OSVOJI ZNANJE
  • Baza znanja
    • Triki in nasveti >
      • Matematika
      • Fizika
      • Geografija
      • Angleščina
      • Elektrotehnika
      • Kemija
      • Slovenščina
    • Sistematično učenje >
      • Matematika
      • Fizika
      • Geografija
      • Slovenščina
      • Kemija
    • Besedilne naloge
    • Učenje in organizacija
  • Aktivnosti
    • Vodene aktivnosti
    • #wodb naloge
    • Problemske naloge
    • Podobnosti in razlike
    • Na kaj pomisliš
    • Računanje "na palec"
    • Problemske niti
  • Igre
    • Igraje do stotice
    • Igriva praštevanka in Čista stotica
    • Brezplačne igre
  • Didaktika
    • Predponkoti
    • Grafično računanje
  • O blogu
  • Kontakt

Lastnosti matematične funkcije

26/11/2016

2 Comments

 
Ste se kdaj "zataknili" pri definicijskem območju ali zalogi vrednosti?

Govorimo seveda o funkcijah, takih in drugačnih, vsaki z zvrhanim košem lastnosti :) Da pred tablo ali na pisnem testu ne boste "debelo gledali", vam predstavimo nekaj idej, kako funkciji določiti lastnosti na čim lažji način.

Definicijsko območje

Začnimo z definicijskim območjem, ki smo ga malo prej že omenili. Kot vemo, funkcija preslika neodvisno spremenljivko (največkrat je to x) v odvisno spremenljivko (običajno y). In definicijsko območje pomeni tiste vrednosti x, ki se bodo preslikale v y. Jap, ne pridejo vedno vse na vrsto za preslikavo ;)

Definicijsko območje si je najlažje predstavljati na grafu funkcije. Zamislite si, da ste možak na spodnji sliki. Hodite po abscisi koordinatnega sistema (to je x os) od leve proti desni strani (v tej smeri tudi pišemo). Pri hoji se ozirate navzgor in navzdol, če boste kje videli funkcijo. Del poti, kjer je funkcija vidna, pobarvate z zeleno (tako kot je označeno na spodnji sliki). Interval, ki ste ga narisali (obarvan zeleno), je definicijsko območje funkcije:
Picture
Ponovimo nekaj glavnih pravil za označevanje intervala:
  • če začetna oziroma končna točka spadata k intervalu, je na grafu pika,
    v oznaki intervala pa oglati oklepaj "[" oz. "]".
  • če začetna oziroma končna točka ne spadata k intervalu, je na grafu 
    ​puščica, v oznaki intervala pa okrogli oklepaj "(" oz. ")".
  • ​če se graf začne oziroma konča v neskončnosti, za začetno oz. končno točko intervala uporabimo oznako "(-∞" oz. "∞)", pri čemer mora biti
    ​ oklepaj vedno  
    okrogel!
  • če funkcija obstaja za vsak x iz množice realnih števil (graf se  začne in konča v neskončnosti), pa preprosto zapišemo Df=ℝ.​
Picture
Picture
V našem primeru začetna točka spada zraven, končna pa ne. Temu primeren je tudi zapis definicijskega območja.

Zaloga vrednosti

Poleg definicijskega območja običajno vedno navedemo tudi zalogo vrednosti.

Če so definicijsko območje tiste vrednosti x, ki se bodo preslikale v y, so "zaloga vrednosti" vse vrednosti y, ki so pri preslikavi nastale. Poenostavljeno bi lahko rekli, da se je definicijsko območje preslikalo v zalogo vrednosti.

Tudi zalogo vrednosti si najlažje predstavljamo na grafu funkcije. V prejšnjem poglavju smo bili "zelen sprehajalec", sedaj pa bodimo "rdeč plezalec" ;) Včeraj smo hodili, danes pa plezamo, navpično navzgor, po ordinati koordinatnega sistema (y os). Plezati začnemo v najnižji točki grafa funkcije in splezamo vse do njenega vrha. Ker nam plezanje ne dela težav, zraven še malo pleskamo, tokrat z rdečo barvo :)
Picture
​Interval, ki ga dobimo (na grafu obarvan rdeče), je zaloga vrednosti funkcije. Še enkrat ponovimo nekaj glavnih pravil za označevanje intervala:
  • če najnižja oziroma najvišja točka spadata k intervalu, je  na grafu pika,
    v oznaki intervala pa oglati oklepaj "[" oz. "]".
  • če najnižja oziroma najvišja točka ne spadata k intervalu, je na grafu puščica, v oznaki intervala pa okrogli oklepaj "(" oz. ")".
  • če se graf navzgor oziroma navzdol razprostira do neskončnosti, za začetno oz. končno točko intervala uporabimo oznako "(-∞" oz. "∞)", pri čemer mora biti oklepaj vedno okrogel!
  • če se graf navzgor in navzdol razprostira do neskončnosti, zalogo vrednosti preprosto zapišemo kot Zf=ℝ.
Picture
Picture
V našem primeru najnižja točka spada zraven, najvišja pa ne. Temu primeren je tudi zapis zaloge vrednosti.

Naraščanje in padanje

Na kratko: zanima nas, pri katerih vrednostih (neodvisne) spremenljivke x funkcija narašča in pri katerih vrednostih pada.

Vrednosti spremenljivke x seveda ne naštevamo, ker bi jih bilo preveč, ampak jih podajamo v obliki intervalov. Spremenljivki x pripadajo "vodoravni" intervali, ki smo jih srečali že pri obravnavi definicijskega območja in so na naših slikah obarvani zeleno.

Intervale naraščanja in padanja najlažje razberemo z grafa funkcije. Do sedaj smo tekli in plezali, tokrat pa se peljimo z avtomobilom. 
Peljemo se po (modri) krivulji funkcije od leve proti desni (v tej smeri tudi pišemo) in smo pozorni na to, ali se peljemo "v klanec" ali "s klanca". Ko gremo navzgor, funkcija narašča, ko gremo navzol, pa pada:
Picture
Naj omenimo še to, da točke, kjer graf iz padanja preide v naraščanje (in obratno), ne spadajo v intervale naraščanja oz. padanja, zato so oklepaji v zapisu intervalov vedno okrogli.

Ne pozabimo: če graf "pride iz neskončnosti" oziroma "gre v neskončnost", moramo pa tako ali tako uporabiti okrogli oklepaj!

Omejenost

Funkcija je lahko omejena navzgor, navzdol ali pa kar v obe smeri (in ne na levo in desno, kot se včasih kdo rad zmoti).

Vsi ste že kdaj merili svojo višino. Če ne drugače, so vas izmerili na sistematskem pregledu. Na podoben način lahko "izmerimo" tudi funkcijo, s to razliko, da ne bomo podali njene višine, ampak le najnižjo in najvišjo točko.

Zopet si pomagajmo z grafom funkcije. Zamislimo si dve veliki pokrovki (na sliki rdeče barve), med kateri "ulovimo" funkcijo. Zakaj ravno pokrovki? Zato, da bo zares "odbito" in si boste zato bolj zapomnili :)
Picture
Položaj spodnje pokrovke na navpični (y) osi nam pove spodnjo mejo funkcije (označimo jo z malo črko m), položaj zgornje pokrovke na y osi pa nam pove zgornjo mejo funkcije (označimo jo z veliko črko M).

Včasih se zgodi, da funkcije ne moremo "ujeti v pokrovko". V tem primeru funkcija navzdol oz. navzgor ni omejena. Kakšne niso omejene navzgor, druge navzdol, se pa najdejo tudi take, ki sploh niso omejene.​

Pozitivnost in negativnost

Poglejmo, pri katerih vrednostih x je funkcija pozitivna oziroma negativna. Tudi tu vrednosti spremenljivke podajamo v obliki intervalov ("vodoravni" intervali, obarvani zeleno)

Spomnimo se poglavja o definicijskem območju, kjer se je zelen možak oziral navzgor in navzdol ter preverjal, kje je funkcija vidna. Takrat ga ni zanimalo, ali je funkcija nad ali pod njim, sedaj pa je to pomembno (zato smo možaku glavo obarvali rdeče). Kadar je funkcija nad možakom, je le-ta pozitivna, kadar pa je pod njim, pa je negativna:
Picture
Točke, kjer graf seka x os, ne spadajo v intervale pozitivnosti oz. negativnosti (uporabimo okrogli oklepaj!), saj tam funkcija ni ne pozitivna in ne negativna, ampak je njena vrednost enaka nič. Te točke imenujemo ničle funkcije. K njim se še vrnemo v nadaljevanju.

​Ne pozabimo: Če graf "pride iz neskončnosti" in/ali "gre v neskončnost", moramo na začetku prvega in/ali na koncu zadnjega intervala uporabiti okrogli oklepaj!

Ničle funkcije

Nekaj vrstic nazaj smo iskali vrednosti (neodvisne) spremenljivke x, pri katerih je funkcija pozitivna oziroma negativna. In kakšno vrednost ima funkcija, če ni niti pozitivna, niti negativna? Nič, seveda :)

Točke, v katerih ima funkcija vrednost 0, imenujemo ničle funkcije. Nahajajo se na abscisni (x) osi koordinatnega sistema.

Ne pozabimo: v ničlah je y enak 0, medtem ko vrednost "ničle" pove x!

Na grafu ničle funkcije izgledajo kot neki kamni na zeleni poti (vodoravna x os), ob katere se spotika naš možic, ki smo ga že kar nekajkrat srečali:
Picture
V ničli graf seka ali pa se dotika (zeleno označene) x osi. Graf seka x os v ničlah "lihega reda" (stopnje 1,3,5,...), dotika se ga pa v ničlah "sodega reda" (stopnje 2,4,6,...).

V našem primeru sta ničli dve. Prva ima vrednost 0, druga pa vrednost 2. Označeni sta z zelenim okvirčkom.​

Začetna vrednost funkcije

V nasprotju z ničlami, ki smo jih obravnavali nekaj vrstic višje, tokrat 0 ni vrednost funkcije, ampak vrednost neodvisne spremenljivke x.

Ne pozabimo: v točki, ki označuje začetno vrednost, je x enak 0, medtem ko začetno vrednost podajamo z y!

Na grafu začetna vrednost izgleda kot nek "oprijemek" na rdeči steni (navpična y os), po kateri pleza naš možic, ki smo ga že kar nekajkrat srečali:
Picture
 V tej točki, ki označuje začetno vrednost,  graf funkcije seka (rdeče označeno) y os.

V našem primeru je začetna vrednost enaka 0. Označena je z rdečim okvirčkom.
2 Comments

Kaj naloga zahteva od mene?

2/11/2016

0 Comments

 
Navodila, ki sledijo, vam bodo prišla prav pri domačih nalogah ter matematičnih testih, tudi na NPZ-jih ter maturi.

A veste, tisto, ko si ves nervozen, do konca testa je le še 10 minut, pa ne veš točno, kaj naloga sploh hoče od tebe?!? No, tega, upamo, da bo sedaj manj ;)

Poenostavi!


Pri taki nalogi najprej z množenjem in potenciranjem odpravimo oklepaje (izraz razširimo), na koncu pa "zložimo" skupaj podobne člene ter konstante:
Picture
V šali včasih kdo reče: "Pa ne moreš seštevati jabolk in hrušk!" In prav ima! Hrušk in jabolk seveda ne moremo sešteti skupaj, lahko pa seštejemo oziroma odštejemo vsake posebej.

V nalogah lahko namesto "Poenostavi!" zasledimo zahtevo "Skrči izraz!" Navodili za reševanje sta pri obeh enaki. Enemu učitelju je pač bolj všeč en, drugemu pa drug način podajanja navodila za reševanje naloge.

Razstavi!

V matematiki ima (skoraj) vsaka operacija svojo inverzno operacijo. Naj navedemo nekaj takšnih "parov":
  • seštevanje in odštevanje
  • množenje in deljenje
  • potenciranje in korenjenje
  • itd.

Tako ima tudi navodilo "Poenostavi!" svojo inverzno različico, ki se glasi: "Razstavi!" Razliko med njima najbolje ponazorijo naslednji primeri:
Picture
Pomembno je, da si zapomnite naslednje:
  • poenostavljena oblika izraza nima oklepajev, razstavljena pa jih ima
  • po obliki poenostavljena oblika izgleda kot neka "kača" (niz členov, ločen s plusi in minusi), razstavljena pa je en sam člen, sestavljen iz oklepajev.
  • pri poenostavljanju največ množimo in potenciramo, pri razstavljanju pa izpostavljamo

Reši!


Kaj lahko na matematičnem testu "rešimo"? Enačbo ali neenačbo. In zakaj ravno "rešimo"? Predstavljajte si, da ste superjunak, ki iz krempljev strašne enačbe rešite spremenljivko (največkrat je to "x"). No, sedaj ste dobili odgovor :)

Reševanje (ne)enačb je podobno kot poenostavljanje izrazov, s to razliko, da imamo pri (ne)enačbah nekaj členov na levi in nekaj členov na desni strani (ne)enačaja, medtem ko je pri izrazih vedno vse na levi strani enačaja, kar ponazarja tudi primer:
Picture
Naredi preizkus!

Vsa umetnost preizkusa je ponovni zapis enačbe in zamenjava neznanke (v našem primeru je to "x") z vrednostjo, ki smo jo izračunali oziroma "rešili iz krempljev strašne enačbe" :)

Sedaj le še izračunamo, kar smo dobili in - če je leva stran enačbe enaka desni, je enačba pravilno rešena.

Picture
Če naredimo preizkus, vedno vemo, koliko točk bomo dobili pri taki nalogi, še preden jo učitelj(ica) preveri oziroma "popravi", kot včasih radi rečemo.

Izračunaj!


Če moramo nekaj izračunati, v rezultatu dobimo same številke. Tudi rešitev (ne)enačbe je številka, kot smo videli včeraj.

