Lastnosti matematične funkcije

Ste se kdaj "zataknili" pri definicijskem območju ali zalogi vrednosti?

Govorimo seveda o funkcijah, takih in drugačnih, vsaki z zvrhanim košem lastnosti :) Da pred tablo ali na pisnem testu ne boste "debelo gledali", vam predstavimo nekaj idej, kako funkciji določiti lastnosti na čim lažji način.

Definicijsko območje

Začnimo z definicijskim območjem, ki smo ga malo prej že omenili. Kot vemo, funkcija preslika neodvisno spremenljivko (največkrat je to x) v odvisno spremenljivko (običajno y). In definicijsko območje pomeni tiste vrednosti x, ki se bodo preslikale v y. Jap, ne pridejo vedno vse na vrsto za preslikavo ;)

Definicijsko območje si je najlažje predstavljati na grafu funkcije. Zamislite si, da ste možak na spodnji sliki. Hodite po abscisi koordinatnega sistema (to je x os) od leve proti desni strani (v tej smeri tudi pišemo). Pri hoji se ozirate navzgor in navzdol, če boste kje videli funkcijo. Del poti, kjer je funkcija vidna, pobarvate z zeleno (tako kot je označeno na spodnji sliki). Interval, ki ste ga narisali (obarvan zeleno), je definicijsko območje funkcije:

Ponovimo nekaj glavnih pravil za označevanje intervala:

• če začetna oziroma končna točka spadata k intervalu, je na grafu pika,
  v oznaki intervala pa oglati oklepaj "[" oz. "]".
• če začetna oziroma končna točka ne spadata k intervalu, je na grafu 
  ​puščica, v oznaki intervala pa okrogli oklepaj "(" oz. ")".
• ​če se graf začne oziroma konča v neskončnosti, za začetno oz. končno točko intervala uporabimo oznako "(-∞" oz. "∞)", pri čemer mora biti
  ​ oklepaj vedno  okrogel!
• če funkcija obstaja za vsak x iz množice realnih števil (graf se  začne in konča v neskončnosti), pa preprosto zapišemo Df=ℝ.​

V našem primeru začetna točka spada zraven, končna pa ne. Temu primeren je tudi zapis definicijskega območja.

Zaloga vrednosti

Poleg definicijskega območja običajno vedno navedemo tudi zalogo vrednosti.

Če so definicijsko območje tiste vrednosti x, ki se bodo preslikale v y, so "zaloga vrednosti" vse vrednosti y, ki so pri preslikavi nastale. Poenostavljeno bi lahko rekli, da se je definicijsko območje preslikalo v zalogo vrednosti.

Tudi zalogo vrednosti si najlažje predstavljamo na grafu funkcije. V prejšnjem poglavju smo bili "zelen sprehajalec", sedaj pa bodimo "rdeč plezalec" ;) Včeraj smo hodili, danes pa plezamo, navpično navzgor, po ordinati koordinatnega sistema (y os). Plezati začnemo v najnižji točki grafa funkcije in splezamo vse do njenega vrha. Ker nam plezanje ne dela težav, zraven še malo pleskamo, tokrat z rdečo barvo :)

​Interval, ki ga dobimo (na grafu obarvan rdeče), je zaloga vrednosti funkcije. Še enkrat ponovimo nekaj glavnih pravil za označevanje intervala:

• če najnižja oziroma najvišja točka spadata k intervalu, je  na grafu pika,
  v oznaki intervala pa oglati oklepaj "[" oz. "]".
• če najnižja oziroma najvišja točka ne spadata k intervalu, je na grafu puščica, v oznaki intervala pa okrogli oklepaj "(" oz. ")".
• če se graf navzgor oziroma navzdol razprostira do neskončnosti, za začetno oz. končno točko intervala uporabimo oznako "(-∞" oz. "∞)", pri čemer mora biti oklepaj vedno okrogel!
• če se graf navzgor in navzdol razprostira do neskončnosti, zalogo vrednosti preprosto zapišemo kot Zf=ℝ.

V našem primeru najnižja točka spada zraven, najvišja pa ne. Temu primeren je tudi zapis zaloge vrednosti.

Naraščanje in padanje

Na kratko: zanima nas, pri katerih vrednostih (neodvisne) spremenljivke x funkcija narašča in pri katerih vrednostih pada.

Vrednosti spremenljivke x seveda ne naštevamo, ker bi jih bilo preveč, ampak jih podajamo v obliki intervalov. Spremenljivki x pripadajo "vodoravni" intervali, ki smo jih srečali že pri obravnavi definicijskega območja in so na naših slikah obarvani zeleno.

