo, tako da pretvorba celih števil v ulomke ni potrebna, še več, s tem si lahko enostavno nalogo celo zakompliciramo. Druga in tretja vrstica spodnje slike predstavljata isti račun (seštevanje mešanega števila s celim številom), rešen na dva načina. V drugi vrstici vidimo, da smo iz povsem enostavnega seštevanja znotraj desetice prišli na račun 23+36, katerega rezultat je potrebno potem deliti še s 6, da dobimo celi in ulomljeni del rešitve. V tretji vrstici pa enostavno seštejemo celi števili, prištejemo ulomljeni del in brez pretiranega napora dobimo, seveda, enak rezultat. :) Kako najlažje poiščem (najmanjši) skupni imenovalec? Pred časom sem na inštrukcijah poskusil z metodo »nogic« oziroma »rožičkov«, ki se jo mogoče kdo spomni še iz nižjih razredov osnovne šole. Za razliko vrednosti na krajiščih »nogic« tu ne seštevamo ampak množimo, pred tem pa število razcepimo na prafaktorje. Ker to počnemo grafično, zadeva utegne postati celo zabavna. ;) Več o sami metodi si lahko preberete v članku o računanju s pomočjo številskih dreves. V čem je »trik«? Vzemimo za primer račun s spodnje slike. Prvi seštevanec ima imenovalec enak 6, drugi pa 10. Po razcepu na praštevila na »nogice« prvega imenovalca zapišemo 2 in 3 (2 · 3 = 6), na nogice drugega pa 2 in 5 (2 · 5 = 10). »Fora« najmanjšega skupnega imenovalca je v tem, da s »čim manj potezami« imenovalca izenačimo. Pri tem seveda lahko uporabimo zgolj računsko operacijo množenja, množiti (z istim številom!) pa moramo tako »spodaj« (imenovalec) kot »zgoraj« (števec), sicer vrednost ulomka spremenimo, kar pa ni okej. Poglejmo, kako lahko imenovalca izenačimo v našem primeru. Prvi ulomek »ima« 2 in 3, drugi pa 2 in 5. Z »najmanj potezami« imenovalca izenačimo tako, da na prvi imenovalec dodamo (števec in imenovalec množimo s) 5, na drugega pa 3. Tako sta oba imenovalca enaka 2 · 3 · 5 = 30, števca pa sta po množenju enaka 5 oziroma 21. Ulomka nato še seštejemo in okrajšamo oziroma poenostavimo in dobimo rezultat trinajst petnajstin. Če imamo večja števila, imenovalce lako »drobimo« postopoma (drevo se bolj razveji), upoštevamo pa zgolj številke na končnih vej(ic)ah. Te za boljšo vidnost lahko tudi obkrožimo. Ko smo že nekoliko bolj izkušeni, nam imenovalcev ni potrebno drobiti povsem do praštevil. Če imamo na primer imenovalca enaka 8 in 12, lahko zapišemo 8 kot 2 · 4, 12 pa kot 3 · 4. 4 nam ni potrebno drobiti naprej na 2 · 2, saj se 4 nahaja v obeh imenovalcih s takim »kompliciranjem« ne bi nič pridobili, le hitreje bi se lahko zmotili. :) To je seveda zgolj eden izmed možnih načinov. Če v njem nekako »ne najdete«, pa lahko »pokukate« še tale članek. Kdaj moram »obrniti ulomek«? Računanju z obračanjem ulomka »uradno« rečemo množenje z obratno vrednostjo ulomka. Ker je deljenje z ulomkom »smotano« :) (pojavijo se dvojni ulomki in druge neprijetnosti), raje uberemo drugo pot, pri čemer modro izkoristimo naslednja dejstva:
Iz tega sledi, da je deljenje z nekim številom enako množenju z njegovo obratno vrednostjo. Obratno vrednost ulomka določimo zelo enostavno, saj zgolj zamenjamo vrednosti števca in imenovalca (ulomek obrnemo »na glavo«). :) Kdaj moramo torej »obrniti ulomek«? Vsakič, kadar računsko operacijo deljenja zamenjamo z množenjem. In zakaj to počnemo? Zato, ker je množenje z ulomkom enostavnejše od deljenja. A ne pozabimo: obrnemo vedno zgolj tisti ulomek, ki stoji desno od znaka za deljenje (ki postane znak za množenje)! Še nekaj za »nerde«. Če potegnemo analogijo s seštevanjem in odštevanjem, lahko zapišemo ...
Za konec pa še nekaj za »toplt nerde« :) Vemo, da velja enakost a-(-a) = a+a. Po analogiji bi lahko zapisali tudi a:(:a) = a·a, ampak bi nas kak matematik »za ušesa«. :) Omenjeni zapis namreč ni dovoljen, saj »:« v prvem oklepaju ni predznak, tako kot »-« v drugem oklepaju. Lahko pa drugi zapis popravimo v a:(1:a) = a·a oziroma v a:(1/a) = a·a. Pa smo spet pri naši ugotovitvi, da je deljenje z nekim številom enako množenju z njegovo obratno vrednostjo. Pa še nekaj. Predznaka »+« nikoli ne pišemo, čeprav »vemo, da je tam«. Zato tudi prvi člen na skrajni levi strani računa v primeru, da je pozitiven, nima predznaka. Po drugi strani moramo predznak »-« vedno zapisati. Kadar imamo opravka hkrati s predznakom »+« ali »-« in računsko operacijo »+« ali »-«, velja pravilo, da dva »-« dasta »+« (o, ko bi bilo tako tudi pri ocenjevanju!) :) Predznaka »krat« in »deljeno« pa kot taka ne obstajata, zato se nikoli ne bomo srečali npr. z računom 10:(:5), bomo pa srečali račun npr. 10:(1/5), ki se od prvega praktično ne razlikuje, saj enica pri množenju in deljenju ne spremeni vrednosti računa. In tu se lahko spomnimo pravila »dva minusa dasta plus«, saj analogno tudi »dve deljenji dasta množenje« (matematiki bi nas spet za ušesa :)) in račun 10:(:5) oziroma 10:(1/5) postane 10 · 5. To si velja zapomniti, saj nas analogija pogosto lahko reši iz zadrege, če kaj pozabimo. A pozor – učitelju ne skušajte »prodati« računa 10:(:5), ampak vmes vrinite tisto enico (10:(1/5)), da vas – ne bo za ušesa seveda. :) Več na temo povezav med seštevanjem in odštevanjem oz. med množenjem in deljenjem ter nasprotnih in obratnih vrednostih pa najdete v samostojnem članku. Kdaj lahko »dam vse na eno dolgo ulomkovo črto«? Kadar imamo v računu (ali v delu računa) samo množenje in deljenje ulomkov ter celih števil, lahko vse skupaj zapišemo na eno ulomkovo črto, ki jo po potrebi podaljšamo (če je možno kaj »krajšati« oziroma, bolj pravilno rečeno, poenostaviti). Pri zapisu na »dolgo« ulomkovo črto ulomkov, pred katerimi stoji znak za deljenje, ne pozabimo »obrniti okoli«. Deljenje se v tem primeru spremeni v množenje, tako da ima taka »dolga« ulomkova črta tako v števcu kot v imenovalcu zgolj računsko operacijo množenja, kar nam omogoča enostavno krajšanje. Ali lahko ulomke lahko krajšam »križkraž«? Seveda. In to večkrat. :) Zakaj? Ker imamo tako v imenovalcu kot v števcu račun, ki vsebuje zgolj množenje, za katerega velja zakon o zamenjavi (recimo 3 krat 5 je isto kot 5 krat tri ...) Na spodnji sliki vidimo, da 3 v števcu in 6 v imenovalcu lahko krajšamo s 3, 10 v števcu in 5 v imenovalcu pa z 2, kljub temu, da ne ležijo »eden pod drugim«. 2 v imenovalcu iz prvega krajšanja in 2 v števcu iz drugega krajšanja lahko nato še enkrat krajšamo z 2. Aja, pa še nekaj. Lepše kot »krajšati« se sliši »poenostaviti«, saj po tem postopku ulomek ni nič »krajši«, J ampak zgolj poenostavljen, saj je vrednost okrajšanega ulomka enaka »originalnemu« ulomku. Kdaj je priporočljivo celo število pretvoriti v ulomek in kako to storim? Kadar celo število nastopa "v družbi ulomkov" v računu množenja ali deljenja, ga je najbolj enostavno pretvoriti v ulomek in nato z njim računati tako kot z ulomkom. Na ta način se ne bomo nikoli spraševali, ali ga je potrebno zapisati v števec ali imenovalec ulomka. Celo število v ulomek pretvorimo tako, da ga zapišemo v števec (zgoraj), v imenovalec (spodaj) pa zapišemo vrednost 1. Dokaj logično, če vemo, da ulomek predstavlja deljenje, deljenje z 1 pa na deljenca nima vpliva. Primer: 5=5/1. Če s tem številom množimo, vemo, da gre 5 v števec "dolge ulomkove črte", 1 pa v imenovalec. Če pa z njim delimo, vemo, da ga moramo "obrniti na glavo", zato na "dolgo ulomkovo črto" zapišemo 1 zgoraj, 5 pa spodaj. Če imamo poleg celega števila zraven še ulomek, je tak zapis pri množenju in deljenju potrebno pretvoriti v »nepravi ulomek«. Za več »poskrolajte« malo višje po članku. Pri seštevanju in odštevanju pa cela števila in ulomke lahko seštevamo oz. odštevamo ločeno in jih na koncu združimo, tako da pretvorba celih števil v ulomke ni potrebna, še več, s tem si lahko enostavno nalogo celo zakompliciramo. Če »gremo kje čez«, nepravi ulomek pretvorimo v pravega, celoštevilski del pa ustrezno povečamo. Če »nam kje zmanjka«, pa si od celega števila »izposodimo« ulomek tipa n/n in odštevanje izvedemo posebej za cela števila in posebej ulomke. Za podrobnejšo razlago »poskrolajte« malo višje po članku. Kdaj je koristno decimalno število pretvoriti v ulomek?
Marsikdo »ne mara ulomkov«, zato v računih, kjer nastopa kombinacija decimalnih števil in ulomkov, slednje vedno pretvori v decimalna števila in se potem »igra s premetavanjem decimalnih vejic«. Poleg tega, da je tako računanje »manj elegantno«, rezultat take pretvorbe ni vedno končno decimalno število, zato ga moramo zaokrožiti, s čimer pa »pridelamo« tudi nekaj pogreška. Zakaj je računanje s pretvorbo ulomkov v decimalna števila »manj elegantno«? Naloge so velikokrat zastavljene tako, da je pri računanju z ulomki »manj pisanja« in veliko faktorjev se »lepo krajša«, tako da tak račun izgleda »lepše« oziroma bolj pregledno. Po drugi strani se pri računanju z decimalnimi števili ni potrebno ukvarjati s pravili za računanje z ulomki, a moramo biti zelo pozorni na decimalne vejice. V računih, kjer nastopa kombinacija decimalnih števil in ulomkov, je decimalno število koristno pretvoriti v ulomek predvsem pri množenju in deljenju z ulomki, medtem ko je pri seštevanju in odštevanju včasih lažje, če naredimo obratno – ulomek pretvorimo v decimalno število, predvsem takrat, kadar je rezultat take pretvorbe končno decimalno število. Marsikdo si težko zapomni, da ima množenje (in deljenje) prednost pred seštevanjem (in odštevanjem). Predstavljajmo si, da se v testu pojavi račun 3∙6+5∙4. Ker smo itak živčni, pozabimo katera računska operacija ima prednost. Seštevanje ali množenje? Iz zagate nas reši grafični model računa: Če izraz zapišemo (ali pa si ga zgolj predstavljamo) v grafični obliki (v našem primeru 3 vrste po 6 in 4 vrste po 5), vidimo, da vse elemente (npr. kvadratke) preštejemo tako, da najprej izračunamo polji (računa na krat), nato pa vse skupaj še seštejemo.
