OSVOJI ZNANJE
  • Baza znanja
    • Triki in nasveti >
      • Matematika
      • Fizika
      • Geografija
      • Angleščina
      • Elektrotehnika
      • Kemija
      • Slovenščina
    • Na hitro ponovim >
      • Matematika
      • Fizika
      • Geografija
      • Slovenščina
      • Kemija
    • Besedilne naloge
    • Učenje in organizacija
  • Aktivnosti
    • Vodene aktivnosti
    • #wodb naloge
    • Problemske naloge
    • Podobnosti in razlike
    • Na kaj pomisliš
    • Računanje "na palec"
    • Problemske niti
  • Igre
    • Igraje do stotice
    • Igriva praštevanka in Čista stotica
    • Brezplačne igre
  • Didaktika
    • Predponkoti
    • Grafično računanje
  • O blogu
  • Kontakt

Moč nevidne enice

5/6/2020

0 Comments

 
Verjetno se nihče ne bi branil "nevidne sile", ki bi ga rešila vsakič, ko bi zašel v težave. Verjeli ali ne, v matematiki taka "sila" dejansko obstaja. To je število 1, ki ga v redovalnici seveda ne maramo, :) v matematičnem zvezku pa pride še kako prav.

Število 1 imenujemo tudi enota (oziroma nevtralni element) za množenje, to pa zato, ker je rezultat množenja katerega koli števila z 1 kar število samo (če koga zanima več o tem, lahko pokuka sem). 

Zakaj "nevidna"? Oglejmo si izraz

ab.

Ta izraz lahko pomnožimo z 1 tolikokrat, kot želimo, pa bo še vedno enak 1:

ab⋅1 = ab⋅1⋅1 =  ab⋅1⋅1⋅1 = ... = ab

Ker vemo, da množenje nekega člena (če se sprašujete, kaj je to člen, lahko na hitro pokukate sem) z 1 samega člena ne spremeni, enice nima smisla pisati, dobro pa je vedeti, da je tam. :)

Kateremu faktorju pripada minus?

Člen

-ab

sestavljata dva faktorja, predznak pa nam sporoča, da je ta člen negativen.

Kateremu faktorju pripada minus?

Načeloma lahko pripada a-ju ali pa b-ju (saj poznate tisto: plus in minus pri množenju vrne minus ...), da se ne bomo kregali, pa lahko rečemo tudi nobenemu. :)  Kako? Pomnožimo vse skupaj še z 1 in dobimo.

-1ab oziroma (-1)ab.

Tu pa se lepo vidi, da je minus "ukradla" enica. Ti, ti, enica :)

Kako pri razstavljanju izrazov "ukalupiti" enačbo?

Enačba za razliko kvadratov se glasi:

a²-b² = (a+b)(a-b)

Kaj pa, če imamo v izrazu recimo

a²-1? 

Desni člen lahko mirno pomnožimo z 1 in dobimo:

a²-1²

To pa je že lažje, kajne? :) Podobno lahko storimo tudi z izrazom

-a²+b².

V enačbi je prvi člen pozitiven, drugi pa negativen, mi pa imamo ravno nasprotno situacijo. Tokrat z 1 pomnožimo kar oba člena:

-1a²+1b²,

nato pa izpostavimo (-1):

-1(a²-b²)

in v oklepaju dobimo to, kar želimo. :)
0 Comments

Ti presneti ulomki, polni izrazi in enačbe so jih

15/3/2020

0 Comments

 
Ulomkov marsikdo ne mara, delno tudi zato, ker jih v izrazih ne moremo preprosto seštevati in odštevati, ampak jih moramo prej vedno razširiti na najmanjši skupni imenovalec:
Picture
Nekoliko raje jih imamo v enačbah. Tu nam ulomkov ni potrebno razširjati na najmanjši skupni imenovalec, ampak z njim preprosto pomnožimo obe strani enačbe. Najboljše pri vsem tem je pa to, da gredo na ta način ulomki pa pa 😉
Picture
0 Comments

Linearne enačbe z neobičajnimi rešitvami

14/3/2020

0 Comments

 
Linearna enačba ima običajno eno rešitev, ni pa vedno tako.