Intervale naraščanja in padanja najlažje razberemo z grafa funkcije. Do sedaj smo tekli in plezali, tokrat pa se peljimo z avtomobilom. Peljemo se po (modri) krivulji funkcije od leve proti desni (v tej smeri tudi pišemo) in smo pozorni na to, ali se peljemo "v klanec" ali "s klanca". Ko gremo navzgor, funkcija narašča, ko gremo navzol, pa pada:

Naj omenimo še to, da točke, kjer graf iz padanja preide v naraščanje (in obratno), ne spadajo v intervale naraščanja oz. padanja, zato so oklepaji v zapisu intervalov vedno okrogli.

Ne pozabimo: če graf "pride iz neskončnosti" oziroma "gre v neskončnost", moramo pa tako ali tako uporabiti okrogli oklepaj!

Omejenost

Funkcija je lahko omejena navzgor, navzdol ali pa kar v obe smeri (in ne na levo in desno, kot se včasih kdo rad zmoti).

Vsi ste že kdaj merili svojo višino. Če ne drugače, so vas izmerili na sistematskem pregledu. Na podoben način lahko "izmerimo" tudi funkcijo, s to razliko, da ne bomo podali njene višine, ampak le najnižjo in najvišjo točko.

Zopet si pomagajmo z grafom funkcije. Zamislimo si dve veliki pokrovki (na sliki rdeče barve), med kateri "ulovimo" funkcijo. Zakaj ravno pokrovki? Zato, da bo zares "odbito" in si boste zato bolj zapomnili :)

Položaj spodnje pokrovke na navpični (y) osi nam pove spodnjo mejo funkcije (označimo jo z malo črko m), položaj zgornje pokrovke na y osi pa nam pove zgornjo mejo funkcije (označimo jo z veliko črko M).

Včasih se zgodi, da funkcije ne moremo "ujeti v pokrovko". V tem primeru funkcija navzdol oz. navzgor ni omejena. Kakšne niso omejene navzgor, druge navzdol, se pa najdejo tudi take, ki sploh niso omejene.​

Pozitivnost in negativnost

Poglejmo, pri katerih vrednostih x je funkcija pozitivna oziroma negativna. Tudi tu vrednosti spremenljivke podajamo v obliki intervalov ("vodoravni" intervali, obarvani zeleno)

Spomnimo se poglavja o definicijskem območju, kjer se je zelen možak oziral navzgor in navzdol ter preverjal, kje je funkcija vidna. Takrat ga ni zanimalo, ali je funkcija nad ali pod njim, sedaj pa je to pomembno (zato smo možaku glavo obarvali rdeče). Kadar je funkcija nad možakom, je le-ta pozitivna, kadar pa je pod njim, pa je negativna:

Točke, kjer graf seka x os, ne spadajo v intervale pozitivnosti oz. negativnosti (uporabimo okrogli oklepaj!), saj tam funkcija ni ne pozitivna in ne negativna, ampak je njena vrednost enaka nič. Te točke imenujemo ničle funkcije. K njim se še vrnemo v nadaljevanju.

​Ne pozabimo: Če graf "pride iz neskončnosti" in/ali "gre v neskončnost", moramo na začetku prvega in/ali na koncu zadnjega intervala uporabiti okrogli oklepaj!

Ničle funkcije

Nekaj vrstic nazaj smo iskali vrednosti (neodvisne) spremenljivke x, pri katerih je funkcija pozitivna oziroma negativna. In kakšno vrednost ima funkcija, če ni niti pozitivna, niti negativna? Nič, seveda :)

Točke, v katerih ima funkcija vrednost 0, imenujemo ničle funkcije. Nahajajo se na abscisni (x) osi koordinatnega sistema.

Ne pozabimo: v ničlah je y enak 0, medtem ko vrednost "ničle" pove x!

Na grafu ničle funkcije izgledajo kot neki kamni na zeleni poti (vodoravna x os), ob katere se spotika naš možic, ki smo ga že kar nekajkrat srečali:

V ničli graf seka ali pa se dotika (zeleno označene) x osi. Graf seka x os v ničlah "lihega reda" (stopnje 1,3,5,...), dotika se ga pa v ničlah "sodega reda" (stopnje 2,4,6,...).

V našem primeru sta ničli dve. Prva ima vrednost 0, druga pa vrednost 2. Označeni sta z zelenim okvirčkom.​

Začetna vrednost funkcije

V nasprotju z ničlami, ki smo jih obravnavali nekaj vrstic višje, tokrat 0 ni vrednost funkcije, ampak vrednost neodvisne spremenljivke x.

Ne pozabimo: v točki, ki označuje začetno vrednost, je x enak 0, medtem ko začetno vrednost podajamo z y!

Na grafu začetna vrednost izgleda kot nek "oprijemek" na rdeči steni (navpična y os), po kateri pleza naš možic, ki smo ga že kar nekajkrat srečali:

 V tej točki, ki označuje začetno vrednost,  graf funkcije seka (rdeče označeno) y os.

V našem primeru je začetna vrednost enaka 0. Označena je z rdečim okvirčkom.