Za konec pa še izziv za vas. Kako bi grafično predstavili račun 8∙7-6∙5? Kaj pa 9∙5-6∙7? (V prvem primeru kvadratke modrega pravokotnika dimenzij 6∙5 položimo na rdeči pravokotnika dimenzij 8∙7. Preostanek rdečega pravokotnika je rezultat. V drugemprimeru storimo enako, le da je potrebno kvadratke modrega pravokotnika nekoliko preoblikovati, da "pašejo" na rdeč pravokotnik.) »Hm«, boste rekli, »a nismo v šoli rekli, da velja zgolj za seštevanje in množenje? Ja. In ne. :) Če odštevanje obravnavamo strogo kot odštevanje in deljenje kot deljenje, potem ne moremo splošno reči, da zanju velja zakon o zamenjavi. Če pa:
A pozor! Računsko operacijo pred številom, ki ga želimo »nesti drugam«, moramo v tem primeru »vzeti s seboj«! Oglejmo si dva primera. V prvem želimo odštevanje postaviti na konec računa, da ga bomo izvedli nazadnje. To lahko storimo, a ne pozabimo minusa pred številom 5! V drugem primeru pa želimo deljenje izvesti prej, da ne bo deljenec prevelik. Število 4 lahko postavimo takoj za 12, a ne pozabimo »s seboj nesti« tudi znaka za računsko operacijo deljenja! Da me ne boste "prijeli za besedo": V matematičnem členu po Wikipediji v členu lahko nastopata zgolj številski operaciji množenja in potenciranja. Kaj pa deljenje? Če si deljenje z nekim številom (v našem primeru s 4) predstavljamo kot množenje z ulomkom, ki ima to število v imenovalcu, števec pa enak 1 (v našem primeru 1/4), pa imamo čisto pravi člen s štirimi faktorji: 12, 2, 3 in 1/4.
O tem, kaj je distributivnost, lahko nekaj več preberete tule, mi pa si poglejmo kar primer. Izračunajmo račun 42 krat 5. Poštevanka nam tu direktno ne more pomagati, saj jo znamo le do 10 krat 10, si pa lahko pomagamo tako, da razdelimo prvi faktor na dva dela (42 razdelimo na štiri desetice in dve enici), katera potem ločeno množimo z drugim faktorjem (v našem primeru 5) in na koncu seštejemo (po distributivnostnem zakonu). Da bo vse skupaj še lažje, si izmislimo zgodbico. 🙂 Recimo, da s kladivom udarimo po večjem od števil (42), nakar to razpade v števili 40 in 2, ki ju ujamemo v roko in postavimo v oklepaj: Števil ni nujno drobiti na vrednosti pod 10, saj poštevanka zajema celoštevilske faktorje do vrednosti 10. Močno si lahko pomagamo že z razčlenitvijo na večkratnike desetiških enot. Mi smo število 42 s tem namenom razdelili na 40 (4 krat 10) in 2. Namesto množenja števil 42 in 5 bomo tako s 5 zmnožili števili 40 in 2 ločeno, rezultata množenja pa na koncu sešteli. Nadaljujmo našo zgodbico od včeraj. 😉 Petico si na primer predstavljajmo kot psa, na katerega z vsake številke v oklepaju skoči ena bolha. Vsak skok pomeni eno množenje. Prvo je 40 krat 5, drugo pa 2 krat 5: Sedaj moramo izračunati le še preprost računski izraz (ne pozabimo, da ima množenje prednost pred seštevanjem) in smo končali. 🙂 Za tak način množenja torej potrebujemo le znanje poštevanke, seštevanja in množenja z večkratniki potenc števila 10. Zakaj iz 4 ∙ 5 = 20 sledi, da je 40 ∙ 5 = 200? Preprosto. 40 ∙ 5 lahko zapišemo tudi kot 4 ∙ 10 ∙ 5 oziroma 4 ∙ 5 ∙ 10 (zakon o zamenjavi) oziroma 20 ∙ 10 (zakon o združevanju), pri množenju z 10 pa vemo, da v rezultatu "pridelamo" dodatno ničlo na desni strani (oziroma premik decimalne vejice v desno, kadar računamo z decimalnimi števili).
Na koncu še vprašanje za vas. V našem primeru smo delna zmnožka na koncu sešteli. Pri katerih številih, recimo dvomestnih, pa bi bil račun lažji, če bi uporabili odštevanje? (Kadar je enica večja od 5, npr. pri računu 48 ∙ 5.) Več, kot si mislite. Pa s tem ne mislim zgolj preprek, zastojev in slabe volje. :) Zaenkrat se osredotočimo na izraze, ki vsebujejo osnovne štiri računske operacije (seštevanje, odštevanje, množenje, deljenje ) in oklepaje. Da bo razlaga bolj življenjska, potegnimo vzporednico z gradnjo avtoceste. Tako kot je pri gradnji avtoceste najprej potrebno utrditi peščeni teren, se pri reševanju računskih izrazov najprej lotimo oklepajev. V izrazih sledi množenje in deljenje, "na terenu" pa polaganje asfalta. Na koncu izraza preostanek še seštejemo oziroma odštejemo, na našem asfaltu pa narišemo črte. Pozor! Tako kot črt ne rišemo, če asfalt še ni položen, mora tudi seštevanje in odštevanje počakati, dokler ne končamo z množenjem in deljenjem. No ... ob tej trditvi se bo hitro nekje pojavil brihtnež, ki bo dejal: "Kaj pa računi, ki ne vsebujejo množenja in deljenja?" A brez skrbi, tudi zanj imam odgovor - vsak člen lahko pomnožimo z ena in imamo množenj, kar jih hočemo, rezultat pa se zaradi tega ne bo prav nič spremenil, mi bi tako v predzadnji vrstici recimo lahko zapisali 30∙1 - 7∙1 :) A brez skrbi, na šolskih testih se bo vedno nekje našlo kakšno množenje ali deljenje. Ponovimo še vse skupaj: pesek, asfalt, črte oziroma oklepaji, krat/deljeno, plus/minus. Ni težko, kajne? ;) Na začetku sem dejal, da se bomo osredotočili na izraze, ki vsebujejo zgolj seštevanje, odštevanje, množenje, deljenje in oklepaje. Če se v izrazu recimo pojavijo še potence, si zanje na sliki preprosto zamislimo še eno plast materiala. Veste, kje bi se ta plast nahajala?
Pa še dve vprašanji za "brihtne glavce"
Ulomkov marsikdo ne mara, delno tudi zato, ker jih v izrazih ne moremo preprosto seštevati in odštevati, ampak jih moramo prej vedno razširiti na najmanjši skupni imenovalec: Nekoliko raje jih imamo v enačbah. Tu nam ulomkov ni potrebno razširjati na najmanjši skupni imenovalec, ampak z njim preprosto pomnožimo obe strani enačbe. Najboljše pri vsem tem je pa to, da gredo na ta način ulomki pa pa 😉
Poleg splošnega produkta različnih dvočlenikov ... (a+b)(c+d) ... sta pogosto v uporabi tudi posebna primera:
Enačbi za posebna primera je koristno poznati, saj ju potrebujemo pri razstavljanju. Za lažje pomnjenje si vse tri poglejmo v grafični obliki. Splošen produkt različnih dvočlenikov Enačba za splošen produkt različnih dvočlenikov se glasi: (a+b)(c+d) = ac+bc+ad+bd V grafični obliki enačba izgleda takole: Kvadrat dvočlenika Enačba za kvadrat dvočlenika se glasi: (a+b)² = a²+ab+ab+b² = a²+2ab+b² V grafični obliki enačba izgleda takole: Če je člen a ali b negativen, se predznak kvadratov (a² oziroma b²) ne spremeni, predznak srednjega člena (2ab) pa določimo po oranžnem pravilu množenja in deljenja:
Produkt vsote in razlike enakih števil Enačba za produkt vsote in razlike enakih števil se glasi: (a+b)(a-b) = a²+ab-ab-b² = a²-b² V grafični obliki enačba izgleda takole: Na sliki se lepo vidi, da se srednja dva člena v računu okrajšata.
Računski izrazi lahko vsebujejo le številke, poleg teh pa v njem lahko nastopajo tudi črke oziroma spremenljivke. Tokratni algoritem opisuje reševanje slednjih.
Naj na kratko razložimo naš algoritem:
* rumeno pravilo seštevanja in odštevanja, oranžno pravilo množenja in deljenja ter zeleno pravilo grupiranja podobnih členov smo definirali zato, da se v algoritmu ne ukvarjamo preveč z osnovami računanja, ampak lahko takoj preidemo na bistvo problema. Preko priloženih povezav pa seveda lahko kadarkoli ponovimo tudi osnove, če so nam slučajno "ušle iz glave" ;) Pomni! Potence veččlenikov so v osnovi množenje veččlenikov (samih s seboj), zato v algoritmu take situacije niso posebej navedene. Pomni! Če imamo le en oklepaj z več členi, pred njim pa je plus, le izbrišemo oklepaj, saj je nepotreben (tudi taka situacija v algoritmu ni posebej opisana). Pomni! Dvočleniki so v algoritmu pridruženi veččlenikom, tako da niso posebej omenjeni. |
ARHIV
September 2024
KATEGORIJE
All
|