V nižjih razredih osnovne šole učenci še ne obvladajo "obračanja enačb", zato tako enačbe kot neenačbe rešujejo s poskušanjem.

​Pri enostavnih enačbah to nekako še gre, pri neenačbah pa se zadeva lahko kaj hitro "zavleče". Zato je koristno pri tem uporabiti nekaj logičnega sklepanja.

Oglejmo si primer reševanja neenačbe x+2>=5:

• ​najprej izračunamo enačbo x+2=5 (namesto neenakosti uporabimo enakost), ki predstavlja robni pogoj. X je v tem primeru 3.
  • Ker v neenačbi zastopa tudi enakost (ni "strogo večje", ampak "večje ali enako"), je x=3 tudi ena izmed rešitev.
• zatem preverimo, ali za 1 manjši x (x=2) tudi predstavlja eno izmed rešitev enačbe.
  • ​Če je x enak 2, se neenačba glasi: 2+2>=5. Ker 4 ni večje ali enako 5, x=2 ni rešitev. Sedaj uporabimo logiko. Če x=2 ni rešitev, tudi število, manjše od 2 ne more biti rešitev, saj s prištevanjem 2 tej vrednosti nikakor ne moremo priti do vrednosti 5.
• Kaj pa večja števila? 
  • Če je x enak 4, se neenačba glasi: 4+2>=5. Ker 6 je večje ali enako 5, je tudi x=4 rešitev neenačbe.
  • Če je x enak 5, se neenačba glasi: 5+2>=5. Tudi 7 je večje ali enako 5, zato je tudi x=5 rešitev neenačbe.
  • Sedaj zopet uporabimo logiko. Pomislimo, kaj se bo dogajalo pri še večjih vrednostih x. Leva stran neenačbe bo vedno večja, kar pomeni, da bo tudi za večje x veljalo, da je leva stran enačbe večja ali enaka desni. Rešitev so tako tudi vrednosti x, večje od 5 (6, 7, 8 ...).

Rešitev neenačbe x+2>=5 je torej x>=3.

Opomba: Opisana metoda je primerna za reševanje neenačb v okviru množice naravnih števil + števila 0.

Na tak način lahko rešimo enačbe s seštevanjem in odštevanjem, pri enačbah z  množenjem in deljenjem pa je potrebna previdnost, predvsem če ulomki še niso bili obravnavani. V poštev v tem primeru pridejo samo določene kombinacije števil.

Povezavo si oglejmo kar na primeru grafa racionalne funkcije, ki smo ga narisali tule.

Ogledali si bomo štiri značilne primere.

V prvem primeru je pogoj za neenačbo vrednost racionalne funkcije (strogo) večje od nič. Zakaj "strogo"? Zato, ker ničla ni dovoljena ampak velja samo tisto, kar je večje od nič.

Pozor! Pogoj govori o vrednostih y, medtem ko rešitev neenačbe podajamo v vrednostih x! Rešitev neenačbe običajno podajamo v enem ali več intervalih.

Ker pogoj zahteva vrednost funkcije, večjo od nič, se osredotočimo na pozitivna (rdeča) področja. Taki področji sta dve, zato bosta v rešitvi dva intervala. Na sliki sta označena z rdečimi črtami, ki imata na krajiščih puščici.

Zakaj puščici? Puščici na intervalu označujeta, da krajišči intervala nista vključeni v rešitev. Če bi bilo kakšno krajišče intervala vključeno v rešitev, bi bila tam pika.

Na splošno so na krajiščih puščice v naslednjih primerih:

• vedno na skrajni levi oziroma desni strani koordinatnega sistema, ker neskončnost v realnosti ne obstaja in je ne moremo zapisati kot rešitev
• vedno v polu, ker tam funkcija ni definirana
• v ničli pa le takrat, ko je pogoj za enačbo "strog"

Pozor! Kadar je pogoj za neenačbo "strog", se vam ni potrebno ukvarjati z zgoraj omenjenimi pravili, ampak si enostavno zapomnite, da nobeno krajišče nobenega intervala ni vključeno v rešitev, torej imajo vsi intervali povsod puščice!

Zapišimo intervala še z oklepaji. Pri tem upoštevamo:

• puščica pomeni okrogel oklepaj
• pika pomeni oglat oklepaj

Pozor! Kadar je pogoj za neenačbo "strog", so vsi oklepaji okrogli!

Med oklepaji je znak za unijo "∪". S tem znakom združimo intervale v eno rešitev.

