Ste se kdaj "zataknili" pri definicijskem območju ali zalogi vrednosti?

Govorimo seveda o funkcijah, takih in drugačnih, vsaki z zvrhanim košem lastnosti :) Da pred tablo ali na pisnem testu ne boste "debelo gledali", vam predstavimo nekaj idej, kako funkciji določiti lastnosti na čim lažji način.

Definicijsko območje

Začnimo z definicijskim območjem, ki smo ga malo prej že omenili. Kot vemo, funkcija preslika neodvisno spremenljivko (največkrat je to x) v odvisno spremenljivko (običajno y). In definicijsko območje pomeni tiste vrednosti x, ki se bodo preslikale v y. Jap, ne pridejo vedno vse na vrsto za preslikavo ;)

Definicijsko območje si je najlažje predstavljati na grafu funkcije. Zamislite si, da ste možak na spodnji sliki. Hodite po abscisi koordinatnega sistema (to je x os) od leve proti desni strani (v tej smeri tudi pišemo). Pri hoji se ozirate navzgor in navzdol, če boste kje videli funkcijo. Del poti, kjer je funkcija vidna, pobarvate z zeleno (tako kot je označeno na spodnji sliki). Interval, ki ste ga narisali (obarvan zeleno), je definicijsko območje funkcije:

Naj omenimo še to, da točke, kjer graf iz padanja preide v naraščanje (in obratno), ne spadajo v intervale naraščanja oz. padanja, zato so oklepaji v zapisu intervalov vedno okrogli.

Ne pozabimo: če graf "pride iz neskončnosti" oziroma "gre v neskončnost", moramo pa tako ali tako uporabiti okrogli oklepaj!

Omejenost

Funkcija je lahko omejena navzgor, navzdol ali pa kar v obe smeri (in ne na levo in desno, kot se včasih kdo rad zmoti).

Vsi ste že kdaj merili svojo višino. Če ne drugače, so vas izmerili na sistematskem pregledu. Na podoben način lahko "izmerimo" tudi funkcijo, s to razliko, da ne bomo podali njene višine, ampak le najnižjo in najvišjo točko.

Zopet si pomagajmo z grafom funkcije. Zamislimo si dve veliki pokrovki (na sliki rdeče barve), med kateri "ulovimo" funkcijo. Zakaj ravno pokrovki? Zato, da bo zares "odbito" in si boste zato bolj zapomnili :)

Položaj spodnje pokrovke na navpični (y) osi nam pove spodnjo mejo funkcije (označimo jo z malo črko m), položaj zgornje pokrovke na y osi pa nam pove zgornjo mejo funkcije (označimo jo z veliko črko M).

Včasih se zgodi, da funkcije ne moremo "ujeti v pokrovko". V tem primeru funkcija navzdol oz. navzgor ni omejena. Kakšne niso omejene navzgor, druge navzdol, se pa najdejo tudi take, ki sploh niso omejene.​

Pozitivnost in negativnost

Poglejmo, pri katerih vrednostih x je funkcija pozitivna oziroma negativna. Tudi tu vrednosti spremenljivke podajamo v obliki intervalov ("vodoravni" intervali, obarvani zeleno)

Spomnimo se poglavja o definicijskem območju, kjer se je zelen možak oziral navzgor in navzdol ter preverjal, kje je funkcija vidna. Takrat ga ni zanimalo, ali je funkcija nad ali pod njim, sedaj pa je to pomembno (zato smo možaku glavo obarvali rdeče). Kadar je funkcija nad možakom, je le-ta pozitivna, kadar pa je pod njim, pa je negativna:

Točke, kjer graf seka x os, ne spadajo v intervale pozitivnosti oz. negativnosti (uporabimo okrogli oklepaj!), saj tam funkcija ni ne pozitivna in ne negativna, ampak je njena vrednost enaka nič. Te točke imenujemo ničle funkcije. K njim se še vrnemo v nadaljevanju.

​Ne pozabimo: Če graf "pride iz neskončnosti" in/ali "gre v neskončnost", moramo na začetku prvega in/ali na koncu zadnjega intervala uporabiti okrogli oklepaj!

Ničle funkcije

Nekaj vrstic nazaj smo iskali vrednosti (neodvisne) spremenljivke x, pri katerih je funkcija pozitivna oziroma negativna. In kakšno vrednost ima funkcija, če ni niti pozitivna, niti negativna? Nič, seveda :)

Točke, v katerih ima funkcija vrednost 0, imenujemo ničle funkcije. Nahajajo se na abscisni (x) osi koordinatnega sistema.

Ne pozabimo: v ničlah je y enak 0, medtem ko vrednost "ničle" pove x!

Na grafu ničle funkcije izgledajo kot neki kamni na zeleni poti (vodoravna x os), ob katere se spotika naš možic, ki smo ga že kar nekajkrat srečali:

V ničli graf seka ali pa se dotika (zeleno označene) x osi. Graf seka x os v ničlah "lihega reda" (stopnje 1,3,5,...), dotika se ga pa v ničlah "sodega reda" (stopnje 2,4,6,...).

V našem primeru sta ničli dve. Prva ima vrednost 0, druga pa vrednost 2. Označeni sta z zelenim okvirčkom.​

Začetna vrednost funkcije

V nasprotju z ničlami, ki smo jih obravnavali nekaj vrstic višje, tokrat 0 ni vrednost funkcije, ampak vrednost neodvisne spremenljivke x.

Ne pozabimo: v točki, ki označuje začetno vrednost, je x enak 0, medtem ko začetno vrednost podajamo z y!

Na grafu začetna vrednost izgleda kot nek "oprijemek" na rdeči steni (navpična y os), po kateri pleza naš možic, ki smo ga že kar nekajkrat srečali:

 V tej točki, ki označuje začetno vrednost,  graf funkcije seka (rdeče označeno) y os.

V našem primeru je začetna vrednost enaka 0. Označena je z rdečim okvirčkom.

Navodila, ki sledijo, vam bodo prišla prav pri domačih nalogah ter matematičnih testih, tudi na NPZ-jih ter maturi.

A veste, tisto, ko si ves nervozen, do konca testa je le še 10 minut, pa ne veš točno, kaj naloga sploh hoče od tebe?!? No, tega, upamo, da bo sedaj manj ;)

Poenostavi!

Pri taki nalogi najprej z množenjem in potenciranjem odpravimo oklepaje (izraz razširimo), na koncu pa "zložimo" skupaj podobne člene ter konstante:

V šali včasih kdo reče: "Pa ne moreš seštevati jabolk in hrušk!" In prav ima! Hrušk in jabolk seveda ne moremo sešteti skupaj, lahko pa seštejemo oziroma odštejemo vsake posebej.

V nalogah lahko namesto "Poenostavi!" zasledimo zahtevo "Skrči izraz!" Navodili za reševanje sta pri obeh enaki. Enemu učitelju je pač bolj všeč en, drugemu pa drug način podajanja navodila za reševanje naloge.

Razstavi!

V matematiki ima (skoraj) vsaka operacija svojo inverzno operacijo. Naj navedemo nekaj takšnih "parov":

• seštevanje in odštevanje
  
• množenje in deljenje
  
• potenciranje in korenjenje
• itd.

Tako ima tudi navodilo "Poenostavi!" svojo inverzno različico, ki se glasi: "Razstavi!" Razliko med njima najbolje ponazorijo naslednji primeri:

Pomembno je, da si zapomnite naslednje:

• poenostavljena oblika izraza nima oklepajev, razstavljena pa jih ima
• po obliki poenostavljena oblika izgleda kot neka "kača" (niz členov, ločen s plusi in minusi), razstavljena pa je en sam člen, sestavljen iz oklepajev.
• pri poenostavljanju največ množimo in potenciramo, pri razstavljanju pa izpostavljamo

Reši!

Kaj lahko na matematičnem testu "rešimo"? Enačbo ali neenačbo. In zakaj ravno "rešimo"? Predstavljajte si, da ste superjunak, ki iz krempljev strašne enačbe rešite spremenljivko (največkrat je to "x"). No, sedaj ste dobili odgovor :)

Reševanje (ne)enačb je podobno kot poenostavljanje izrazov, s to razliko, da imamo pri (ne)enačbah nekaj členov na levi in nekaj členov na desni strani (ne)enačaja, medtem ko je pri izrazih vedno vse na levi strani enačaja, kar ponazarja tudi primer:

Če naredimo preizkus, vedno vemo, koliko točk bomo dobili pri taki nalogi, še preden jo učitelj(ica) preveri oziroma "popravi", kot včasih radi rečemo.

Izračunaj!

Če moramo nekaj izračunati, v rezultatu dobimo same številke. Tudi rešitev (ne)enačbe je številka, kot smo videli včeraj.

Za primerjavo: pri poenostavljanju v rezultatu poleg številk dobimo tudi spremenljivke (x, y, a, b,...) - razen takrat, ko se le-te okrajšajo:

Nekatere naloge so pa še bolj "zvite": izraz moramo najprej poenostaviti, nato pa ga za podane številske vrednosti spremenljivk še izračunamo.

Zaokroži!

Če je rezultat realno število (ima neskončen decimalni zapis), ga lahko zapišemo točno ali pa ga zaokrožimo.

Najprej si oglejmo zaokrožanje. Rezultat lahko zaokrožimo na dva načina:

• na številska mesta (gledamo števke od prve neničelne naprej)
• na decimalna mesta (gledamo števke za decimalno vejico)

Pri zaokroževanju je potrebno vedno "pokukati" še za eno mesto naprej (desno od zadnje števke, ki nas še zanima):

• če je na tem mestu števka od 0 do 4, odvečna mesta preprosto "odrežemo"
• ​če je na tem mestu števka od 5 do 9, zadnjo števko, ki nas še zanima, povečamo za 1 oziroma "zaokrožimo navzgor".

Izračunaj točno!

Če želimo rezultat, v katerem nastopajo koreni ter matematične konstante, ki se jih ne da zapisati brez zaokrožanja (npr. π ali e), zapisati točno oz. natančno, teh števil ne smemo zaokrožati, ampak jih pišemo v prvotni obliki, torej koren ostane koren, posebna števila pa ostanejo zapisana z znakom, ki jih določa.

Ne pozabimo pa izraza s takimi števili poenostaviti, torej sešteti oziroma odšteti vse enake korene ter posebna števila: