OSVOJI ZNANJE
  • Baza znanja
    • Triki in nasveti >
      • Matematika
      • Fizika
      • Geografija
      • Angleščina
      • Elektrotehnika
      • Kemija
      • Slovenščina
    • Sistematično učenje >
      • Matematika
      • Fizika
      • Geografija
      • Slovenščina
      • Kemija
    • Besedilne naloge
    • Učenje in organizacija
  • Aktivnosti
    • Vodene aktivnosti
    • #wodb naloge
    • Problemske naloge
    • Podobnosti in razlike
    • Na kaj pomisliš
    • Računanje "na palec"
    • Problemske niti
  • Igre
    • Igraje do stotice
    • Igriva praštevanka in Čista stotica
    • Brezplačne igre
  • Didaktika
    • Predponkoti
    • Grafično računanje
  • O blogu
  • Kontakt

Računanje z naravnimi števili s pomočjo številskih dreves

28/3/2020

0 Comments

 
Kaj so to številska drevesa? Po domače povedano so to drevesa, na katerih namesto jabolk rastejo števila, obrnjena pa so z glavo navzdol. Vam je zdaj kaj bolj jasno? Manj? :) 

Pravijo, da slika pove več kot 1000 besed, zato si poglejmo primer.

Razdelimo število 123 na desetiške enote in ga zapišimo v obliki:
Picture
Predstavitev števila na tak način nam olajša računanje "na plus in minus", recimo:
  • seštevanje brez prehoda,
  • seštevanje s prehodom,
  • odštevanje brez prehoda,
  • odštevanje s prehodom.

Število lahko zapišemo tudi v obliki prafaktorjev. Pri nas razcep števila na prafaktorje v šolah običajno učijo na način z navpično črto (nekajkrat smo ga uporabili tudi v naših video vsebinah), v tujini pa se ga lotijo tudi takole (angl. izraz "factor tree"):
Picture
Razcep izvajamo s postopnim "drobljenjem" števila, na podlagi poznavanja poštevanke.

​Za 24 vemo, da je 8 krat 3. 3 je že praštevilo, zato se tu veja konča, 8 pa delimo naprej, vse dokler ne pridemo še do preostalih prafaktorjev.

Drevo bi lahko npr. začeli tudi s "6 krat 4"; v tem primeru bi bila struktura drevesa drugačna, na koncu pa bi dobili iste prafaktorje kot na zgornji sliki.

Predstavitev števila na tak način nam olajša računanje "na krat in deljeno" ter še kar nekaj drugih računskih operacij, ki iz omenjenega izhajajo, recimo:
  • množenje,
  • deljenje (brez ostanka),
  • izpostavljanje skupnega večkratnika,
  • krajšanje ulomkov,
  • potenciranje,
  • (delno) korenjenje.

S pomočjo praštevilske faktorizacije si močno poenostavimo tudi iskanje najmanjšega skupnega večkratnika, največjega skupnega delitelja ter najmanjšega skupnega imenovalca ulomkov.

Če združimo tako zapis v obliki desetiških enot kot razcep na prafaktorje, pa si lahko pomagamo tudi pri računskih izrazih in deljenju z ostankom.

Za boljšo preglednost in ločevanje vrst dreves se dogovorimo še za označevanje:
  • desetiške enote naj bodo v okvirčkih,
  • prafaktorji pa v krožcih.
Tako okvirčki kot krožci naj bodo ločeni po barvah.

Omenjeno znanje nam pomaga tudi pri računanju na pamet, ki je ob hitrem preverjanju pravilnosti rezultatov na koncu pisnih testov praktično nepogrešljivo.

Oglejmo si nekaj primerov tovrstnega računanja.

Seštevanje brez prehoda
​
Picture
Na podlagi drevesnega zapisa hitro ugotovimo:
  • 20 + 50 = 70 in
  • 3 + 5 = 8
Ko to dvoje seštejemo, dobimo rezultat 78.

Seštevanje s prehodom
​
Picture
Desetice enostavno seštejemo:
  • 30 + 40 = 70
Ko pa seštejemo enice, ugotovimo, da imamo prehod čez desetico:
  • 9 + 7 = 16
Zato enico drugega seštevanca (7) razdelimo še naprej in sicer tako, da del le-te z enico prvega seštevanca (9) tvori točno desetico (obarvano rumeno):
  • 9 + 1 = 10
Od enice drugega seštevanca (7) nam torej ostane še 6, ki pa jo bomo prišteli čisto na koncu:
  • 30 + 40 = 70
  • 9 + 1 = 10
  • 6 ostane od enice drugega seštevanca
Ko vse skupaj seštejemo, dobimo rezultat 86.

V našem primeru smo si ogledali prehod čez desetico. Na podoben način bi si lahko pomagali tudi pri prehodu čez stotico, tisočico ...

Odštevanje brez prehoda

Picture
Na podlagi drevesnega zapisa hitro ugotovimo:
  • 70 - 40 = 30 in
  • 8 - 3 = 5
Ko to dvoje seštejemo, dobimo rezultat 35. Prav se prebrali, seštejemo :) Desetice in enice smo seveda ločeno odšteli, a na koncu število vedno "zložimo" tako, da vrednosti, ki jih prispevajo posamezne desetiške enote (v našem primeru desetice in enice) seštejemo:
  • 30 + 5 = 35

Odštevanje s prehodom
​

Picture
Če ne bi imeli prehoda, bi preprosto odšteli desetice in enice, tako kot v prejšnjem primeru. A Ker računa "3 - 6" v okviru naravnih števil ne moremo izračunati, smo enico odštevanca (6) razdelili še naprej in sicer tako, da se del le-te ujema z enico zmanjševanca (3, obarvano rumeno).

Račun nato izračunamo postopoma:
  • 80 - 50 = 30
  • 3 - 3 = 0 (obarvano rumeno); ta del lahko sedaj "pozabimo", saj na končni izračun ne vpliva (če številu prištejemo ali odštejemo 0, se ne zgodi nič)
  • ​Od števil v okvirčkih nam je ostala samo še (neobarvana) 3 pri odštevancu, ki jo odštejemo od 30
Rezultat je torej 27.

Dodatek: Če nalogo razširimo na cela števila, si lahko pomagamo s "trikom", ki je razložen tule.

Množenje

Picture
Če oba faktorja razcepimo na prafaktorje, rezultat lahko preprosto zapišemo v obliki potenc:
  • 2∙2∙2∙2∙2 = 2⁵
  • 3∙3 = 3²
Ko to dvoje zmnožimo, dobimo rezultat 2⁵∙3²

Rezultat lahko razmeroma hitro dobimo tudi z množenjem praštevil, kjer upoštevamo:
  • vrstni red od večjih praštevil  proti manjšim (z vsakim množenjem je delni rezultat večje število, zato je bolje, da manjša praštevila pustimo za na konec)
  • zmnožek praštevil 2 in 5 je 10, zato take pare z delnim rezultatom množimo skupaj (nov delni rezultat dobimo le z dodajanjem ničle na desno)

V našem primeru bi tako izračunali:
  • 3∙3 = 9
  • 9∙2 = 18
  • 18∙2 = 36
  • 36∙2 = 72
  • 72∙2 = 144
  • 144∙2 = 288

Do rezultata seveda lahko pridemo tudi s pisnim množenjem, kjer pa si s številskimi drevesi lahko pomagamo le v manjši meri.

Deljenje

Picture
Tako kot smo pri odštevanju ločeno odšteli desetice in enice, lahko pri deljenju enako storimo s prafaktorji, ki smo jih dobili s praštevilskim razcepom deljenca (24) in delitelja (8), saj je koncept odštevanja in deljenja zelo podoben.

Račun izračunamo postopoma:
  • 2 (z leve, zapolnjen krog) : 2 (z desne, zapolnjen krog) = 1 (ponovimo 3-krat, nato pa ta del lahko "pozabimo", saj na končni izračun ne vpliva (če število množimo ali delimo z 1, se ne zgodi nič)
  • na levi strani nam tako ostane le še 3, ki jo delimo z 1∙1∙1 (=1), ki je po trikratnem deljenju z 2 ostala na desni
Rezultat je torej 3.

Za razmislek: Ob upoštevanju, da je deljenje je isto kot krajšanje ulomkov, s pomočjo številskih dreves skušaj okrajšati ulomek 24/8.

Delno korenjenje
Picture
Če število pod korenom razcepimo na prafaktorje, ga lahko zapišemo v obliki potenc:
  • 72 = 2∙2∙2∙3∙3 
Ker vemo, da je kvadratni koren kvadrata števila enak številu samemu (√a²=a), ob upoštevanju pravil za korenjenje kvadrate števil lahko "vzamemo izpod korena". Pred tem moramo prafaktorje le še ustrezno grupirati:
  • 2∙2∙2∙3∙3 = 2²∙2∙3²
Grupirani prafaktorji so označeni z zapolnjenimi krožci.