Lahko se tudi zgodi, da enačba nima rešitve ali pa da je rešitev neskončno.

Kako vemo, da enačba nima rešitve? Vemo, da kakršno koli množenje z 0 pomeni rezultat 0. Če pri računanju naletimo na zmnožek neznanke in števila 0, katerega rezultat ni enak 0 (na primer x • 0 = 5 ali pa recimo  0 • x = 8), je očitno, da "tu nekaj ne štima". Res je, večkratnik števila 0 mora biti vedno 0, sicer rešitev ne obstaja.
Picture
Kako pa vemo, da je rešitev neskončno? Že prej smo povedali, da kakršno koli množenje z 0 pomeni rezultat 0. Če pri računanju naletimo na zmnožek neznanke in števila 0, katerega rezultat je enak 0, pa ni nič narobe. Večkratnik števila 0 je vedno 0, ne glede na to, koliko je x oziroma s katerim številom množimo 0. Zato je x lahko katero koli število, torej je rešitev karkoli oziroma ima enačba neskončno rešitev.
Picture
0 Comments

Matematične skrivalnice

26/12/2019

0 Comments

 
V matematiki se velikokrat zgodi, da nekaj dejansko je tam, a tega ne vidimo ... in - papa točka ali dve pri kontrolki :(

Matematika je sinonim za urejenost, zato mora pri zapisih vse "lepo izgledati", brez "odvečne krame" in med to "kramo" spada tudi nekaj predznakov in znakov za računske operacije. Lahko pa si zadevo predstavljamo tudi drugače, zamislimo si, da so matematiki le leni in se jim teh znakov enostavno ne da pisati :)

Oglejmo si nekaj najznačilnejših primerov.

Znak za množenje med spremenljivkami
kljub temu, da znaka za množenje med spremenljivkami (črkami v računih) ne pišemo, moramo vedeti, da je tam.
A pozor:
Znak za množenje med številkami je nujen!

Picture
Predznak + pred prvim členom v računskem izrazu
Če pred prvim členom v računskem izrazu ni predznaka, to pomeni, da je le-ta pozitiven.
A pozor!
Če je prvi člen negativen, moramo predznak nujno zapisati!
Picture
Katerega izmed faktorjev je potrebno postaviti nad in katerega pod ulomkovo črto?
Vsi številski faktorji znotraj posameznega člena imajo levo od sebe znak za množenje ali deljenje. Glede na to tudi vemo, kam jih postavimo, če člen želimo zapisati v obliki ulomka. Množenje vodi v "zgornje nadstropje" (števec), deljenje pa v "spodnje nadstropje" (imenovalec ulomka) :)
Posebnost pa je faktor na skrajni levi. Tega vedno zapišemo v števec ulomka. Zakaj? Oglejmo si primer na spodnji sliki. Levo od prvega številskega faktorja si predstavljajmo še en faktor - enico, s katero pomnožimo celoten člen (vrednost člena se pri tem seveda ne spremeni, saj množenje z 1 ne spremeni rezultata). Trojka tako predse dobi znak za množenje, kar jo "pelje" v števec ulomka. Enice pa v ulomku tako ali tako ni potrebno pisati (razen če bi bila edina v števcu ali imenovalcu).
Pozor! Če je pred številskim faktorjem na skrajni levi slučajno predznak + ali -, ta ne vpliva na zgoraj povedano, saj se nanaša na celoten člen. Preprosto ga prepišemo pred ulomek.
Picture
Kaj se nahaja med celim delom in ulomkom?
Odvisno. Če gre za števila, je vmes plus. Če pa imamo spremenljivke (črke), je vmes krat.
Picture
Picture
Ničle na skrajni levi in skrajni desni strani decimalnega zapisa
Ničel levo od prve števke celega dela števila in desno od zadnje neničelne decimalke (števke v decimalnem delu števila) ne pišemo:
Picture
Picture
Decimalna vejica pri celem številu?
Celo število ne vsebuje decimalne vejice, je pa pri deljenju takega števila z večkratniki števila 10 dobro vedeti, "od kje pride". Vejica namreč "potrpežljivo čaka" na desni strani števke, ki v mestnovrednostnem konceptu predstavlja enico.
Picture
0 Comments

Čemu Prevračanje in cepljenje členov?

