Vedno bolj se zavedamo, da je vizualizacija zelo pomembna za razumevanje matematičnih zakonitosti. Pa tudi kakšnih drugih. Ampak, ostanimo zaenkrat pri matematiki. Konkretneje, pri osnovnih računskih operacijah.

Načinov za vizualno predstavitev seštevanja, odštevanja, množenja in deljenja je kar veliko, zato smo včasih v dilemi, katerega uporabiti. Seveda je najbolje, da si vsakdo izbere takega, ki ustreza prav njemu, a vseeno je nekje potrebno začeti.  ;)

Sam ponavadi začnem z dvema modeloma oziroma didaktičnima pripomočkoma (če ju imamo na voljo v fizični obliki), to sta:

• trak za seštevanje in odštevanje ter
• ploščice za množenje in deljenje.

Glavna razlika med trakom in ploščicami je dimenzija. Trak se razteza le v eni smeri, medtem ko je polje ploščic dvodimenzionalno.

Če trakove zlagamo enega za drugim, nam celotna dolžina take »kače« predstavlja vsoto posameznih trakov, s čimer ponazorimo seštevanje. Če trakove zlagamo vzporedno, pa jih med seboj lahko primerjamo. Se sprašujete, kje smo izgubili odštevanje? ;) Odštevanje najlažje ponazorimo z razliko med dolžinama dveh trakov.

Kljub temu, da ne govorim o merjenju, ampak o računanju, sem že dvakrat omenil dolžino. Malo iz navade, malo pa nalašč. ;) Seštevanje in odštevanje si namreč v naravi najlažje predstavljamo prav z merjenjem razdalje. Če na primer najprej prehodim 3 kilometre, nato pa še 2, sem skupaj prehodil 3+2, torej 5 kilometrov (seštevanje, vsota). Če je sosednja vas oddaljena 6 kilometrov, pa moram do nje prehoditi še 6-5, torej 1 kilometer (odštevanje, razlika).

O tem, da za seštevanje obstajata dva (glavna) postopka in da eden ne more nadomestiti drugega, sem že pisal, zato le na kratko povzamem:

Seštevanje v vrsti je močno povezano z razumevanjem koncepta (desetiške enote, mestnovrednostni koncept), medtem ko je seštevanje v stolpcu zgolj na pamet naučen matematični postopek.

Za prvega bi lahko rekli, da je »človeku bolj prijazno« in ga lahko izvajamo tudi ustno, medtem ko je drugi primeren zgolj za pisno računanje.

Slednji tudi ni preveč perspektiven, saj računanje v taki obliki vse bolj prevzemajo računalniki. Zato povejmo raje nekaj več o seštevanju v vrsti in sicer tistem »na pamet«.

Ustno seštevanje je vsekakor koristno usvojiti, saj je hitrejše, pa še zvezka in pisala nimamo vedno pri roki.  Na primer v trgovini, ko lovimo znesek 20 evrov, da bi si pridobili bonus, a ne želimo iti niti centa čez. ;) Zna pa biti za marsikoga zahtevnejše od pisnega računanja, se ga velja lotiti postopoma.

Na začetku v vrsti lahko seštevamo pisno. Najprej seštejemo posamezne desetiške enote, nato pa še vse skupaj:​

Ko zadevo obvladamo že nekoliko bolje, si pa lahko zapišemo le še vmesne zneske (recimo najprej le vsoto stotic, ki ji nato dodamo vsoto desetic in nazadnje prištejemo še enice), ostalo pa poskusimo izračunati ustno.

V tokratnem prispevku najprej vprašanje za vas.

Na spodnji sliki je isti račun rešen na dva načina. Za katerega menite, da je boljši oziroma lažji, bolj razumljiv in si ga je lažje zapomniti ter za dlje časa? S čim vas en ali drug postopek "prepričata"?

V nadaljevanju si bomo oba podrobneje ogledali.

Seštevanje "v vrsti"

​Seštevanje "v vrsti" (včasih slišimo tudi izraz "vodoravno seštevanje") se bo mogoče komu zdelo zastarelo. Starši se verjetno v večini spomnimo predvsem drugega načina ("v stolpcu"), a prvi v sebi skriva več, kot si morda predstavljamo.

Tovrsten postopek je namreč osnova za dejansko razumevanje tega, kar se pri tem računskem postopku dogaja s števili - razumevanje koncepta seštevanja.

Pri seštevanju v vrsti najprej seštejemo velike desetiške enote, nato pa po vrsti vedno manjše.

