Verjetno se nihče ne bi branil "nevidne sile", ki bi ga rešila vsakič, ko bi zašel v težave. Verjeli ali ne, v matematiki taka "sila" dejansko obstaja. To je število 1, ki ga v redovalnici seveda ne maramo, :) v matematičnem zvezku pa pride še kako prav.

Število 1 imenujemo tudi enota (oziroma nevtralni element) za množenje, to pa zato, ker je rezultat množenja katerega koli števila z 1 kar število samo (če koga zanima več o tem, lahko pokuka sem). 

Zakaj "nevidna"? Oglejmo si izraz

ab.

Ta izraz lahko pomnožimo z 1 tolikokrat, kot želimo, pa bo še vedno enak 1:

ab⋅1 = ab⋅1⋅1 =  ab⋅1⋅1⋅1 = ... = ab

Ker vemo, da množenje nekega člena (če se sprašujete, kaj je to člen, lahko na hitro pokukate sem) z 1 samega člena ne spremeni, enice nima smisla pisati, dobro pa je vedeti, da je tam. :)

Kateremu faktorju pripada minus?

Člen

-ab

sestavljata dva faktorja, predznak pa nam sporoča, da je ta člen negativen.

Kateremu faktorju pripada minus?

Načeloma lahko pripada a-ju ali pa b-ju (saj poznate tisto: plus in minus pri množenju vrne minus ...), da se ne bomo kregali, pa lahko rečemo tudi nobenemu. :)  Kako? Pomnožimo vse skupaj še z 1 in dobimo.

-1ab oziroma (-1)ab.

Tu pa se lepo vidi, da je minus "ukradla" enica. Ti, ti, enica :)

Kako pri razstavljanju izrazov "ukalupiti" enačbo?

Enačba za razliko kvadratov se glasi:

a²-b² = (a+b)(a-b)

Kaj pa, če imamo v izrazu recimo

a²-1? 

Desni člen lahko mirno pomnožimo z 1 in dobimo:

a²-1²

To pa je že lažje, kajne? :) Podobno lahko storimo tudi z izrazom

-a²+b².

V enačbi je prvi člen pozitiven, drugi pa negativen, mi pa imamo ravno nasprotno situacijo. Tokrat z 1 pomnožimo kar oba člena:

-1a²+1b²,

nato pa izpostavimo (-1):

-1(a²-b²)

in v oklepaju dobimo to, kar želimo. :)

Poleg splošnega produkta različnih dvočlenikov ...

(a+b)(c+d)

... sta pogosto v uporabi tudi posebna primera:

• množenje dvočlenika samega s seboj oziroma kvadrat dvočlenika:
  (a+b)(a+b)=(a+b)²
• produkt vsote in razlike enakih števil:
  (a+b)(a-b)

Enačbi za posebna primera je koristno poznati, saj ju potrebujemo pri razstavljanju.

Za lažje pomnjenje si vse tri poglejmo v grafični obliki.

Splošen produkt različnih dvočlenikov

Enačba za splošen produkt različnih dvočlenikov se glasi:

​(a+b)​(c+d) = ac+bc+ad+bd

​V grafični obliki enačba izgleda takole:

Če je člen a ali b negativen, se predznak kvadratov (a² oziroma b²) ne spremeni, predznak srednjega člena (2ab) pa določimo po oranžnem pravilu množenja in deljenja:

• +2ab, če sta a in b enakega predznaka
• -2ab, če sta a in b različnih predznakov

​Produkt vsote in razlike enakih števil

Enačba za ​produkt vsote in razlike enakih števil se glasi:

​(a+b)(a-b) = a²+ab-ab-b² = a²-b²

​V grafični obliki enačba izgleda takole:

Na sliki se lepo vidi, da se srednja dva člena v računu okrajšata.

Ni panike, uporabi Vietovo pravilo, pri čemer upoštevaš, da je linearni koeficient enak nič:

x²-9 je isto kot x²+0x+9.

Ker je linearni koeficient enak 0, je potrebno prosti člen (9 v zgornjem izrazu) predstaviti kot zmnožek dveh nasprotno enakih števil (+√9 in - √9 oz. +3 in -3 v zgornjem izrazu).

Velja torej: x²-9 = (x+3)(x-3).

V nadaljevanju sledi razlaga za razstavljanje izrazov po Vietovem pravilu. Postopek je uporaben za "lažjo obliko" izraza, pri čemer predpostavimo:

• vodilni koeficient je 1 (člen z x² zraven nima nobene številke)
• linearni koeficient (številka poleg x) je celo število
• prosti člen (številka skrajno desno, v členu ki nima nobene črke) je celo število

Razlaga je zgrajena na naslednjem primeru (najlažje je tako, saj se na primeru še največ naučimo):

Razložimo zgornji izraz:

• ​vodilni koeficient je 1
• ​linearni koeficient je -4
• prosti člen je -12

Sedaj pa navodilo.

Aha, preden se lotimo reševanja, povejmo še, kaj pričakujemo za rešitev :) Ker je spremenljivka v zgornjem izrazu x, bo rešitev v obliki (x±a)(x±b). X je seveda spremenljivka, a in b pa bomo določili z naslednjim postopkom: