Verjetno se nihče ne bi branil "nevidne sile", ki bi ga rešila vsakič, ko bi zašel v težave. Verjeli ali ne, v matematiki taka "sila" dejansko obstaja. To je število 1, ki ga v redovalnici seveda ne maramo, :) v matematičnem zvezku pa pride še kako prav.

Število 1 imenujemo tudi enota (oziroma nevtralni element) za množenje, to pa zato, ker je rezultat množenja katerega koli števila z 1 kar število samo (če koga zanima več o tem, lahko pokuka sem). 

Zakaj "nevidna"? Oglejmo si izraz

ab.

Ta izraz lahko pomnožimo z 1 tolikokrat, kot želimo, pa bo še vedno enak 1:

ab⋅1 = ab⋅1⋅1 =  ab⋅1⋅1⋅1 = ... = ab

Ker vemo, da množenje nekega člena (če se sprašujete, kaj je to člen, lahko na hitro pokukate sem) z 1 samega člena ne spremeni, enice nima smisla pisati, dobro pa je vedeti, da je tam. :)

Kateremu faktorju pripada minus?

Člen

-ab

sestavljata dva faktorja, predznak pa nam sporoča, da je ta člen negativen.

Kateremu faktorju pripada minus?

Načeloma lahko pripada a-ju ali pa b-ju (saj poznate tisto: plus in minus pri množenju vrne minus ...), da se ne bomo kregali, pa lahko rečemo tudi nobenemu. :)  Kako? Pomnožimo vse skupaj še z 1 in dobimo.

-1ab oziroma (-1)ab.

Tu pa se lepo vidi, da je minus "ukradla" enica. Ti, ti, enica :)

Kako pri razstavljanju izrazov "ukalupiti" enačbo?

Enačba za razliko kvadratov se glasi:

a²-b² = (a+b)(a-b)

Kaj pa, če imamo v izrazu recimo

a²-1? 

Desni člen lahko mirno pomnožimo z 1 in dobimo:

a²-1²

To pa je že lažje, kajne? :) Podobno lahko storimo tudi z izrazom

-a²+b².

V enačbi je prvi člen pozitiven, drugi pa negativen, mi pa imamo ravno nasprotno situacijo. Tokrat z 1 pomnožimo kar oba člena:

-1a²+1b²,

nato pa izpostavimo (-1):

-1(a²-b²)

in v oklepaju dobimo to, kar želimo. :)

Linearna enačba ima običajno eno rešitev, ni pa vedno tako.

Lahko se tudi zgodi, da enačba nima rešitve ali pa da je rešitev neskončno.

Kako vemo, da enačba nima rešitve? Vemo, da kakršno koli množenje z 0 pomeni rezultat 0. Če pri računanju naletimo na zmnožek neznanke in števila 0, katerega rezultat ni enak 0 (na primer x • 0 = 5 ali pa recimo  0 • x = 8), je očitno, da "tu nekaj ne štima". Res je, večkratnik števila 0 mora biti vedno 0, sicer rešitev ne obstaja.

Predznak + pred prvim členom v računskem izrazu
Če pred prvim členom v računskem izrazu ni predznaka, to pomeni, da je le-ta pozitiven.
A pozor! Če je prvi člen negativen, moramo predznak nujno zapisati!

Katerega izmed faktorjev je potrebno postaviti nad in katerega pod ulomkovo črto?
Vsi številski faktorji znotraj posameznega člena imajo levo od sebe znak za množenje ali deljenje. Glede na to tudi vemo, kam jih postavimo, če člen želimo zapisati v obliki ulomka. Množenje vodi v "zgornje nadstropje" (števec), deljenje pa v "spodnje nadstropje" (imenovalec ulomka) :)
Posebnost pa je faktor na skrajni levi. Tega vedno zapišemo v števec ulomka. Zakaj? Oglejmo si primer na spodnji sliki. Levo od prvega številskega faktorja si predstavljajmo še en faktor - enico, s katero pomnožimo celoten člen (vrednost člena se pri tem seveda ne spremeni, saj množenje z 1 ne spremeni rezultata). Trojka tako predse dobi znak za množenje, kar jo "pelje" v števec ulomka. Enice pa v ulomku tako ali tako ni potrebno pisati (razen če bi bila edina v števcu ali imenovalcu).
Pozor! Če je pred številskim faktorjem na skrajni levi slučajno predznak + ali -, ta ne vpliva na zgoraj povedano, saj se nanaša na celoten člen. Preprosto ga prepišemo pred ulomek.

Kaj se nahaja med celim delom in ulomkom?
Odvisno. Če gre za števila, je vmes plus. Če pa imamo spremenljivke (črke), je vmes krat.

Ničle na skrajni levi in skrajni desni strani decimalnega zapisa
Ničel levo od prve števke celega dela števila in desno od zadnje neničelne decimalke (števke v decimalnem delu števila) ne pišemo:

Čeprav se čudno sliši, je to povsem običajen postopek pri obračanju enačb, ko želimo izraziti iskano spremenljivko (običajno je to x).

Pri tem si velja zapomniti dve glavni pravili:

Prvo pravilo: Člen, ki ga ne potrebujemo (to je tisti člen, ki ne vsebuje iskane spremenljivke), preprosto "vržemo" na drugo stran enačbe, ob tem pa mu spremenimo predznak.

Oglejmo si še zapis omenjenega postopka z matematičnimi znaki.

Pozitiven člen na levi strani enačaja postane negativen ...

... negativni pa pozitiven:

... faktor, ki je na levi strani enačaja v imenovalcu ulomka, pa na desni strani pomnožimo s preostalim delom enačbe:

Računski izrazi lahko vsebujejo le številke, poleg teh pa v njem lahko nastopajo tudi črke oziroma spremenljivke. Tokratni algoritem opisuje reševanje slednjih.

Naj na kratko razložimo naš algoritem:

• najprej  ugotovimo, s kakšnimi oklepaji imamo opravka:
  - če imamo zaporedno dva oklepaja in je vsaj v enem več členov, na vseh
     kombinacijah med posameznim členom iz prvega oklepaja in posameznim
     členom iz drugega oklepaja uporabimo oranžno* pravilo;
  - če imamo le en oklepaj z več členi, pred njim pa je minus, izbrišemo oklepaj in
     vsem členom znotraj oklepaja spremenimo predznak
• če so oklepaji vgnezdeni, je potrebno celoten postopek iz prve točke najprej izvesti na notranjih, potem pa še na zunanjih oklepajih
• ko oklepajev ni več, s pomočjo zelenega* pravila grupiramo podobne člene;
• na podobnih členih uporabimo rumeno* pravilo.

* rumeno pravilo seštevanja in odštevanja, oranžno pravilo množenja in deljenja ter zeleno pravilo grupiranja podobnih členov smo definirali zato, da se v algoritmu ne ukvarjamo preveč z osnovami računanja, ampak lahko takoj preidemo na bistvo problema. Preko priloženih povezav pa seveda lahko kadarkoli ponovimo tudi osnove, če so nam slučajno "ušle iz glave" ;) 

Pomni! Potence veččlenikov so v osnovi množenje veččlenikov (samih s seboj), zato v algoritmu take situacije niso posebej navedene.
Pomni! Če imamo le en oklepaj z več členi, pred njim pa je plus, le izbrišemo oklepaj, saj je nepotreben (tudi taka situacija v algoritmu ni posebej opisana).
Pomni! Dvočleniki so v algoritmu pridruženi veččlenikom, tako da niso posebej omenjeni.

V računskih izrazih poznamo dve osnovni postavitvi oklepajev:

• zaporedno in
• vgnezdeno.

Zaporedna oklepaja lahko razrešujemo istočasno (v isti vrstici izraza), medtem ko pri vgnezdenih oklepajih začnemo z reševanjem v notranjosti, nakar se pomikamo navzven.

Primera z zaporednimi oklepaji:

• 2 + 3 -(1-2+3) + 5 -(8-3)
• (a+b) - 4c + 3 -(c-d)

Primera z vgnezdenimi oklepaji:

• 2 + 3 -( 1 -(2+3)) +5 -(8-3)
• (a+b)+4c -3(a -(c-d))
  
  

Pri vgnezdenih oklepajih si lahko pomagamo tako, da za oklepaje v "enaki globini" uporabimo ločene oblike oklepajev, na primer:

• (a+b)+4c -3(a -{c - 5[a + d] + 5})

Za razliko od "rumenega" in "oranžnega" pravila zeleno pravilo uporabljamo samo pri računanju izrazov v algebri (črke in številke) in sicer pri poenostavljanju končnega izraza ("kače" členov, ki nam ostane potem, ko smo že razrešili oklepaje ter vse potrebno potencirali, korenili, zmnožili in delili)

Pri rumenem pravilu seštevanja in odštevanja smo omenili, da v algebri podobne člene seštevamo / odštevamo ločeno ("hrušk in jabolk" seveda ne moremo seštevati :) ). 

Zeleno pravilo se glasi:

• podčrtaj vse člene v "končni kači" le-teh; pri tem podobne člene podčrtaj z enakim vzorcem (npr. dve ravni črti, vijugasta črta, poševne črtice ... podobno, kot pri slovenščini podčrtujemo stavčne člene); za večjo preglednost  lahko posamezne člene obkrožimo z oranžno barvo.
• v skladu z "rumenim" pravilom seštej oziroma odštej (enako podčrtane) podobne člene (seštej oziroma odštej številske faktorje, rezultatu pa pripiši spremenljivke oz. črke, na primer 5ab - 2ab = 3ab) 

Pomni! Podobni členi so tisti členi, ki imajo različne številske faktorje in enake spremenljivke (na primer 4bc in -3bc). Enaki členi pa imajo enake tako številske faktorje kot tudi spremenljivke. Če odštejemo enaka člena, dobimo 0.

Primer končne "kače" členov; členi so obkroženi z oranžno barvo in nato grupirani po zelenem pravilu. Znotraj vsake "zelene" skupine je uporabljeno rumeno pravilo; ravna črta so a-ji, vijugasta b-ji, poševno črtkana črta pa predstavlja številske člene.

Rumeno pravilo" seštevanja in odštevanja že poznamo, za naziv "mojster reševanja matematičnih izrazov" pa moramo spoznati še t.i. oranžno pravilo množenja in deljenja.

Kot vemo, so seštevanje, odštevanje, množenje in deljenje osnovne matematične operacije. Vemo tudi, da imata množenje in deljenje v računskih izrazih prednost pred seštevanjem in odštevanjem. "Oranžno pravilo" bo imelo torej prednost pred "rumenim".

​Pravilo množenja in deljenja uporabimo pri:

• aritmetičnih izrazih (samo številke) za množenje in deljenje števil bodisi znotraj oklepaja bodisi potem, ko smo vrednost v oklepajih že izračunali; sem spada tudi množenje oziroma deljenje z negativnimi števili v "zaščitnih" oklepajih, na primer 5⋅(-3); 
• aritmetičnih izrazih (samo številke) za potenciranje števil, na primer (-5)²; 
• algebrskih izrazih (številke in črke) za množenje člena pred ali za oklepajem s členi v oklepaju (množenje enočlenika z veččlenikom), na primer 2a⋅(a-3); sem spada tudi situacija, ko je pred oklepajem samo minus (tu gre dejansko za množenje vrednosti v oklepaju z (-1), a enice ne pišemo, na primer -(a-3);​
• algebrskih izrazih (številke in črke) za križno množenje členov v enem oklepaju s členi v drugem oklepaju (množenje veččlenika z veččlenikom), na primer (a+2)(b-3).

Za množenje oziroma deljenje dveh členov se pravilo glasi:

• predznak zmnožka členov z različnima predznakoma (+ in - oziroma - in +) je minus; 
• predznak zmnožka členov z enakima predznakoma (+ in + oziroma - in -) pa je plus.

Oglejmo si ga še v grafični obliki (več o pomenu krožcev si lahko ogledate v članku o računanju s simboli):

Primer uporabe oranžnega pravila v aritmetičnem izrazu

Primer uporabe oranžnega pravila v algebrskem izrazu

"Kakšno pravilo pa je že spet to?" boste nemara pripomnili. Brez panike, to pravilo ni le še ena kaplja v morju pravil, med katerimi se ne znajdete več. Da bi vam olajšali pot iz matematične zagate, smo za vas pripravili nekaj temeljnih pravil za računanje. In jih poimenovali kar po barvah, česar boste veseli predvsem "vizualni tipi". Vsako izmed pravil bomo predstavili posebej, potem pa se bomo nanje po potrebi sklicevali. Videli boste, da teh pravil niti ni toliko, kot si mislimo. Vsaj ne osnovnih. Kar nakazuje, da matematika res ni tako težka, kot se zdi na prvi pogled :)

Začnimo z najosnovnejšim pravilom računanja, pravilom o seštevanju in odštevanju.

Pravilo seštevanja in odštevanja uporabimo pri:

• aritmetičnih izrazih (samo številke) za računanje znotraj oklepaja, na primer 3-2⋅(4+5-3);
• aritmetičnih izrazih za poenostavljanje končnega izraza ("kače" členov, ki nam ostane potem, ko smo že vse potrebno potencirali, korenili, zmnožili in delili), na primer 5+6-4;
• algebrskih izrazih (številke in črke) za poenostavljanje končnega izraza ("kače" členov, ki nam ostane potem, ko smo že vse potrebno potencirali, korenili, zmnožili in delili), na primer 2a-3b+4a-2b.

Pravilo se glasi:

• seštej vse, kar ima predznak "plus" (sem spada tudi prvi člen v "kači" členov, če pred seboj nima minusa)
• seštej vse, kar ima predznak "minus"
• odštej zgornji dve vrednosti (vsoto "plusov" in vsoto "minusov")
• predznak razlike določa "močnejši"; če je večja vsota "plusov", je razlika pozitivna, če je večja vsota "minusov", je razlika negativna.

Pri računanju si lahko pomagamo tudi s tabelo.

Pozor! V algebri (številke in črke) podobne člene seštevamo / odštevamo ločeno, saj "hrušk in jabolk" seveda ne moremo seštevati :). 

Ideja (aritmetika - samo številke): Števila, na katerih bomo uporabili rumeno pravilo, lahko obkrožimo z rumeno in jih pobarvamo. 

Primeri uporabe rumenega pravila v aritmetičnem računskem izrazu

Ideja (algebra - številke in črke): Na koncu računa, ko imamo le še "kačo" členov, vsak člen obkrožimo z oranžno barvo, pod členi pa z zeleno barvo označimo posamezne podobne člene (ravna črta, vijugasta črta, poševno črtkana črta, ...) Tako dobimo pregleden "zemljevid" podobnih členov, ki nam bo olajšal končen izračun po rumenem pravilu z upoštevanjem grupiranja podobnih členov (zeleno pravilo). ​

Primer končne "kače" členov; členi so obkroženi z oranžno barvo in nato grupirani po zelenem pravilu. Znotraj vsake "zelene" skupine je uporabljeno rumeno pravilo; ravna črta so a-ji, vijugasta b-ji, poševno črtkana črta pa predstavlja številske člene.