V našem primeru seštevamo tri dvomestna števila, tako da najprej seštejemo vse tri desetice (označene rdeče), zatem pa še vse tri enice (označene modro). Na ta način možgane razbremenimo razmišljanja pri prehodu čez desetico. 60 + 19 je recimo opazno lažji račun, kot pa 25 + 36 + 18.

Če tudi krajši zapis za nas pretrd oreh, ga lahko še nadalje poenostavimo. V našem primeru: 60 + 19 = 60 + 10 + 9. Druga poenostavitev pride v poštev recimo pri kakšnem prehodu čez stotico, tisočico ... Recimo v primeru 90 + 14. Veliko lažje je k 100 prišteti 4 kot pa k 90 prišteti 14.

Miselni tok seštevanja je pri tem postopku zelo podoben računanju "na pamet", kar verjetno večina od nas počne na primer v trgovini, ko sproti računamo, koliko je vredno blago, ki ga zlagamo v nakupovalni voziček.

Seštevanje "v stolpcu"

Seštevanje "v stolpcu" marsikomu izgleda enostavneje od seštevanja "v vrsti", a nima kaj dosti skupnega z razumevanjem koncepta seštevanja.

Glavna težava omenjene metode je seštevanje "z napačnega konca", vsaj kar se številskih predstav tiče. Pri seštevanju v stolpcu namreč računamo od desne proti levi oziroma od manjših desetiških enot proti večjim, kar po domače povedano "ni možganom prijazno". 

Miselni tok gre pri računanju "na pamet", ki zahteva (in tudi vzpodbuja) dobre številske predstave, večinoma v obratni smeri. Spomnimo se štetja denarja. Pri tem je lažje najprej sešteti večje vrednosti in nato prišteti še drobiž, kot pa obratno.

Pri računanju "v stolpcu" poseben postopek s "prenašanjem naprej" omogoča, da števila zlahka seštejemo, tudi če številskih predstav (še) nimamo dobro razvitih. To na prvi pogled izgleda obetavno, a je na dolgi rok zelo problematično. 

Otrok, ki nima dobro razvitih številskih predstav, bo sicer nekaj časa lahko še uspeval v matematiki, a bo učenja "na pamet" vedno več, napake pa vedno bolj izrazite. Na neki točki lahko preprosto zaide v slepo ulico, iz katere pa je pot zelo naporna.

"Znak za alarm" pri razumevanju je recimo lahko že nepravilno podpisovanje (pravilno je enice pod enice, desetice pod desetice ...) ali napačno "prenašanje" pri prehodu čez desetico (recimo prenos enice namesto desetice).

Težava nastane tudi, če postopek pozabimo. Brez dobrih številskih predstav ga bomo zelo težko ponovno priklicali iz spomina.

V času pred razcvetom žepnih računalnikov je bil ta postopek praktično edini način za hitro seštevanje večmestnih števil, danes pa so ga v večini nadomestili računalniški algoritmi, zato bo v prihodnosti vedno manj pomemben.

V našem primeru najprej seštejemo (modre) enice. Rezultat je 19, kar pomeni, da 9 zapišemo, desetico (1, zapisana z manjšo pisavo) pa "nesemo naprej" v stolpec levo ter jo prištejemo k seštevku desetic (2 + 3 + 1 = 6), skupaj torej 7. In dobimo rezultat 79.

Več, kot si mislite. Pa s tem ne mislim zgolj preprek, zastojev in slabe volje. :)
 
Zaenkrat se osredotočimo na izraze, ki vsebujejo osnovne štiri računske operacije (seštevanje, odštevanje, množenje, deljenje ) in oklepaje. 
 
Da bo razlaga bolj življenjska, potegnimo vzporednico z gradnjo avtoceste.

Tako kot je pri gradnji avtoceste najprej potrebno utrditi peščeni teren, se pri reševanju računskih izrazov najprej lotimo oklepajev.

Pozor! Tako kot črt ne rišemo, če asfalt še ni položen, mora tudi seštevanje in odštevanje počakati, dokler ne končamo z množenjem in deljenjem. 
 
No ... ob tej trditvi se bo hitro nekje pojavil brihtnež, ki bo dejal: "Kaj pa računi, ki ne vsebujejo množenja in deljenja?" A brez skrbi, tudi zanj imam odgovor - vsak člen lahko pomnožimo z ena in imamo množenj, kar jih hočemo, rezultat pa se zaradi tega ne bo prav nič spremenil, mi bi tako v predzadnji vrstici recimo lahko zapisali 30∙1 - 7∙1 :) A brez skrbi, na šolskih testih se bo vedno nekje našlo kakšno množenje ali deljenje.
 
Ponovimo še vse skupaj: pesek, asfalt, črte oziroma oklepaji, krat/deljeno, plus/minus. Ni težko, kajne? ;)