OSVOJI ZNANJE
  • Baza znanja
    • Triki in nasveti >
      • Matematika
      • Fizika
      • Geografija
      • Angleščina
      • Elektrotehnika
      • Kemija
      • Slovenščina
    • Sistematično učenje >
      • Matematika
      • Fizika
      • Geografija
      • Slovenščina
      • Kemija
    • Besedilne naloge
    • Učenje in organizacija
  • Aktivnosti
    • Vodene aktivnosti
    • #wodb naloge
    • Problemske naloge
    • Podobnosti in razlike
    • Na kaj pomisliš
    • Računanje "na palec"
    • Problemske niti
  • Igre
    • Igraje do stotice
    • Igriva praštevanka in Čista stotica
    • Brezplačne igre
  • Didaktika
    • Predponkoti
    • Grafično računanje
  • O blogu
  • Kontakt

Zapišimo množice točk s koordinatnega sistema

7/6/2017

0 Comments

 
V nadaljevanju sledi nekaj nasvetov za reševanje nalog v stilu: "Zapiši množico točk, ki je predstavljena v koordinatnem sistemu..." Saj veste, ko imate na x/y "križkražu" polne in črtkane črte, pobarvano polje pa sega v neskončnost ali pa je stisnjeno v "sendvič"... :)

1. Na sliki je samo črta
  • če je črta navpična, pogledamo, kje seka x os. Če je to na primer pri x=3, je rešitev kar "x=3". Simpl :)
  • če je črta vodoravna, pogledamo, kje seka y os. Če je to na primer pri y=3, je rešitev "y=3". Logično :)

2. Na sliki je črta, od katere se levo, desno, dol ali gor proti neskočnosti razteza pobarvano polje
  • če je črta navpična, pogledamo, kje seka x os (na primer pri x=2). Pazimo tudi na to, ali je črta polna ali črtkana. Nato pogledamo, kam se razteza pobarvano polje. Če je to levo od črte, bo v rešitvi pogoj "manjše", desno pa "večje" (tako, kot si sledijo vrednosti na x osi). V našem primeru bo rešitev "x<2" (pobarvano polje levo od črtkane črte) ali "x>2"  (pobarvano polje desno od črtkane črte) oziroma "x<=2" (pobarvano polje levo od polne črte) ali "x>=2" (pobarvano polje desno od polne črte)
  • če je črta vodoravna, pogledamo, kje seka y os (na primer pri y=2). Pazimo tudi na to, ali je črta polna ali črtkana. Nato pogledamo, kam se razteza pobarvano polje. Če je to navzdol od črte, bo v rešitvi pogoj "manjše", navzgor pa "večje" (tako, kot si sledijo vrednosti na y osi). V našem primeru bo rešitev "y<2" (pobarvano polje pod črtkano črto) ali "y>2"  (pobarvano polje nad črtkano črto) oziroma "y<=2" (pobarvano polje pod polno črto) ali "y>=2" (pobarvano polje nad polno črto)

3. Na sliki sta dve vzporedni črti, med katerima se razteza pobarvano polje (ujeto v "sendvič")
  • če sta črti navpični, pogledamo, kje sekata x os (na primer pri x=2 in x=4). Pazimo tudi na to, ali sta črti polni ali črtkani (možna je tudi kombinacija obeh). "Kljunčka" v rešitvi sta vedno obrnjena v levo, x pa je med njima (v našem primeru 2<x<4, če sta obe črti črtkani, sicer je ustrezen pogoj potrebno nadomestiti z "<=", če je ustrezajoča črta polna)
  • če sta črti vodoravni, pogledamo, kje sekata y os (na primer pri y=3 in y=5). Pazimo tudi na to, ali sta črti polni ali črtkani (možna je tudi kombinacija obeh). "Kljunčka" v rešitvi sta vedno obrnjena v levo, y pa je med njima (v našem primeru 3<y<5, če sta obe črti črtkani, sicer je ustrezen pogoj potrebno nadomestiti z "<=", če je ustrezajoča črta polna)

4. Na sliki sta dve pravokotni črti, pobarvani polji pa se v pravokotnih smereh raztezata v neskončnost
  • gre za kombinacijo obeh alinej iz točke 2. Rešitev zapišemo kot 2 intervala, med katera vstavimo besedo "in" (če nas zanima polje, ki je dvakrat pobarvano) oziroma "ali" (če nas zanima polje, ki je vsaj enkrat pobarvano).

