Pri seštevanju in odštevanju ulomkov je potrebno najti najmanjši skupni imenovalec (pri množenju in deljenju tega ne počnemo!)

Teoretični način 1 - metoda iskanja najmanjšega skupnega večkratnika

Ste vedeli, da je iskanje najmanjšega skupnega imenovalca v bistvu iskanje najmanjšega skupnega večkratnika? Dejansko vidimo, da je metoda za nekaj uporabna :)

Primer 1: Poiščimo skupni imenovalec ulomkov 1/30, 1/10 in 1/20.

Najprej zapišimo vse tri imenovalce kot zmnožek praštevil (2, 3, 5, 7, 11,...):

• 30=2*3*5

• 10=2*5
• 20=2*2*5

Sedaj pa iz zgornjih vrstic "poberimo" praštevila, ki jih bomo uporabili v končnem izračunu. Pozor! Vsako nastopajoče praštevilo vzamemo le enkrat, razen če se le-to znotraj ene vrstice ponovi! V našem primeru se v zadnji vrstici ponovi 2, zato jo vzamemo dvakrat:

• 2*2*3*5

Ugotovimo, da je skupni imenovalec ulomkov 1/30, 1/10 in 1/20 enak

• 2*2*3*5 = 60

Primer 2: Poiščimo skupni imenovalec ulomkov 1/3, 1/4 in 1/6.

Razstavljeni imenovalci so:

• 3=3
• 4=2*2
• 6=2*3

Dvojka se v drugi vrstici ponovi, zato jo vzamemo dvakrat, trojko pa enkrat:

• 2*2*3 = 12

Teoretični način 2 - metoda dopolnjevanja imenovalca do najmanjšega skupnega imenovalca

Ta metoda je najprimernejša za razumevanje bistva najmanjšega skupnega imenovalca.

Primer 1: Poiščimo skupni imenovalec ulomkov 5/30, 1/10 in 3/20.

Najprej zapišimo vse tri imenovalce kot zmnožek praštevil (2, 3, 5, 7, 11,...):

• 30=2*3*5

• 10=2*5
• 20=2*2*5

Sedaj pa dopolnimo imenovalce z manjkajočimi faktorji - praštevili (množenje!) tako, da bodo vsi enaki:

• Prvi ulomek: 2*3*5 dodamo še eno 2, saj ima zadnji ulomek v imenovalcu 2*2

• Drugi ulomek: 2*5 dodamo 2 in 3
• Tretji ulomek: 2*2*5 dodamo 3​

Če imenovalec tretjega ulomka zapišemo kot zmnožek dveh dvočlenikov, imamo situacijo zelo podobno situaciji v prvih treh primerih, le da tu namesto številk množimo dvočlenike v oklepajih. Lahko bi npr. množili tudi spremenljivke (črke: a,b,x,y,...).

Imenovalca tretjega ulomka torej ne bomo zapisali kot zmnožek praštevil, ampak kot zmnožek dvočlenikov v oklepajih. Za dobro voljo: v tovrstnih matematičnih nalogah sta dvočlenika, ki ju dobimo z razstavljanjem enega od imenovalcev, ravno dvočlenika iz imenovalcev preostalih dveh ulomkov, tako da je taka naloga dokaj lahko rešljiva ;) No, tako je tudi v našem primeru:

Predpostavimo, da veste, kaj je veččlenik (če pa slučajno ne, si preberite tole ;) )

Razložimo na primeru:

Zmnožimo:

• dvočlenik (a + b) in
• tričlenik (c + d + e)

Račun bo torej: (a + b)(c + d + e). Oklepaji so nujni!

"Vsak z vsakim" v naslovu pomeni, da moramo pri množenju veččlenikov vsak člen prvega veččlenika pomnožiti z vsakim členom drugega veččlenika. Pozor! členov znotraj oklepaja ne množimo med seboj!

Z drugimi besedami povedano, vsak člen iz levega oklepaja bo enkrat stal zraven vsakega člena iz desnega oklepaja:

(a + b)(c + d + e) = ac + ad + ae + bc + bd + be

Ni panike, kvadrat zapiši kot produkt dvočlenika samega s seboj:

(x-3)² je isto kot (x-3)(x-3).

Sedaj pa samo uporabite pravilo za množenje dvočlenikov (saj poznate tisto, "zmnoži vsakega z vsakim"?). Za zgornji primer dobimo x²-3x-3x+9.

Izraz uredimo in dobimo: (x-3)² = x²-6x+9.

Na enak način si lahko pomagamo tudi s kubom dvočlenika, s tem da problem rešujemo po korakih:

(x-3)³ je isto kot (x-3)(x-3)(x-3)

Med seboj najprej zmnožimo prva dva oklepaja, nato pa še tretjega:

(x-3)(x-3)(x-3) = (x²-3x-3x+9)(x-3) =...