Za primerjavo: pri poenostavljanju v rezultatu poleg številk dobimo tudi spremenljivke (x, y, a, b,...) - razen takrat, ko se le-te okrajšajo:
Picture
Nekatere naloge so pa še bolj "zvite": izraz moramo najprej poenostaviti, nato pa ga za podane številske vrednosti spremenljivk še izračunamo.

Zaokroži!

Če je rezultat realno število (ima neskončen decimalni zapis), ga lahko zapišemo točno ali pa ga zaokrožimo.

Najprej si oglejmo zaokrožanje. Rezultat lahko zaokrožimo na dva načina:
  • na številska mesta (gledamo števke od prve neničelne naprej)
  • na decimalna mesta (gledamo števke za decimalno vejico)
Picture
Pri zaokroževanju je potrebno vedno "pokukati" še za eno mesto naprej (desno od zadnje števke, ki nas še zanima):
  • če je na tem mestu števka od 0 do 4, odvečna mesta preprosto "odrežemo"
  • ​če je na tem mestu števka od 5 do 9, zadnjo števko, ki nas še zanima, povečamo za 1 oziroma "zaokrožimo navzgor".

Izračunaj točno!

Če želimo rezultat, v katerem nastopajo koreni ter matematične konstante, ki se jih ne da zapisati brez zaokrožanja (npr. π ali e), zapisati točno oz. natančno, teh števil ne smemo zaokrožati, ampak jih pišemo v prvotni obliki, torej koren ostane koren, posebna števila pa ostanejo zapisana z znakom, ki jih določa.

Ne pozabimo pa izraza s takimi števili poenostaviti, torej sešteti oziroma odšteti vse enake korene ter posebna števila:
Picture
Nariši skico!

Posvetimo se še nekoliko geometriji.

Če naloga od nas zahteva skico, to pomeni, da nam ni potrebno risati z ravnilom in šestilom, prav tako nam ni potrebno paziti na pravilno razmerje med stranicami, koti...

Priporočljivo pa je, da stranice, kote in ostale spremenljivke označimo pravilno, podatke iz naloge pa obkrožimo ali kako drugače izpostavimo, saj nam bo to koristilo pri konstruiranju, ki skoraj vedno sledi risanju skice.
Picture
Konstruiraj!

Kot smo že povedali, risanju skice običajno sledi konstruiranje. Le-tega se lotimo z ravnilom (najboljši je geotrikotnik, ki ima zraven še kotomer) in šestilom.

Pri konstruiranju lika morajo biti za razliko od skice tako koti kot dolžine (stranic, višin, težiščnic,...) točno taki, kot v podatkih.
Picture
0 Comments

    ARHIV

    May 2025
    September 2024
    May 2024
    December 2023
    October 2023
    September 2023
    May 2023
    November 2022
    May 2022
    February 2022
    October 2021
    May 2021
    April 2021
    February 2021
    October 2020
    June 2020
    May 2020
    April 2020
    March 2020
    December 2019
    November 2019
    August 2019
    January 2019
    October 2018
    September 2018
    August 2018
    July 2018
    June 2018
    April 2018
    March 2018
    February 2018
    December 2017
    November 2017
    October 2017
    September 2017
    June 2017
    January 2017
    November 2016
    October 2016
    June 2016
    May 2016
    April 2016
    March 2016
    December 2015
    October 2015
    September 2015
    August 2015
    July 2015

    KATEGORIJE

    All
    Algebra
    Aritmetika
    Decimalna števila
    Enačbe
    Funkcije
    Geometrija V Prostoru
    Geometrija V Ravnini
    Grafi Funkcij
    Izrazi
    Koordinatni Sistem
    Kotne Funkcije
    Neenačbe
    Odstotki
    Podobnost
    Praštevila
    Problemske Naloge
    Razstavljanje Izrazov
    Sklepni Račun
    Sorazmerje
    Splošno
    številske Predstave
    Terminologija
    Ulomki

    RSS Feed

Powered by Create your own unique website with customizable templates.
  • Baza znanja
    • Triki in nasveti >
      • Matematika
      • Fizika
      • Geografija
      • Angleščina
      • Elektrotehnika
      • Kemija
      • Slovenščina
    • Sistematično učenje >
      • Matematika
      • Fizika
      • Geografija
      • Slovenščina
      • Kemija
    • Besedilne naloge
    • Učenje in organizacija
  • Aktivnosti
    • Vodene aktivnosti
    • #wodb naloge
    • Problemske naloge
    • Podobnosti in razlike
    • Na kaj pomisliš
    • Računanje "na palec"
    • Problemske niti
  • Igre
    • Igraje do stotice
    • Igriva praštevanka in Čista stotica
    • Brezplačne igre
  • Didaktika
    • Predponkoti
    • Grafično računanje
  • O blogu
  • Kontakt