OSVOJI ZNANJE
  • Baza znanja
    • Triki in nasveti >
      • Matematika
      • Fizika
      • Geografija
      • Angleščina
      • Elektrotehnika
      • Kemija
      • Slovenščina
    • Sistematično učenje >
      • Matematika
      • Fizika
      • Geografija
      • Slovenščina
      • Kemija
    • Besedilne naloge
    • Učenje in organizacija
  • Aktivnosti
    • Vodene aktivnosti
    • #wodb naloge
    • Problemske naloge
    • Podobnosti in razlike
    • Na kaj pomisliš
    • Računanje "na palec"
    • Problemske niti
  • Igre
    • Igraje do stotice
    • Igriva praštevanka in Čista stotica
    • Brezplačne igre
  • Didaktika
    • Predponkoti
    • Grafično računanje
  • O blogu
  • Kontakt

Znak za računsko operacijo oziroma predznak "pripada" vedno tistemu, ki je na njegovi desni strani

26/12/2017

0 Comments

 
Seštevanje in odštevanje (oziroma predznak + in -)

Marsikaterega učenca pri učenju računanja z izrazi zmede takle primer:

5+6-3+2-7+4

"Kje moram sedaj upoštevati minus med 6 in 3? Na levi ali na desni strani?"

Veliko lažje nam je, če si zgornji primer predstavljamo takole:

5+6-3+2-7+4

Vsak par računske operacije in števila, ki mu sledi, smo obarvali z enako barvo. Sedaj točno vemo, da minus med 6 in 3 pripada številu na desni strani, torej trojki.

"Katera računska operacija pa pripada petici na začetku računa?"

Na začetku računa ni nobene računske operacije, ima pa zato prvo število predznak (predpostavimo, da smo v množici celih števil). Predznak petice je "+", zato ga ne zapisujemo (pred števili zapisujemo le predznak "-")

Predznak celega števila pa si lahko predstavljamo tudi kot računsko operacijo seštevanja:
  • predznak "+" pred celim številom tako, kot da bi to število prišteli številu 0,
  • predznak "-" pred številom pa tako, kot da bi to število odšteli od števila 0.

Glede na to lahko naš račun zapišemo kot:

0+5+6-3+2-7+4

Tudi ničle na začetku računa nima smisla zapisovati, tako da je končni izgled našega računa naslednji:

+5+6-3+2-7+4

V enem izmed naših prejšnjih zapisov smo omenili, da je odštevanje enako prištevanju nasprotne vrednosti oziroma vrednosti z zamenjanim predznakom ("+" v "-" in obratno). Če si predstavljamo vse enako obarvane pare v zgornjem računu kot seštevanje števil z različnimi predznaki, lahko enostavno seštejemo vsa pozitivna (5+6+2+4 = 17) in negativna (3+7 = 10) števila ter ju odštejemo med seboj, "zmaga" pa predznak "večje skupine", v našem primeru "+", saj je 17 več od 10.

Množenje in deljenje

Oglejmo si še en primer:

20:5⋅3

"Moram najprej deliti s 5 in nato množiti s 3?"
"Moram deliti tako s 5 kot s 3?"

Obarvajmo račun enako kot v prejšnjem primeru:

20:5⋅3

Sedaj vidimo, da s 5 delimo, s 3 pa množimo. Ker sta množenje in deljenje enakovredni računski operaciji, vrstni red pri tem ni pomemben.

Kaj pa storimo z 20?

Ker vemo, da množenje števila z 1 ne spremeni vrednosti le-tega, lahko zapišemo:

(20⋅1):5⋅3

Po zakonu o zamenjavi velja tudi:

(1⋅20):5⋅3

Ker so vse operacije v računu enakovredne, lahko oklepaj odstranimo:

1⋅20:5⋅3

Sedaj vidimo, da tudi z 20 množimo. Enica na začetku pa naj nas ne moti, saj ne glede na to, ali z njo množimo ali delimo, ne spremeni vrednosti člena (podobno kot prištevanje ali odštevanje ničle nekemu členu ne spremeni vrednosti izraza - glej prvi del tega zapisa).

 V enem izmed naših prejšnjih zapisov smo omenili, da je deljenje enako množenju z obratno vrednostjo. Če si predstavljamo vse enako obarvane pare v zgornjem računu kot množenje števil ter njihovih obratnih vrednosti, lahko enostavno zmnožimo vsa števila, ki imajo pred seboj znak množenja (20⋅3=60) ter števila, ki imajo med seboj znak deljenja (5) števila ter jih postavimo na ulomek (ulomek je enak deljenju). 60 postavimo v števec in 5 v imenovalec. Ko ulomek okrajšamo, dobimo 12. To pa je tudi rešitev našega računa.

Zakon o zamenjavi (komutativnostni zakon)

Zakon o zamenjavi velja le za seštevanje in množenje, za odštevanje in deljenje pa ne.