17/10/2018

0 Comments

 
Čeprav se čudno sliši, je to povsem običajen postopek pri obračanju enačb, ko želimo izraziti iskano spremenljivko (običajno je to x).

Pri tem si velja zapomniti dve glavni pravili:

Prvo pravilo: Člen, ki ga ne potrebujemo (to je tisti člen, ki ne vsebuje iskane spremenljivke), preprosto "vržemo" na drugo stran enačbe, ob tem pa mu spremenimo predznak.

Oglejmo si še zapis omenjenega postopka z matematičnimi znaki.

Pozitiven člen na levi strani enačaja postane negativen ...
Picture
... negativni pa pozitiven:
Picture
Drugo pravilo: Ko imamo na levi (ali desni) strani enačbe le še tisti člen, ki vsebuje iskano spremenljivko, le-tega "razcepimo", tako da na tej strani enačbe ostane le še iskana spremenljivka, ostale faktorje pa prestavimo na drugo stran enačbe. Ob tem se  prestavljenim faktorjem ne spremeni predznak, ampak položaj. Če so bili na eni strani v imenovalcu ulomka, so na drugi strani v števcu in obratno.

​
Oglejmo si še zapis omenjenega postopka z matematičnimi znaki.

Faktor, pomnožen s spremenljivko x na levi strani enačaja, se na desni strani preseli v imenovalec ulomka ...
Picture
... faktor, ki je na levi strani enačaja v imenovalcu ulomka, pa na desni strani pomnožimo s preostalim delom enačbe:
Picture
Pozor! Pri drugem pravilu moramo v primeru več členov na desni strani uporabiti oklepaj!

Primer:

x/2 = 2a + b
x = 2(2a+b)

0 Comments

Algoritem za računanje algebrskih izrazov (številke in črke)

23/9/2018

0 Comments

 
Računski izrazi lahko vsebujejo le številke, poleg teh pa v njem lahko nastopajo tudi črke oziroma spremenljivke. Tokratni algoritem opisuje reševanje slednjih.

Naj na kratko razložimo naš algoritem:
  • najprej  ugotovimo, s kakšnimi oklepaji imamo opravka:
    - če imamo zaporedno dva oklepaja in je vsaj v enem več členov, na vseh
       kombinacijah med posameznim členom iz prvega oklepaja in posameznim
       členom iz drugega oklepaja uporabimo oranžno* pravilo;
    - če imamo le en oklepaj z več členi, pred njim pa je minus, izbrišemo oklepaj in
       vsem členom znotraj oklepaja spremenimo predznak
  • če so oklepaji vgnezdeni, je potrebno celoten postopek iz prve točke najprej izvesti na notranjih, potem pa še na zunanjih oklepajih
  • ko oklepajev ni več, s pomočjo zelenega* pravila grupiramo podobne člene;
  • na podobnih členih uporabimo rumeno* pravilo.

* rumeno pravilo seštevanja in odštevanja, oranžno pravilo množenja in deljenja ter zeleno pravilo grupiranja podobnih členov smo definirali zato, da se v algoritmu ne ukvarjamo preveč z osnovami računanja, ampak lahko takoj preidemo na bistvo problema. Preko priloženih povezav pa seveda lahko kadarkoli ponovimo tudi osnove, če so nam slučajno "ušle iz glave" ;) 

Pomni! Potence veččlenikov so v osnovi množenje veččlenikov (samih s seboj), zato v algoritmu take situacije niso posebej navedene.
Pomni! Če imamo le en oklepaj z več členi, pred njim pa je plus, le izbrišemo oklepaj, saj je nepotreben (tudi taka situacija v algoritmu ni posebej opisana).
Pomni! Dvočleniki so v algoritmu pridruženi veččlenikom, tako da niso posebej omenjeni.
Picture
0 Comments

Postavitev oklepajev pri računskih izrazih

25/8/2018

0 Comments

 
V računskih izrazih poznamo dve osnovni postavitvi oklepajev:
  • zaporedno in
  • vgnezdeno.

Zaporedna oklepaja lahko razrešujemo istočasno (v isti vrstici izraza), medtem ko pri vgnezdenih oklepajih začnemo z reševanjem v notranjosti, nakar se pomikamo navzven.

Primera z zaporednimi oklepaji:
  • 2 + 3 -(1-2+3) + 5 -(8-3)
  • (a+b) - 4c + 3 -(c-d)

Primera z vgnezdenimi oklepaji:
  • 2 + 3 -( 1 -(2+3)) +5 -(8-3)
  • (a+b)+4c -3(a -(c-d))

Pri vgnezdenih oklepajih si lahko pomagamo tako, da za oklepaje v "enaki globini" uporabimo ločene oblike oklepajev, na primer:
  • (a+b)+4c -3(a -{c - 5[a + d] + 5})



0 Comments

Zeleno pravilo razvrščanja (grupiranja) podobnih členov

25/8/2018

0 Comments

 
Za razliko od "rumenega" in "oranžnega" pravila zeleno pravilo uporabljamo samo pri računanju izrazov v algebri (črke in številke) in sicer pri poenostavljanju končnega izraza ("kače" členov, ki nam ostane potem, ko smo že razrešili oklepaje ter vse potrebno potencirali, korenili, zmnožili in delili)

Pri rumenem pravilu seštevanja in odštevanja smo omenili, da v algebri podobne člene seštevamo / odštevamo ločeno ("hrušk in jabolk" seveda ne moremo seštevati :) ). 

Zeleno pravilo se glasi:
  • podčrtaj vse člene v "končni kači" le-teh; pri tem podobne člene podčrtaj z enakim vzorcem (npr. dve ravni črti, vijugasta črta, poševne črtice ... podobno, kot pri slovenščini podčrtujemo stavčne člene); za večjo preglednost  lahko posamezne člene obkrožimo z oranžno barvo.
  • v skladu z "rumenim" pravilom seštej oziroma odštej (enako podčrtane) podobne člene (seštej oziroma odštej številske faktorje, rezultatu pa pripiši spremenljivke oz. črke, na primer 5ab - 2ab = 3ab) 

Pomni! Podobni členi so tisti členi, ki imajo različne številske faktorje in enake spremenljivke (na primer 4bc in -3bc). Enaki členi pa imajo enake tako številske faktorje kot tudi spremenljivke. Če odštejemo enaka člena, dobimo 0.

Picture
Primer končne "kače" členov; členi so obkroženi z oranžno barvo in nato grupirani po zelenem pravilu. Znotraj vsake "zelene" skupine je uporabljeno rumeno pravilo; ravna črta so a-ji, vijugasta b-ji, poševno črtkana črta pa predstavlja številske člene.
0 Comments

Oranžno pravilo množenja in deljenja

25/8/2018

0 Comments

 
Rumeno pravilo" seštevanja in odštevanja že poznamo, za naziv "mojster reševanja matematičnih izrazov" pa moramo spoznati še t.i. oranžno pravilo množenja in deljenja.

Kot vemo, so seštevanje, odštevanje, množenje in deljenje osnovne matematične operacije. Vemo tudi, da imata množenje in deljenje v računskih izrazih prednost pred seštevanjem in odštevanjem. "Oranžno pravilo" bo imelo torej prednost pred "rumenim".

​Pravilo množenja in deljenja uporabimo pri:
  • aritmetičnih izrazih (samo številke) za množenje in deljenje števil bodisi znotraj oklepaja bodisi potem, ko smo vrednost v oklepajih že izračunali; sem spada tudi množenje oziroma deljenje z negativnimi števili v "zaščitnih" oklepajih, na primer 5⋅(-3); 
  • aritmetičnih izrazih (samo številke) za potenciranje števil, na primer (-5)²; 
  • algebrskih izrazih (številke in črke) za množenje člena pred ali za oklepajem s členi v oklepaju (množenje enočlenika z veččlenikom), na primer 2a⋅(a-3); sem spada tudi situacija, ko je pred oklepajem samo minus (tu gre dejansko za množenje vrednosti v oklepaju z (-1), a enice ne pišemo, na primer -(a-3);​
  • algebrskih izrazih (številke in črke) za križno množenje členov v enem oklepaju s členi v drugem oklepaju (množenje veččlenika z veččlenikom), na primer (a+2)(b-3).

Za množenje oziroma deljenje dveh členov se pravilo glasi:
  • predznak zmnožka členov z različnima predznakoma (+ in - oziroma - in +) je minus; 
  • predznak zmnožka členov z enakima predznakoma (+ in + oziroma - in -) pa je plus.

Oglejmo si ga še v grafični obliki (več o pomenu krožcev si lahko ogledate v članku o računanju s simboli):
Picture
Pomni! Situacijo, ko je pred oklepajem samo minus, upoštevamo kot množenje (-1) s členi v oklepaju, torej se vsem členom v oklepaju zamenja predznak!

V primeru več členov pa pravilo lahko posplošimo:
  • če v produktu / količniku nastopa liho število negativnih členov,  je končni predznak minus; 
  • če v produktu / količniku nastopa sodo število negativnih členov,  pa je končni predznak plus.

Pomni! Potenciranje števila upoštevamo kot množenje števila s samim seboj (tolikokrat, kolikor je vrednost eksponenta); v primeru potenciranja negativnega števila (minus je znotraj oklepaja, na primer (-5)²) je zato končni predznak odvisen od tega, ali je eksponent liho ali sodo število! Potenciranje posameznega števila vedno izvedemo pred množenjem z ostalimi faktorji znotraj posameznega člena! V izrazu 3⋅(-3)² recimo najprej izračunamo (-3)²=9 in nato šele 3⋅9=27. V istem koraku kot potenciranje izvedemo tudi korenjenje, a zanj oranžnega pravila ne uporabljamo.

Ideja: Člen, znotraj katerega bomo uporabili oranžno pravilo, lahko obkrožimo z oranžno in ga pobarvamo. Po uporabi oranžnega pravila nastanejo novi členi, katere le obkrožimo z oranžno barvo. Z oranžno barvo lahko obkrožimo tudi ostale člene, kjer oranžnega pravila ni potrebno uporabiti. Tako dobimo pregleden "zemljevid" členov, ki jih bomo potrebovali za končen izračun po rumenem (aritmetika - samo številke) oziroma zelenem in rumenem (algebra - številke in črke) pravilu.

Picture
Primer uporabe oranžnega pravila v aritmetičnem izrazu

Picture
Primer uporabe oranžnega pravila v algebrskem izrazu
0 Comments

Rumeno pravilo seštevanja in odštevanja

17/8/2018

0 Comments

 
"Kakšno pravilo pa je že spet to?" boste nemara pripomnili. Brez panike, to pravilo ni le še ena kaplja v morju pravil, med katerimi se ne znajdete več. Da bi vam olajšali pot iz matematične zagate, smo za vas pripravili nekaj temeljnih pravil za računanje. In jih poimenovali kar po barvah, česar boste veseli predvsem "vizualni tipi". Vsako izmed pravil bomo predstavili posebej, potem pa se bomo nanje po potrebi sklicevali. Videli boste, da teh pravil niti ni toliko, kot si mislimo. Vsaj ne osnovnih. Kar nakazuje, da matematika res ni tako težka, kot se zdi na prvi pogled :)

Začnimo z najosnovnejšim pravilom računanja, pravilom o seštevanju in odštevanju.

Pravilo seštevanja in odštevanja uporabimo pri:
  • aritmetičnih izrazih (samo številke) za računanje znotraj oklepaja, na primer 3-2⋅(4+5-3);
  • aritmetičnih izrazih za poenostavljanje končnega izraza ("kače" členov, ki nam ostane potem, ko smo že vse potrebno potencirali, korenili, zmnožili in delili), na primer 5+6-4;
  • algebrskih izrazih (številke in črke) za poenostavljanje končnega izraza ("kače" členov, ki nam ostane potem, ko smo že vse potrebno potencirali, korenili, zmnožili in delili), na primer 2a-3b+4a-2b.