Končni rezultat je torej: √72 = √2²∙2∙3² = 2∙3√2

Pod korenom je ostal prafaktor 2, ker "nima svojega para".
0 Comments

Kaj moram že vpisati v okvirček ... ?

27/3/2020

0 Comments

 
20 + ☐ - 10 = 40

Saj poznate tale tip naloge, kajne? :)

Kako najlažje ugotoviti, kaj je potrebno vpisati v okvirček?

Enačaj nam pri tem lahko močno pomaga. Kaj pomeni "je enako"? Dobesedno pomeni "je enako" :) In kaj je enako? Seštevek števil na levi in na desni. No, na desni nam niti računati ni potrebno, ker imamo le eno število :)

Opomba: govora je o seštevku, števil na levi strani. Zraven seveda štejemo tudi odštevanje, ki je v bistvu prištevanje nasprotnih števil.

Računali bomo torej le na levi strani. Zapišimo levo stran računa še "v barvah", da bo lažje razumljiv:

20 + ☐ - 10 = 40

Pri "barvanju" smo upoštevali, da znak za računsko operacijo vpliva na število, ki mu sledi (na desni) in ne na število pred njim oziroma (na levi). Več o tem si lahko preberete tule.

Ljudje smo (večinoma) narejeni tako, da se najprej lotimo tistega, kar poznamo, šele nato pa neznanega. Tudi tu bomo naredili tako. Komur okvirček ni všeč, račun lahko zapiše tudi takole:


20 + ? - 10 = 40

"Naberimo" torej na levi strani skupaj tisto, kar poznamo ...

20 - 10 

... in izračunajmo:

20 - 10 = 10

Kaj nam je torej do sedaj uspelo narediti? Na levi strani smo združili znano in dobili:

10 + ☐ = 40

Tole je pa že kanček lažje, kajne? :) Zopet se spomnimo na enačaj, ki nam pove, da mora biti rezultat na levi strani enak rezultatu na desni.

Če imamo na levi strani 10, na desni pa 40, nam na levi nekaj manjka. Koliko moramo torej dodati na levi strani, da dobimo isto, kot imamo na desni? Odgovor je 30, saj velja

10 + 30 = 40

Opomba: Sklepali bi lahko tudi, da imamo na desni strani 30 preveč, kar je sicer pravilno, a potem računa ne bi mogli rešiti, saj se okvirček nahaja na levi in ne na desni strani.

V okvirček tako zapišemo 30 in celoten račun se glasi:

20 + 30 - 10 = 40

Če naredimo preizkus, na levi strani res dobimo 40.

Še nasvet za konec: Namesto (abstraktnih) števil lahko pri enačenju uporabimo tudi konkretne pripomočke - štejemo kocke, kroglice, denar ... ali pa tehtamo.
0 Comments

Učitelj uči, delitelj pa deli

25/3/2020

0 Comments

 
Deljenje. Za nekoga "u izi, navadn", za drugega nočna mora.

Najlažje je, če si ga predstavljamo "v živo". Ko ga enkrat dojamemo, je res povsem "simpl" :)

Prva težava se ponavadi pojavi že pri samih izrazih. Zakaj neki​ deljenec, delitelj in količnik? Imajo mogoče koliščarji kaj tu zraven??
Picture
Picture
Vam je zdaj kaj bolj jasno? Vidite, da koliščarjev res ni bilo zraven :)

Ostanimo še nekoliko pri enakih delih. Veste, da si z deljenjem lahko pomagamo pri delitvi pravokotnika na enake dele? Če smo povsem iskreni, gredo tu zasluge bolj množenju, obratni operaciji deljenja. Aja, pa ulomek je isto kot deljenje, če ste slučajno pozabili ;)
Picture
Za lažjo predstavo si oglejte še našo igro "Matematični osvajalci".
0 Comments

O razpolovljeni premici in točkah, ki ju loči le daljica

25/3/2020

0 Comments

 
No, pa razložimo tole zgodbico lepo in počasi :)

Enkrat je bila ena premica. Ime je dobila po tem, ker je bila revica vsa prema (po SSKJ: prema = ravna). Bila je svobodna. Segala je v eno in drugo smer v neskončnost.

Potem pa je prišla od neznano kje ena točka in se je usedla nanjo, tako grdo, da jo je kar razpolovila. Na njenem mestu sta nastala dva poltraka, a nobeden od njiju ni bil povsem svoboden. V neskončnost sta se raztezala le v eno smer, medtem ko ju je na drugi strani omejevala - kdo drug kot grozna točka.

Naša premica je pa imela sorodnico, ki se ji je pripetila nekoliko drugačna prigoda. Točke so imele prvenstvo v padalskih skokih. Med tekmovalkami sta bili tudi točka A in točka B. Sicer sta želeli pristati na isto mesto, a jima ni uspelo, tako da je bila med njima kar precejšnja razdalja. Omenjeno situacijo je slikal fotograf, ki je bil slučajno matematik in je sklenil, da bo del premice med točkama A in B poimenoval kar daljica. In še danes je tako.
Picture
0 Comments

Ti presneti ulomki, polni izrazi in enačbe so jih

15/3/2020

0 Comments

 
Ulomkov marsikdo ne mara, delno tudi zato, ker jih v izrazih ne moremo preprosto seštevati in odštevati, ampak jih moramo prej vedno razširiti na najmanjši skupni imenovalec:
Picture
Nekoliko raje jih imamo v enačbah. Tu nam ulomkov ni potrebno razširjati na najmanjši skupni imenovalec, ampak z njim preprosto pomnožimo obe strani enačbe. Najboljše pri vsem tem je pa to, da gredo na ta način ulomki pa pa 😉
Picture
0 Comments

Linearne enačbe z neobičajnimi rešitvami

14/3/2020

0 Comments

 
Linearna enačba ima običajno eno rešitev, ni pa vedno tako.

Lahko se tudi zgodi, da enačba nima rešitve ali pa da je rešitev neskončno.

Kako vemo, da enačba nima rešitve? Vemo, da kakršno koli množenje z 0 pomeni rezultat 0. Če pri računanju naletimo na zmnožek neznanke in števila 0, katerega rezultat ni enak 0 (na primer x • 0 = 5 ali pa recimo  0 • x = 8), je očitno, da "tu nekaj ne štima". Res je, večkratnik števila 0 mora biti vedno 0, sicer rešitev ne obstaja.
Picture
Kako pa vemo, da je rešitev neskončno? Že prej smo povedali, da kakršno koli množenje z 0 pomeni rezultat 0. Če pri računanju naletimo na zmnožek neznanke in števila 0, katerega rezultat je enak 0, pa ni nič narobe. Večkratnik števila 0 je vedno 0, ne glede na to, koliko je x oziroma s katerim številom množimo 0. Zato je x lahko katero koli število, torej je rešitev karkoli oziroma ima enačba neskončno rešitev.
Picture
0 Comments

    ARHIV

    May 2025
    September 2024
    May 2024
    December 2023
    October 2023
    September 2023
    May 2023
    November 2022
    May 2022
    February 2022
    October 2021
    May 2021
    April 2021
    February 2021
    October 2020
    June 2020
    May 2020
    April 2020
    March 2020
    December 2019
    November 2019
    August 2019
    January 2019
    October 2018
    September 2018
    August 2018
    July 2018
    June 2018
    April 2018
    March 2018
    February 2018
    December 2017
    November 2017
    October 2017
    September 2017
    June 2017
    January 2017
    November 2016
    October 2016
    June 2016
    May 2016
    April 2016
    March 2016
    December 2015
    October 2015
    September 2015
    August 2015
    July 2015

    KATEGORIJE

    All
    Algebra
    Aritmetika
    Decimalna števila
    Enačbe
    Funkcije
    Geometrija V Prostoru
    Geometrija V Ravnini
    Grafi Funkcij
    Izrazi
    Koordinatni Sistem
    Kotne Funkcije
    Neenačbe
    Odstotki
    Podobnost
    Praštevila
    Problemske Naloge
    Razstavljanje Izrazov
    Sklepni Račun
    Sorazmerje
    Splošno
    številske Predstave
    Terminologija
    Ulomki

    RSS Feed

Powered by Create your own unique website with customizable templates.
  • Baza znanja
    • Triki in nasveti >
      • Matematika
      • Fizika
      • Geografija
      • Angleščina
      • Elektrotehnika
      • Kemija
      • Slovenščina
    • Sistematično učenje >
      • Matematika
      • Fizika
      • Geografija
      • Slovenščina
      • Kemija
    • Besedilne naloge
    • Učenje in organizacija
  • Aktivnosti
    • Vodene aktivnosti
    • #wodb naloge
    • Problemske naloge
    • Podobnosti in razlike
    • Na kaj pomisliš
    • Računanje "na palec"
    • Problemske niti
  • Igre
    • Igraje do stotice
    • Igriva praštevanka in Čista stotica
    • Brezplačne igre
  • Didaktika
    • Predponkoti
    • Grafično računanje
  • O blogu
  • Kontakt