Na primer:
  • 6+3 je isto kot 3+6
  • 6⋅3 je isto kot 3⋅6
  • 6-3 ni isto kot 3-6
  • 6:3 ni isto kot 3:6

Če odštevanje obravnavamo kot prištevanje nasprotne vrednosti odštevanca, si račun 6-3 lahko predstavljamo kot seštevanje števil +6 in -3. Ta vrstni red pa lahko zamenjamo, tako da velja:
  • +6 + (-3) je isto kot -3 + (+6)

In če na podoben način deljenje obravnavamo kot množenje z obratno vrednostjo delitelja, lahko zapišemo:
  • 6⋅(1/3) je isto kot (1/3)⋅6
0 Comments

Zakaj nasprotna in obratna vrednost?

26/12/2017

0 Comments

 
Zato, da namesto s štirimi osnovnimi računskimi operacijami (seštevanje, odštevanje, množenje in deljenje) računamo le z dvema (seštevanje in množenje).

Kako? Preprosto:
  • ker je prištevanje nasprotne vrednosti števila enako odštevanju števila
    Primer: 10 - 5 je isto kot 10 + (-5)
  • ker je množenje z obratno vrednostjo števila enako deljenju s številom
    Primer: 10 : 2 je isto kot 10 ⋅ (½)

Zgornja razlaga je mogoče res nekoliko karikirana, je pa res, da omenjeni dve zakonitosti redno uporabljamo. Naj omenimo le nekaj primerov:
  • Pri prikazu odštevanja na številski osi običajno "skačemo nazaj". To je isto, kot da bi se obrnili za iztegnjeni kot (180 stopinj) in "skakali naprej". Obrat za iztegnjeni kot v tem primeru pomeni spremembo predznaka odštevanca oziroma zamenjavo vrednosti odštevanca z njegovo nasprotno vrednostjo.
  • dva ulomka množimo med seboj najlažje tako, da drug ulomek "obrnemo okoli" in ga zmnožimo s prvim. "Okrog obrnjen" ulomek pa je obratna vrednost števila.
0 Comments

V čem je "fora" Evklidovega algoritma?

18/12/2017

0 Comments

 
Z Evklidovim algoritmom računamo največji skupni delitelj dveh naravnih števil.

No ja...to lahko storimo tudi zelo preprosto - naredimo ulomek (eno število postavimo v števec, drugo v imenovalec) in ga okrajšamo. 

Naredimo primer za števili 180 in 210. Ko števili okrajšamo, dobimo ulomek šest sedmin:
Picture
Če ulomek želimo razširiti nazaj, moramo števec in imenovalec pomnožiti z vsemi števili, s katerimi smo ga prej krajšali. V našem primeru so to števila 2, 3 in 5, njihov zmnožek pa je 30:
Picture
S tem ugotovimo, da je 30 največji skupni delitelj števil 180 in 210.

Sedaj pa isti primer izračunajmo po Evklidovem algoritmu:


210 = 180 • 1 + 30
180 = 30 • 6 + 0

Za vse tiste, ki Evklidovega algoritma (še) ne poznate ali pa ste ga pozabili:
  • v prvi vrstici zapišemo večje število (v našem primeru 210) kot produkt manjšega števila (v našem primeru 180) z njegovim najvišjim možnim večkratnikom (v našem primeru je to 180 • 1), kateremu prištejemo ostanek do večjega števila (v našem primeru 30)
  • v naslednji vrstici zapišemo prvi faktor iz produkta v prejšnji vrstici (v našem primeru 180) kot produkt ostanka iz prejšnje vrstice (v našem primeru 30) z njegovim najvišjim možnim večkratnikom (v našem primeru je to 30 • 6), kateremu prištejemo ostanek do večjega faktorja iz produkta v prejšnji vrstici (v našem primeru 0). Razumete? Ne? Itak :) No, dajmo še "po domače" :) Rdečo številko v naslednji vrstici prenesemo na levo stran enačaja, zeleno pa na desno stran enačaja in ponovimo postopek iz prve vrstice. Bo to lažje? ;)
  • v naslednji vrstici se ponovi postopek iz prejšnje vrstice (v našem primeru naslednje vrstice ni, ker smo končali že v prejšnji vrstici :) )
  • Računanja je konec, ko je ostanek enak 0. V našem primeru je to v drugi (zadnji) vrstici. Največji skupni delitelj pa je ostanek v predzadnji vrstici (v našem primeru 30).

Sedaj pa se malo "poigrajmo" z zgornjim izračunom.

Drugo vrstico iz zgornjega zapisa vstavimo v prvo (+0 ne pišemo):


210 = (30 • 6) • 1 + 30
180 = 30 • 6 + 0

Po ureditvi dobimo:

210 = 30 • 6 + 30
180 = 30 • 6 

V obeh vrsticah izpostavimo, kar se da izpostaviti, v spodnjem računu pa tako ali tako nimamo kaj izpostavljati:

210 = 30 • (6 + 1) = 30 • 7
180 = 30 • 6 

​V obeh vrsticah smo izpostavili največji skupni delitelj števil 180 in 210, ki je 30.  To pa je isto število, s katerim bi krajšali ulomek 180/210 (glej prvi primer).

Naredimo še en primer, tokrat z nekoliko daljšim postopkom Evklidovega algoritma. Poiščimo največji skupni delitelj števil 80 in 36.

80 = 36 • 2 + 8
36 = 8 • 4 + 4
8 = 4 • 2 + 0

Zadnjo vrstico iz zgornjega zapisa vstavimo v prvo in drugo vrstico, drugo vrstico pa v prvo (+0 ne pišemo):


80 = (8 • 4 + 4) • 2 + 4 • 2
36 = (4 • 2) • 4 + 4

Po ureditvi dobimo:


80 = 8 • 4 • 2 + 4 • 2 + 4 • 2
36 = 2 • 4 • 4 + 4


V obeh vrsticah izpostavimo, kar se da izpostaviti:

80 = 4 • (2 • 8 + 2 + 2) = 4 • 20
36 = 4 • (2 • 4 +1) = 4 
• 9

V obeh vrsticah smo izpostavili 4, ki je največji skupni delitelj števil 80 in 36.  To pa je isto število, s katerim bi krajšali ulomek 80/36.

Kaj pa če bi uporabili kar obe varianti, malo Evklidovega algoritma in malo krajšanja ulomkov?

Števili zapišimo v števec in imenovalec ulomka tako, da bo njegova vrednost večja od ena, nato pa zapis pretvorimo v celi del + ulomek. Nazadnje ulomek okrajšajmo.

V prvem primeru bi račun izgledal takole:

210/180 = 1 cela in 30/180 

🡺 ker ulomek lahko okrajšamo s 30 (180 = 6•30), je 30 največji skupni delitelj števil 180 in 210.

V drugem primeru pa:

80/36 = 2 celi in 8/36
🡺
 ker ulomek lahko okrajšamo s 4 (8 = 2•4, 36 = 4•9), je 4 največji skupni delitelj števil 36 in 80.

Zaključek: Evklidov algoritem je lahko zabavna igra s številkami, ki pa je v življenju ne potrebujemo prav pogosto (niti pri matematiki :)), zato gre kaj hitro v pozabo, medtem ko je krajšanje ulomkov vedno "na tapeti" - vsaj pri matematiki :) - in ga zlepa ne pozabimo.
0 Comments

    ARHIV

    May 2025
    September 2024
    May 2024
    December 2023
    October 2023
    September 2023
    May 2023
    November 2022
    May 2022
    February 2022
    October 2021
    May 2021
    April 2021
    February 2021
    October 2020
    June 2020
    May 2020
    April 2020
    March 2020
    December 2019
    November 2019
    August 2019
    January 2019
    October 2018
    September 2018
    August 2018
    July 2018
    June 2018
    April 2018
    March 2018
    February 2018
    December 2017
    November 2017
    October 2017
    September 2017
    June 2017
    January 2017
    November 2016
    October 2016
    June 2016
    May 2016
    April 2016
    March 2016
    December 2015
    October 2015
    September 2015
    August 2015
    July 2015

    KATEGORIJE

    All
    Algebra
    Aritmetika
    Decimalna števila
    Enačbe
    Funkcije
    Geometrija V Prostoru
    Geometrija V Ravnini
    Grafi Funkcij
    Izrazi
    Koordinatni Sistem
    Kotne Funkcije
    Neenačbe
    Odstotki
    Podobnost
    Praštevila
    Problemske Naloge
    Razstavljanje Izrazov
    Sklepni Račun
    Sorazmerje
    Splošno
    številske Predstave
    Terminologija
    Ulomki

    RSS Feed

Powered by Create your own unique website with customizable templates.
  • Baza znanja
    • Triki in nasveti >
      • Matematika
      • Fizika
      • Geografija
      • Angleščina
      • Elektrotehnika
      • Kemija
      • Slovenščina
    • Sistematično učenje >
      • Matematika
      • Fizika
      • Geografija
      • Slovenščina
      • Kemija
    • Besedilne naloge
    • Učenje in organizacija
  • Aktivnosti
    • Vodene aktivnosti
    • #wodb naloge
    • Problemske naloge
    • Podobnosti in razlike
    • Na kaj pomisliš
    • Računanje "na palec"
    • Problemske niti
  • Igre
    • Igraje do stotice
    • Igriva praštevanka in Čista stotica
    • Brezplačne igre
  • Didaktika
    • Predponkoti
    • Grafično računanje
  • O blogu
  • Kontakt