Pravilo se glasi:
  • seštej vse, kar ima predznak "plus" (sem spada tudi prvi člen v "kači" členov, če pred seboj nima minusa)
  • seštej vse, kar ima predznak "minus"
  • odštej zgornji dve vrednosti (vsoto "plusov" in vsoto "minusov")
  • predznak razlike določa "močnejši"; če je večja vsota "plusov", je razlika pozitivna, če je večja vsota "minusov", je razlika negativna.

Pri računanju si lahko pomagamo tudi s tabelo.

Pozor! V algebri (številke in črke) podobne člene seštevamo / odštevamo ločeno, saj "hrušk in jabolk" seveda ne moremo seštevati :). 

Ideja (aritmetika - samo številke): Števila, na katerih bomo uporabili rumeno pravilo, lahko obkrožimo z rumeno in jih pobarvamo. 

Picture
Primeri uporabe rumenega pravila v aritmetičnem računskem izrazu

Ideja (algebra - številke in črke): Na koncu računa, ko imamo le še "kačo" členov, vsak člen obkrožimo z oranžno barvo, pod členi pa z zeleno barvo označimo posamezne podobne člene (ravna črta, vijugasta črta, poševno črtkana črta, ...) Tako dobimo pregleden "zemljevid" podobnih členov, ki nam bo olajšal končen izračun po rumenem pravilu z upoštevanjem grupiranja podobnih členov (zeleno pravilo). ​

Picture
Primer končne "kače" členov; členi so obkroženi z oranžno barvo in nato grupirani po zelenem pravilu. Znotraj vsake "zelene" skupine je uporabljeno rumeno pravilo; ravna črta so a-ji, vijugasta b-ji, poševno črtkana črta pa predstavlja številske člene.
0 Comments
<<Previous

    ARHIV

    September 2023
    May 2023
    November 2022
    May 2022
    February 2022
    October 2021
    May 2021
    April 2021
    February 2021
    October 2020
    June 2020
    May 2020
    April 2020
    March 2020
    December 2019
    November 2019
    August 2019
    January 2019
    October 2018
    September 2018
    August 2018
    July 2018
    June 2018
    April 2018
    March 2018
    February 2018
    December 2017
    November 2017
    October 2017
    September 2017
    June 2017
    January 2017
    November 2016
    October 2016
    June 2016
    May 2016
    April 2016
    March 2016
    December 2015
    October 2015
    September 2015
    August 2015
    July 2015

    KATEGORIJE

    All
    Algebra
    Aritmetika
    Decimalna števila
    Enačbe
    Funkcije
    Geometrija V Prostoru
    Geometrija V Ravnini
    Grafi Funkcij
    Izrazi
    Koordinatni Sistem
    Kotne Funkcije
    Neenačbe
    Odstotki
    Podobnost
    Problemske Naloge
    Razstavljanje Izrazov
    Sklepni Račun
    Sorazmerje
    Splošno
    Terminologija
    Ulomki

    RSS Feed

Powered by Create your own unique website with customizable templates.
  • Baza znanja
    • Triki in nasveti >
      • Matematika
      • Fizika
      • Geografija
      • Angleščina
      • Elektrotehnika
      • Kemija
      • Slovenščina
    • Na hitro ponovim >
      • Matematika
      • Fizika
      • Geografija
      • Slovenščina
      • Kemija
    • Besedilne naloge
    • Učenje in organizacija
  • Aktivnosti
    • Vodene aktivnosti
    • #wodb naloge
    • Problemske naloge
    • Podobnosti in razlike
    • Na kaj pomisliš
    • Računanje "na palec"
    • Problemske niti
  • Igre
    • Igraje do stotice
    • Igriva praštevanka in Čista stotica
    • Brezplačne igre
  • Didaktika
    • Predponkoti
    • Grafično računanje
  • O blogu
  • Kontakt