Oglejte si še legendo.
0 Comments

Barvamo koordinatni sistem...

6/6/2017

0 Comments

 
Saj poznate tiste naloge v stilu: "V koordinatnem sistemu nariši množico točk, ki ustreza zapisu..." In potem rišemo polne in črtkane črte, barvamo v neskončnost ali pa narišemo "sendvič"... :)

Da se boste s takimi nalogami lažje spopadli, naj vam predlagamo naslednji "kuharski recept".

1a. Preverimo, ali pogoj velja za x os ali za y os (če je pogoj dvojni, preskočimo na točko 1b.)
Tu bomo narisali eno vodoravno ali navpično črto.
  • kadar je v pogoju x (na primer x>3), na x osi poiščemo ustrezno vrednost (v našem primeru x=3) in tam narišemo črto, ki je pravokotna na x os (pri "<" ali ">" črtkano, pri "≤", "≥" in "=" pa polno)
  • kadar je v pogoju y (na primer y<2), na y osi poiščemo ustrezno vrednost (v našem primeru y=2) in tam narišemo črto, ki je pravokotna na y os (pri "<" ali ">" črtkano, pri "≤", "≥" in "=" pa polno)
​
1b. Preverimo, ali za x os ali za y os velja dvojni pogoj
Tu bomo narisali dve vodoravni črti, dve navpični črti ali eno vodoravno in eno navpično črto.
  • kadar imamo za x dvojni pogoj (na primer 1<x<3), na x osi poiščemo ustrezni vrednosti (v našem primeru x=1 in x=3) in tam narišemo črti, ki sta pravokotni na x os (pri "<" ali ">" črtkano, pri "≤", "≥" in "=" pa polno)
  • kadar imamo za y dvojni pogoj (na primer 2<y<4), na y osi poiščemo ustrezni vrednosti (v našem primeru y=2 in y=4) in tam narišemo črti, ki sta pravokotni na y os (pri "<" ali ">" črtkano, pri "≤", "≥" in "=" pa polno)
  • kadar sta v pogoju tako x kot y (na primer x>3 in y<2 ), tako na x osi kot na y osi poiščemo ustrezni vrednosti (v našem primeru x=3 in y=2) ter tam narišemo črti, ki sta pravokotni na x oz. y os (pri "<" ali ">" črtkano, pri "≤", "≥" in "=" pa polno)

2a. Preverimo, za kakšen pogoj gre [>, <, ≥, ≤ ali =] (pri pogoju za x in y preskočimo na točko 2b):
Tu barvamo levo/desno oziroma gor/dol od črte iz točke 1. Pri pogoju "=" ne barvamo ničesar. Če sta pogoja za x oziroma y dva, barvamo področje med črtama ali pa področje od črt navzven.
  • Najlažje je, če je v pogoju samo enakost, saj nam v tem primeru ni potrebno narediti nič več :)
  • če je v pogoju ">" ali "≥" za x barvamo desno, za y pa navzgor od črte, ki smo jo narisali v prejšnjem koraku (tako kot bi namazali nekaj na kruh :))
  • če je v pogoju "<" ali "≤" za x barvamo levo, za y pa navzdol od črte, ki smo jo narisali v prejšnjem koraku (tako kot bi namazali nekaj na kruh :))
  • če imamo zvezni dvojni pogoj (na primer 1<x<3 ali 2<y<4 oziroma "kljunčka" v isto smer), pobarvamo neke vrste "sendvič"; ta je pri pogoju za x "ležeč", pri pogoju za y pa "stoječ" :)
  • če imamo nezvezni dvojni pogoj (na primer x<1 in x>3 ali y<2 in y>4 oziroma "kljunčka" v različnih smereh), področji izven črt - t.i. "inverzni sendvič"; ta je pri pogoju za x "ležeč", pri pogoju za y pa "stoječ" :)

2b. Preverimo, za kakšen pogoj gre [>, <, ≥, ≤ ali =], obenem pa preverimo še logični operator ("in" oziroma "ali")
Tu barvamo levo/desno oziroma gor/dol od črt iz točke 1b (razen pri pogoju "=", kjer ne barvamo). Obarvani področji se prekrivata, kot rešitev pa velja naslednje:
  • pri logičem operatorju "in" za rezultat velja tisti del, ki je dvakrat pobarvan ("in" pomeni presek)
  • pri logičem operatorju "ali" za rezultat velja tisti del, ki je vsaj enkrat pobarvan ("ali" pomeni unijo)

Legenda:
=
enako
>
večje
<
manjše
≥
večje ali enako
≤
manjše ali enako
Primeri slik za enojni pogoj za x (​≤, <, =, >, ≥):
Picture
Primeri slik za enojni pogoj za y (​≤, <, =, >, ≥):
Picture
Primeri slik za za dvojni pogoj za x:
Picture
Primeri slik za dvojni pogoj za y:
Picture
Primeri slik za pogoj za x in y (logični operator "in"):
Picture
Primeri slik za pogoj za x in y (logični operator "ali"):
Picture
0 Comments

Lastnosti matematične funkcije

26/11/2016

4 Comments

 
Ste se kdaj "zataknili" pri definicijskem območju ali zalogi vrednosti?

Govorimo seveda o funkcijah, takih in drugačnih, vsaki z zvrhanim košem lastnosti :) Da pred tablo ali na pisnem testu ne boste "debelo gledali", vam predstavimo nekaj idej, kako funkciji določiti lastnosti na čim lažji način.

Definicijsko območje

Začnimo z definicijskim območjem, ki smo ga malo prej že omenili. Kot vemo, funkcija preslika neodvisno spremenljivko (največkrat je to x) v odvisno spremenljivko (običajno y). In definicijsko območje pomeni tiste vrednosti x, ki se bodo preslikale v y. Jap, ne pridejo vedno vse na vrsto za preslikavo ;)

Definicijsko območje si je najlažje predstavljati na grafu funkcije. Zamislite si, da ste možak na spodnji sliki. Hodite po abscisi koordinatnega sistema (to je x os) od leve proti desni strani (v tej smeri tudi pišemo). Pri hoji se ozirate navzgor in navzdol, če boste kje videli funkcijo. Del poti, kjer je funkcija vidna, pobarvate z zeleno (tako kot je označeno na spodnji sliki). Interval, ki ste ga narisali (obarvan zeleno), je definicijsko območje funkcije:
Picture
Ponovimo nekaj glavnih pravil za označevanje intervala:
  • če začetna oziroma končna točka spadata k intervalu, je na grafu pika,
    v oznaki intervala pa oglati oklepaj "[" oz. "]".
  • če začetna oziroma končna točka ne spadata k intervalu, je na grafu 
    ​puščica, v oznaki intervala pa okrogli oklepaj "(" oz. ")".
  • ​če se graf začne oziroma konča v neskončnosti, za začetno oz. končno točko intervala uporabimo oznako "(-∞" oz. "∞)", pri čemer mora biti
    ​ oklepaj vedno  
    okrogel!
  • če funkcija obstaja za vsak x iz množice realnih števil (graf se  začne in konča v neskončnosti), pa preprosto zapišemo Df=ℝ.​
Picture
Picture
V našem primeru začetna točka spada zraven, končna pa ne. Temu primeren je tudi zapis definicijskega območja.

Zaloga vrednosti

Poleg definicijskega območja običajno vedno navedemo tudi zalogo vrednosti.