Ker se leva ničla v našem primeru nahaja na poziciji x=-3, desni pol pa na x=3, je v našem primeru rešitev naslednja:

x ∈ (-∞,-3) ∪ (3,∞)

Ustavimo se še nekoliko pri asimptotah. Po definiciji je asimptota premica ali krivulja, ki se v neskončnosti približuje drugi krivulji, ne da bi jo dosegla.

Omenili smo vodoravno in poševno asimptoto. Ti dve asimptoti se nanašata na obnašanje grafa racionalne funkcije skrajno levo oziroma desno (-∞ oz. +∞ na x osi). Vodoravna in poševna asimptota hkrati ne moreta obstajati, saj se graf v neskončnosti lahko približuje le eni od njiju.

Ne pozabimo: Vrednost vodoravne oz. poševne asimptote zapišemo kot y=...

Pri risanju racionalne funkcije pa se skoraj vedno (kadar ima funkcija vsaj en realni pol) srečamo s še eno asimptoto, to je navpična asimptota. Ta je vedno navpična in poteka skozi pol racionalne funkcije.

Navpične asimptote se nanašajo na obnašanje grafa racionalne funkcije v okolici polov (poli se nahajajo na x osi, graf pa gre v njihovi bližini navzgor ali navzdol proti neskončnosti). Navpičnih asimptot je za razliko od vodoravne in poševne lahko več - toliko, kolikor ima racionalna funkcija različnih realnih polov.

Ne pozabimo:  Vrednost navpične asimptote zapišemo kot x=...

Navpičnih asimptot pri risanju grafa racionalne funkcije običajno ne omenjamo, le preprosto rečemo, da smo na koordinatnem sistemu označili pol racionalne funkcije. Je pa dobro, da vemo, da gre tudi v tem primeru za asimptoto.

Vse asimptote rišemo kot črtkane premice.

Izrazi, enačbe, neenačbe, poenostavljanje, razstavljanje... Nočna mora za tistega, ki ne razume, "šala-mala" za tistega, ki "se mu posveti". 

Skozi nepregledno množico pravil se bomo tokrat skušali prebiti s pomočjo simbolov, kar bo všeč predvsem tistim, ki ste bolj "vizualni tip".

Ponovitev

Najprej ponovimo pojem "člen".  Poenostavljeno rečeno je člen skupek številk in črk, med katerimi lahko nastopajo še simboli za množenje in deljenje ter eksponenti potenc in koreni. 

Ne pozabimo: znotraj člena simboli za seštevanje in odštevanje ter predznaka + in - ne nastopajo, razen če niso "ujeti" med oklepaje. So pa s simboli za seštevanje in odštevanje členi povezani med seboj!

Definicija simbolov

Začnimo z enočlenikom. Označimo ga z dvema krogoma:

• poln krog (predstavlja številko oziroma koeficient - številski faktor),
• prazen krog  (predstavlja črko oziroma spremenljivko).

Med njima je znak za množenje, ki pa ga ne pišemo. Pod njima je na sliki še nekaj primerov:

Če enočlenik ne vsebuje spremenljivke (take izraze srečamo v aritmetiki - samo številke, brez črk), rišemo le poln krog.

Za boljšo preglednost lahko kombinacijo polnega in praznega kroga poenostavimo:

Če med dva člena zapišemo + ali -, dobimo dvočlenik. Mi ga bomo označili takole:

V izrazih se pogosto pojavlja tudi tričlenik:

Ker je število členov lahko poljubno, dodajmo še simbol za veččlenik:

Enočlenika običajno ne predstavljata le koeficient in spremenljivka (številka in črka, na primer 5a), ampak je sestavljen iz več delov, pogosto z oklepaji (na primer a(b-c)(d+e)). Tak enočlenik bomo poimenovali "kompleksni enočlenik".

Seznam vseh simbolov je na naslednji sliki:

Oglejmo si nekaj primerov za enostavni in kompleksni enočlenik:

Če imamo le en oklepaj in pred njim stoji minus, je enočlenik pogojno kompleksni, saj gre v tem primeru za množenje oklepaja s številskim koeficientom -1 (posledično se po odpravi oklepaja vsem členom v oklepaju spremeni predznak):

- (b-4c+d) = (-1)·(b-4c+d) = -b+4c-d

Če pa pred oklepajem stoji plus, enočlenik ni kompleksen, saj oklepaj v tem primeru sploh ni potreben:

+ (a-5b) = a-5b

Če enostavni in kompleksni enočlenik združimo v dvočlenik, dobimo:

Zapis računskih pravil s simboli

Za primer si oglejmo zapis pravila za krajšanje ulomkov.

Ulomek lahko krajšamo samo takrat, kadar je tako v števcu kot v imenovalcu enočlenik. Kadar imamo opravka z veččleniki, jih je potrebno najprej razstaviti: