Category: Podobnost

Za marsikaj niti ne pomislimo, da predstavlja premo sorazmerje

27/1/2019

V šoli ste se verjetno učili o premem in obratnem sorazmerju. Potem ste se učili o odsotkih, razmerjih ...

Če si odstotke in razmerja (pa še kaj bi se našlo) predstavljamo kot premo sorazmerje, si razumevanje vsega skupaj lahko močno poenostavimo. Tudi reševanje takih nalog je zelo preprosto - kar preko sklepnega računa.

Odstotki

Pri računanju z odstotki imamo na eni strani odstotke, na drugi pa neke vrednosti (najraje denar :)). Ostotki in "tista druga" količina (denar, število ...) sta vedno v premem sorazmerju, saj več odstotkov vedno pomeni na primer več denarja.

Pri odstotkih je pomembno vedeti, da je skupno število le-teh vedno enako 100. 100% na drugi strani ustreza skupni vrednosti "druge" količine, recimo seštevek vsega denarja.

Primerjamo lahko različne odstotne vrednosti pod 100% med seboj ali pa posamezne vrednosti primerjamo proti celoti.

Razmerja dolžin (daljic, stranic) v geometriji

Vsi ste verjetno že zasledili nalogo v stilu "točka razdeli daljico v razmerju 2:3; koliko meri vsak del, če je celotna dolžina daljice ..." Prva količina v tem sorazmerju je del, druga pa recimo dolžina. Tudi tu je sorazmerje premo, saj večji del daljice recimo pomeni večjo dolžino.

Tako kot lahko med seboj seštejemo posamezne dele, seštejemo tudi njihove vrednosti, recimo 2 in 3 je skupaj 5 delov, kar ustreza celotni dolžini daljice.

Tudi tu lahko primerjamo posamezne dele med seboj ali pa proti celoti.

0 Comments

Če pozabimo enačbo, lahko uporabimo sklepni račun

13/4/2016

0 Comments

Kdaj to lahko storimo? Naštejmo nekaj primerov:

če ne poznamo enačbe za krožni lok, se spomnimo na enačbo za obseg kroga (o=2πr, pri čemer je r polmer kroga) in upoštevajmo, da središčni kot v tem primeru meri 360°:

2πr...360°
krožni lok...središčni kot (eden od teh dveh je podan, drugi pa je neznanka x)
če ne poznamo enačbe za krožni izsek, se spomnimo na enačbo za ploščino kroga (p=πr², pri čemer je r polmer kroga) in upoštevajmo, da središčni kot v tem primeru meri 360°:

πr²...360°
krožni izsek...središčni kot (eden od teh dveh je podan, drugi pa je neznanka x)
če ne poznamo enačbe za podobne like, lahko zapišemo:

dolžina stranice a...dolžina stranice b
dolžina enakoležne stranice a' v podobnem liku...dolžina enakoležne stranice b' v podobnem liku (ena od teh dveh je podana, druga pa je neznanka x)

dolžina stranice a...obseg lika
dolžina enakoležne stranice a' v podobnem liku...obseg o' podobnega lika (ena od teh dveh je podana, druga pa je neznanka x)

Pri vseh zgoraj omenjenih primerih gre za premo sorazmerje.

0 Comments

sklepni račun v praksi

9/3/2016

0 Comments

Poglejmo, kako lahko znanje o razmerjih (matematičnih seveda, ne tistih tako ali drugače “zapletenih” na FB-ju :)) uporabimo pri reševanju šolskih nalog. Omejimo se na enostavna (dvočlena) razmerja, ki podajajo odnos med dvema količinama:

V tekstni nalogi se vedno skriva neko znano razmerje, na podlagi katerega poiščemo vrednost neznanih količin. To razmerje postavimo na desno stran enačbe. Primer: 2 čokoladi : 4 EUR
Na levi strani enačbe je prostor za razmerje med iskano neznanko ter tretjim znanim podatkom “brez para” (glej prejšnjo alinejo). Primer: 5 čokolad : x EUR
Izrazimo x.

Razvrstitev količin na levi strani enačbe je odvisna od tipa sorazmerja:

če je sorazmerje premo, sta enaki količini na obeh straneh enačbe na isti strani razmerja. Primer: 2 čokoladi : 4 EUR = 5 čokolad : x EUR
če je sorazmerje obratno, sta enaki količini na obeh straneh enačbe na nasprotni strani razmerja Primer: 2 delavca: 4 ure = x ur : 5 delavcev

V osnovni šoli namesto razmerij običajno uporabimo nekoliko enostavnejši zapis (ki pa dostikrat pride prav tudi v "zrelejših letih":

izdelamo tabelo, ki ima v prvem stolpcu navedeni nastopajoči količini
v drugem stolpcu navedemo znani vrednosti za ti dve količini
v naslednjih stolpcih navedemo neznane vrednosti za katero koli količino, pri čemer pazimo, da je v vsakem stolpcu le ena neznanka
zapišemo pare relacij, pri čemer je en par vedno iz drugega stolpca (npr. v prvo vrstico 2 čokoladi...4 EUR, v drugo pa 5 čokolad...x EUR ali pa v prvo vrstico 2 delavca...4 ure, v drugo pa 5 delavcev...x ur )
če je sorazmerje premo, na relacijo narišemo prekrižani črti in zapišemo enakost med vrednostima na nasprotnih straneh črt (v našem primeru 2*x = 4*5) in izrazimo x
če je sorazmerje obratnoo, na relacijo narišemo ravni črti in zapišemo enakost med vrednostima na nasprotnih straneh črt (v našem primeru 5*x = 2*4) in izrazimo x

Tip sorazmerja najlažje ugotovimo z logičnim premislekom. V nadaljevanju sledi nekaj primerov le-teh.

Primeri logičnih premislekov za premo sorazmerje:

V ceni čokolade, ki znaša 2 evra, je vštetih 0,4 evra davka. Večja ko bo cena čokolade, večji bo davek, torej je razmerje premo sorazmerno
5 uteži tehta 20 kilogramov. Več ko bo uteži, težje bodo, torej je razmerje premo sorazmerno
Stranica a v trikotniku meri 2 cm, stranica a’ v njemu podobnem trikotniku pa 3 cm. Večja ko bo stranica a, večja bo stranica a’, torej je razmerje premo sorazmerno
Pomni! Pri premem sorazmerju ima človek občutek, kot da gre lahko “do neskončnosti”; obe količini namreč istočasno naraščata do poljubne vrednosti, prav tako njun produkt

Primeri logičnih premislekov za obratno sorazmerje:

Če gre na izlet 20 učencev, cena na učenca znaša 5 evrov. Ob predpostavki, da je celotna cena izleta fiksna (neodvisna od števila učencev), velja: več nas bo šlo na izlet, nižja bo cena na udeleženca, torej je razmerje obratno sorazmerno
Če jarek koplje 5 delavcev, delo opravljajo 10 ur. Ob predpostavki, da je dolžina/širina jarka fiksna (delavci kopljejo isti jarek), velja: več jih bo kopalo, manj časa bodo porabili, torej je razmerje obratno sorazmerno
Če avto vozi s hitrostjo 50 km/h, na cilj prispe v 8 urah. Ob predpostavki, da je pot enaka (avto vozi na isti relaciji), velja: večja bo hitrost, manj časa bo avto potreboval do cilja, torej je razmerje obratno sorazmerno
Pomni! Pri obratnem sorazmerju ima človek občutek, kot da je “ujet v neko zanko”; ko ena količina narašča, druga količina pada, njun produkt pa je vedno enak. Za obratno sorazmerje je značilna tudi predpostavka (npr. cena izleta je fiksna, jarek ima fiksno dolžino,...)

0 Comments

Za marsikaj niti ne pomislimo, da predstavlja premo sorazmerje

Če pozabimo enačbo, lahko uporabimo sklepni račun

sklepni račun v praksi

ARHIV

KATEGORIJE