Če so definicijsko območje tiste vrednosti x, ki se bodo preslikale v y, so "zaloga vrednosti" vse vrednosti y, ki so pri preslikavi nastale. Poenostavljeno bi lahko rekli, da se je definicijsko območje preslikalo v zalogo vrednosti.

Tudi zalogo vrednosti si najlažje predstavljamo na grafu funkcije. V prejšnjem poglavju smo bili "zelen sprehajalec", sedaj pa bodimo "rdeč plezalec" ;) Včeraj smo hodili, danes pa plezamo, navpično navzgor, po ordinati koordinatnega sistema (y os). Plezati začnemo v najnižji točki grafa funkcije in splezamo vse do njenega vrha. Ker nam plezanje ne dela težav, zraven še malo pleskamo, tokrat z rdečo barvo :)
Picture
​Interval, ki ga dobimo (na grafu obarvan rdeče), je zaloga vrednosti funkcije. Še enkrat ponovimo nekaj glavnih pravil za označevanje intervala:
  • če najnižja oziroma najvišja točka spadata k intervalu, je  na grafu pika,
    v oznaki intervala pa oglati oklepaj "[" oz. "]".
  • če najnižja oziroma najvišja točka ne spadata k intervalu, je na grafu puščica, v oznaki intervala pa okrogli oklepaj "(" oz. ")".
  • če se graf navzgor oziroma navzdol razprostira do neskončnosti, za začetno oz. končno točko intervala uporabimo oznako "(-∞" oz. "∞)", pri čemer mora biti oklepaj vedno okrogel!
  • če se graf navzgor in navzdol razprostira do neskončnosti, zalogo vrednosti preprosto zapišemo kot Zf=ℝ.
Picture
Picture
V našem primeru najnižja točka spada zraven, najvišja pa ne. Temu primeren je tudi zapis zaloge vrednosti.

Naraščanje in padanje

Na kratko: zanima nas, pri katerih vrednostih (neodvisne) spremenljivke x funkcija narašča in pri katerih vrednostih pada.

Vrednosti spremenljivke x seveda ne naštevamo, ker bi jih bilo preveč, ampak jih podajamo v obliki intervalov. Spremenljivki x pripadajo "vodoravni" intervali, ki smo jih srečali že pri obravnavi definicijskega območja in so na naših slikah obarvani zeleno.

Intervale naraščanja in padanja najlažje razberemo z grafa funkcije. Do sedaj smo tekli in plezali, tokrat pa se peljimo z avtomobilom. 
Peljemo se po (modri) krivulji funkcije od leve proti desni (v tej smeri tudi pišemo) in smo pozorni na to, ali se peljemo "v klanec" ali "s klanca". Ko gremo navzgor, funkcija narašča, ko gremo navzol, pa pada:
Picture
Naj omenimo še to, da točke, kjer graf iz padanja preide v naraščanje (in obratno), ne spadajo v intervale naraščanja oz. padanja, zato so oklepaji v zapisu intervalov vedno okrogli.

Ne pozabimo: če graf "pride iz neskončnosti" oziroma "gre v neskončnost", moramo pa tako ali tako uporabiti okrogli oklepaj!

Omejenost

Funkcija je lahko omejena navzgor, navzdol ali pa kar v obe smeri (in ne na levo in desno, kot se včasih kdo rad zmoti).

Vsi ste že kdaj merili svojo višino. Če ne drugače, so vas izmerili na sistematskem pregledu. Na podoben način lahko "izmerimo" tudi funkcijo, s to razliko, da ne bomo podali njene višine, ampak le najnižjo in najvišjo točko.

Zopet si pomagajmo z grafom funkcije. Zamislimo si dve veliki pokrovki (na sliki rdeče barve), med kateri "ulovimo" funkcijo. Zakaj ravno pokrovki? Zato, da bo zares "odbito" in si boste zato bolj zapomnili :)
Picture
Položaj spodnje pokrovke na navpični (y) osi nam pove spodnjo mejo funkcije (označimo jo z malo črko m), položaj zgornje pokrovke na y osi pa nam pove zgornjo mejo funkcije (označimo jo z veliko črko M).

Včasih se zgodi, da funkcije ne moremo "ujeti v pokrovko". V tem primeru funkcija navzdol oz. navzgor ni omejena. Kakšne niso omejene navzgor, druge navzdol, se pa najdejo tudi take, ki sploh niso omejene.​

Pozitivnost in negativnost

Poglejmo, pri katerih vrednostih x je funkcija pozitivna oziroma negativna. Tudi tu vrednosti spremenljivke podajamo v obliki intervalov ("vodoravni" intervali, obarvani zeleno)

Spomnimo se poglavja o definicijskem območju, kjer se je zelen možak oziral navzgor in navzdol ter preverjal, kje je funkcija vidna. Takrat ga ni zanimalo, ali je funkcija nad ali pod njim, sedaj pa je to pomembno (zato smo možaku glavo obarvali rdeče). Kadar je funkcija nad možakom, je le-ta pozitivna, kadar pa je pod njim, pa je negativna:
Picture
Točke, kjer graf seka x os, ne spadajo v intervale pozitivnosti oz. negativnosti (uporabimo okrogli oklepaj!), saj tam funkcija ni ne pozitivna in ne negativna, ampak je njena vrednost enaka nič. Te točke imenujemo ničle funkcije. K njim se še vrnemo v nadaljevanju.

​Ne pozabimo: Če graf "pride iz neskončnosti" in/ali "gre v neskončnost", moramo na začetku prvega in/ali na koncu zadnjega intervala uporabiti okrogli oklepaj!

Ničle funkcije

Nekaj vrstic nazaj smo iskali vrednosti (neodvisne) spremenljivke x, pri katerih je funkcija pozitivna oziroma negativna. In kakšno vrednost ima funkcija, če ni niti pozitivna, niti negativna? Nič, seveda :)

Točke, v katerih ima funkcija vrednost 0, imenujemo ničle funkcije. Nahajajo se na abscisni (x) osi koordinatnega sistema.

Ne pozabimo: v ničlah je y enak 0, medtem ko vrednost "ničle" pove x!

Na grafu ničle funkcije izgledajo kot neki kamni na zeleni poti (vodoravna x os), ob katere se spotika naš možic, ki smo ga že kar nekajkrat srečali:
Picture
V ničli graf seka ali pa se dotika (zeleno označene) x osi. Graf seka x os v ničlah "lihega reda" (stopnje 1,3,5,...), dotika se ga pa v ničlah "sodega reda" (stopnje 2,4,6,...).

V našem primeru sta ničli dve. Prva ima vrednost 0, druga pa vrednost 2. Označeni sta z zelenim okvirčkom.​

Začetna vrednost funkcije

V nasprotju z ničlami, ki smo jih obravnavali nekaj vrstic višje, tokrat 0 ni vrednost funkcije, ampak vrednost neodvisne spremenljivke x.

Ne pozabimo: v točki, ki označuje začetno vrednost, je x enak 0, medtem ko začetno vrednost podajamo z y!

Na grafu začetna vrednost izgleda kot nek "oprijemek" na rdeči steni (navpična y os), po kateri pleza naš možic, ki smo ga že kar nekajkrat srečali:
Picture
 V tej točki, ki označuje začetno vrednost,  graf funkcije seka (rdeče označeno) y os.

V našem primeru je začetna vrednost enaka 0. Označena je z rdečim okvirčkom.
4 Comments

Kako najhitreje narisati graf linearne funkcije

16/10/2016

0 Comments

 
Načinov za risanje grafov linearnih funkcij je več; z enimi pokažete več znanja (ki ga tudi hitro pozabite), drugi so pa bolj enostavni, a jih zlepa ne pozabite. Pobliže poglejmo enega od slednjih.

Narišimo graf linearne funkcije y=2x+4. Vemo, da ima linearna funkcija dve spremenljivki. Ena je neodvisna (x), druga pa je odvisna (y). Vse, kar morate storiti je, da vsako od njiju izenačite z nič in preverite, kakšno vrednost ima pri tem druga spremenljivka:
Picture
S tem, ko smo vrednost spremenljivk x in y postavili na 0, smo dobili dve točki na koordinatnem sistemu. Ker imata vsaka eno od koordinat enako 0, ležita vsaka na eni od koordinatnih osi in ju je zato lahko označiti. Skoznji potegnemo le še premico in že imamo graf linearne funkcije.
Picture
Naj na koncu opozorimo, da omenjena metoda ni primerna za grafe funkcij, ki potekajo skozi koordinatno izhodišče, saj v tem primeru omenjeni točki sovpadata (0,0).
Iz težav nas reši tretja točka, katere koordinate dobimo tako, da si izberemo poljuben x (npr. 1), ga vstavimo v funkcijo in izračunamo vrednost y. Sedaj potegnemo le še premico skozi koordinatno izhodišče in to tretjo točko (1, izračunan y), in graf je tu.
0 Comments

zapis točke v koordinatnem sistemu v ravnini

7/8/2015

0 Comments

 
Zamislimo si psa, ki teče (od leve proti desni) in nato skoči.

Tek psa je v vodoravni smeri. Vodoravna smer predstavlja x os na (kartezičnem) koordinatnem sistemu v ravnini.
Skok psa je v navpični smeri. Navpična smer predstavlja y os na (kartezičnem) koordinatnem sistemu v ravnini.

Sedaj pa logika:

Pes mora najprej teči, da lahko skoči. Tudi x se v abecedi nahaja pred y.
Torej je prva koordinata točke x, druga pa y:
​

Picture
0 Comments

    ARHIV

    May 2025
    September 2024
    May 2024
    December 2023
    October 2023
    September 2023
    May 2023
    November 2022
    May 2022
    February 2022
    October 2021
    May 2021
    April 2021
    February 2021
    October 2020
    June 2020
    May 2020
    April 2020
    March 2020
    December 2019
    November 2019
    August 2019
    January 2019
    October 2018
    September 2018
    August 2018
    July 2018
    June 2018
    April 2018
    March 2018
    February 2018
    December 2017
    November 2017
    October 2017
    September 2017
    June 2017
    January 2017
    November 2016
    October 2016
    June 2016
    May 2016
    April 2016
    March 2016
    December 2015
    October 2015
    September 2015
    August 2015
    July 2015

    KATEGORIJE

    All
    Algebra
    Aritmetika
    Decimalna števila
    Enačbe
    Funkcije
    Geometrija V Prostoru
    Geometrija V Ravnini
    Grafi Funkcij
    Izrazi
    Koordinatni Sistem
    Kotne Funkcije
    Neenačbe
    Odstotki
    Podobnost
    Praštevila
    Problemske Naloge
    Razstavljanje Izrazov
    Sklepni Račun
    Sorazmerje
    Splošno
    številske Predstave
    Terminologija
    Ulomki

    RSS Feed

Powered by Create your own unique website with customizable templates.
  • Baza znanja
    • Triki in nasveti >
      • Matematika
      • Fizika
      • Geografija
      • Angleščina
      • Elektrotehnika
      • Kemija
      • Slovenščina
    • Sistematično učenje >
      • Matematika
      • Fizika
      • Geografija
      • Slovenščina
      • Kemija
    • Besedilne naloge
    • Učenje in organizacija
  • Aktivnosti
    • Vodene aktivnosti
    • #wodb naloge
    • Problemske naloge
    • Podobnosti in razlike
    • Na kaj pomisliš
    • Računanje "na palec"
    • Problemske niti
  • Igre
    • Igraje do stotice
    • Igriva praštevanka in Čista stotica
    • Brezplačne igre
  • Didaktika
    • Predponkoti
    • Grafično računanje
  • O blogu
  • Kontakt