Ni panike, uporabi Vietovo pravilo, pri čemer upoštevaš, da je linearni koeficient enak nič:

x²-9 je isto kot x²+0x+9.

Ker je linearni koeficient enak 0, je potrebno prosti člen (9 v zgornjem izrazu) predstaviti kot zmnožek dveh nasprotno enakih števil (+√9 in - √9 oz. +3 in -3 v zgornjem izrazu).

Velja torej: x²-9 = (x+3)(x-3).

V nadaljevanju sledi razlaga za razstavljanje izrazov po Vietovem pravilu. Postopek je uporaben za "lažjo obliko" izraza, pri čemer predpostavimo:

• vodilni koeficient je 1 (člen z x² zraven nima nobene številke)
• linearni koeficient (številka poleg x) je celo število
• prosti člen (številka skrajno desno, v členu ki nima nobene črke) je celo število

Razlaga je zgrajena na naslednjem primeru (najlažje je tako, saj se na primeru še največ naučimo):

Razložimo zgornji izraz:

• ​vodilni koeficient je 1
• ​linearni koeficient je -4
• prosti člen je -12

Sedaj pa navodilo.

Aha, preden se lotimo reševanja, povejmo še, kaj pričakujemo za rešitev :) Ker je spremenljivka v zgornjem izrazu x, bo rešitev v obliki (x±a)(x±b). X je seveda spremenljivka, a in b pa bomo določili z naslednjim postopkom:

Preprosto :) in sicer v dveh korakih:

• preštejemo število mest za decimalko in v imenovalec ulomka zapišemo 1 in za njim toliko ničel, kolikor je mest za decimalko
• v števec ulomka zapišemo vse števke (cifre) z decimalnega števila, a brez decimalke! Pozor! Začetnih ničel prav tako ne zapišemo v ulomek!

Ulomek na koncu seveda tudi okrajšamo.

Nekaj primerov:

• 0,003 = 3/1000
• 0,201 = 201/1000
• 3,21 = 321/100
  
• 12,05 = 1205 / 100
  
• 101,0101 = 1010101 / 10000
  

To najlažje naredimo tako, da delimo števec z imenovalcem, saj ulomek v matematiki pomeni deljenje.

Število s končnim decimalnim zapisom (po domače tako decimalno število, ki se ne "vleče" v neskončnost) pa dobimo samo, če ulomek razširimo tako, da v imenovalcu dobimo potenco števila 10 (po domače števila, ki ima spredaj 1, zadaj pa same ničle, npr. 10, 100, 1000,...)

V število s končnim decimalnim zapisom lahko pretvorimo ulomek, ki ima v imenovalcu:

• 2, saj 2 lahko pomnožimo s 5 in v imenovalcu dobimo 10 (2x5=10).
• 4, saj 4 lahko pomnožimo s 25 in v imenovalcu dobimo 100 (4x25=100).
• 5, saj 5 lahko pomnožimo z 2 in v imenovalcu dobimo 10 (5x2=10).
• 8, saj 8 lahko pomnožimo z 125 in v imenovalcu dobimo 1000 (8x125=1000).
• 20, saj 20 lahko pomnožimo s 5 in v imenovalcu dobimo 100 (20x5=100).
• 25, saj 25 lahko pomnožimo s 4 in v imenovalcu dobimo 100 (25x4=100).
• 50, saj 50 lahko pomnožimo z 2 in v imenovalcu dobimo 100 (50x2=100).
• 125, saj 125 lahko pomnožimo z 8 in v imenovalcu dobimo 1000 (125x8=1000).
• 200, saj 200 lahko pomnožimo s 5 in v imenovalcu dobimo 1000 (200x5=1000).
• 250, saj 250 lahko pomnožimo s 4 in v imenovalcu dobimo 1000 (250x4=1000).
• 500, saj 500 lahko pomnožimo z 2 in v imenovalcu dobimo 1000 (500x2=1000).
• ...

V število s končnim decimalnim zapisom pa ne moremo pretvoriti ulomkov, ki imajo v imenovalcu:

• 3, saj 3 ni delitelj nobene od potenc števila 10
• 6, saj 6 ni delitelj nobene od potenc števila 10
• 7, saj 7 ni delitelj nobene od potenc števila 10
• 9, saj 9 ni delitelj nobene od potenc števila 10
• ...

Pozor! če imenovalec množimo z nekim številom, moramo seveda z istim številom pomnožiti tudi števec, sicer bomo v godlji! :)

Sedaj, ko imamo desetiški ulomek (v imenovalcu je potenca števila 10), le še:

• preštejemo število ničel v imenovalcu ter
  
• zapišemo število iz števca desetiškega ulomka tako, da bo desno od decimalne vejice toliko mest, kolikor je ničel v imenovalcu ulomka. Pozor! če je mest premalo, pred številom zapišemo ničle (eno tudi levo od decimalne vejice!

Nekaj primerov:

• 3/1000 = 0,003
• 201/1000 = 0,201  
• 321/100 = 3,21 
  
• 1205 / 100 = 12,05
• 1010101 / 10000 = 101,0101

Saj poznate tiste naloge v stilu: "V koordinatnem sistemu nariši množico točk, ki ustreza zapisu..." In potem rišemo polne in črtkane črte, barvamo v neskončnost ali pa narišemo "sendvič"... :)

Da se boste s takimi nalogami lažje spopadli, naj vam predlagamo naslednji "kuharski recept".

1a. Preverimo, ali pogoj velja za x os ali za y os (če je pogoj dvojni, preskočimo na točko 1b.)
Tu bomo narisali eno vodoravno ali navpično črto.

• kadar je v pogoju x (na primer x>3), na x osi poiščemo ustrezno vrednost (v našem primeru x=3) in tam narišemo črto, ki je pravokotna na x os (pri "<" ali ">" črtkano, pri "≤", "≥" in "=" pa polno)
• kadar je v pogoju y (na primer y<2), na y osi poiščemo ustrezno vrednost (v našem primeru y=2) in tam narišemo črto, ki je pravokotna na y os (pri "<" ali ">" črtkano, pri "≤", "≥" in "=" pa polno)

​
1b. Preverimo, ali za x os ali za y os velja dvojni pogoj
Tu bomo narisali dve vodoravni črti, dve navpični črti ali eno vodoravno in eno navpično črto.

• kadar imamo za x dvojni pogoj (na primer 1<x<3), na x osi poiščemo ustrezni vrednosti (v našem primeru x=1 in x=3) in tam narišemo črti, ki sta pravokotni na x os (pri "<" ali ">" črtkano, pri "≤", "≥" in "=" pa polno)
• kadar imamo za y dvojni pogoj (na primer 2<y<4), na y osi poiščemo ustrezni vrednosti (v našem primeru y=2 in y=4) in tam narišemo črti, ki sta pravokotni na y os (pri "<" ali ">" črtkano, pri "≤", "≥" in "=" pa polno)
• kadar sta v pogoju tako x kot y (na primer x>3 in y<2 ), tako na x osi kot na y osi poiščemo ustrezni vrednosti (v našem primeru x=3 in y=2) ter tam narišemo črti, ki sta pravokotni na x oz. y os (pri "<" ali ">" črtkano, pri "≤", "≥" in "=" pa polno)

2a. Preverimo, za kakšen pogoj gre [>, <, ≥, ≤ ali =] (pri pogoju za x in y preskočimo na točko 2b):
Tu barvamo levo/desno oziroma gor/dol od črte iz točke 1. Pri pogoju "=" ne barvamo ničesar. Če sta pogoja za x oziroma y dva, barvamo področje med črtama ali pa področje od črt navzven.

• Najlažje je, če je v pogoju samo enakost, saj nam v tem primeru ni potrebno narediti nič več :)
• če je v pogoju ">" ali "≥" za x barvamo desno, za y pa navzgor od črte, ki smo jo narisali v prejšnjem koraku (tako kot bi namazali nekaj na kruh :))
• če je v pogoju "<" ali "≤" za x barvamo levo, za y pa navzdol od črte, ki smo jo narisali v prejšnjem koraku (tako kot bi namazali nekaj na kruh :))
• če imamo zvezni dvojni pogoj (na primer 1<x<3 ali 2<y<4 oziroma "kljunčka" v isto smer), pobarvamo neke vrste "sendvič"; ta je pri pogoju za x "ležeč", pri pogoju za y pa "stoječ" :)
  
• če imamo nezvezni dvojni pogoj (na primer x<1 in x>3 ali y<2 in y>4 oziroma "kljunčka" v različnih smereh), področji izven črt - t.i. "inverzni sendvič"; ta je pri pogoju za x "ležeč", pri pogoju za y pa "stoječ" :)
  
  

2b. Preverimo, za kakšen pogoj gre [>, <, ≥, ≤ ali =], obenem pa preverimo še logični operator ("in" oziroma "ali")
Tu barvamo levo/desno oziroma gor/dol od črt iz točke 1b (razen pri pogoju "=", kjer ne barvamo). Obarvani področji se prekrivata, kot rešitev pa velja naslednje:

• pri logičem operatorju "in" za rezultat velja tisti del, ki je dvakrat pobarvan ("in" pomeni presek)
• pri logičem operatorju "ali" za rezultat velja tisti del, ki je vsaj enkrat pobarvan ("ali" pomeni unijo)

Legenda:

Primeri slik za enojni pogoj za x (​≤, <, =, >, ≥):