najmanjši skupni imenovalec - kako ga najlažje najti?

Pri seštevanju in odštevanju ulomkov je potrebno najti najmanjši skupni imenovalec (pri množenju in deljenju tega ne počnemo!)

Teoretični način 1 - metoda iskanja najmanjšega skupnega večkratnika

Ste vedeli, da je iskanje najmanjšega skupnega imenovalca v bistvu iskanje najmanjšega skupnega večkratnika? Dejansko vidimo, da je metoda za nekaj uporabna :)

Primer 1: Poiščimo skupni imenovalec ulomkov 1/30, 1/10 in 1/20.

Najprej zapišimo vse tri imenovalce kot zmnožek praštevil (2, 3, 5, 7, 11,...):

• 30=2*3*5

• 10=2*5
• 20=2*2*5

Sedaj pa iz zgornjih vrstic "poberimo" praštevila, ki jih bomo uporabili v končnem izračunu. Pozor! Vsako nastopajoče praštevilo vzamemo le enkrat, razen če se le-to znotraj ene vrstice ponovi! V našem primeru se v zadnji vrstici ponovi 2, zato jo vzamemo dvakrat:

• 2*2*3*5

Ugotovimo, da je skupni imenovalec ulomkov 1/30, 1/10 in 1/20 enak

• 2*2*3*5 = 60

Primer 2: Poiščimo skupni imenovalec ulomkov 1/3, 1/4 in 1/6.

Razstavljeni imenovalci so:

• 3=3
• 4=2*2
• 6=2*3

Dvojka se v drugi vrstici ponovi, zato jo vzamemo dvakrat, trojko pa enkrat:

• 2*2*3 = 12

Teoretični način 2 - metoda dopolnjevanja imenovalca do najmanjšega skupnega imenovalca

Ta metoda je najprimernejša za razumevanje bistva najmanjšega skupnega imenovalca.

Primer 1: Poiščimo skupni imenovalec ulomkov 5/30, 1/10 in 3/20.

Najprej zapišimo vse tri imenovalce kot zmnožek praštevil (2, 3, 5, 7, 11,...):

• 30=2*3*5

• 10=2*5
• 20=2*2*5

Sedaj pa dopolnimo imenovalce z manjkajočimi faktorji - praštevili (množenje!) tako, da bodo vsi enaki:

• Prvi ulomek: 2*3*5 dodamo še eno 2, saj ima zadnji ulomek v imenovalcu 2*2

• Drugi ulomek: 2*5 dodamo 2 in 3
• Tretji ulomek: 2*2*5 dodamo 3​

Pozor! Vsako število, ki ga dodamo v imenovalec, moramo dodati tudi v števec! In ne pozabimo, med števili je znak za množenje!

Sedaj imamo povsod v imenovalcu 2*2*3*5, kar pomeni, da smo našli najmanjši skupni imenovalec, to je 60.

Račun z ulomki izgleda takole:

Primer 2: Poiščimo skupni imenovalec ulomkov 1/8, 3/10 in 5/15.

Zapišimo vse tri imenovalce kot zmnožek praštevil (2, 3, 5, 7, 11,...):

• 8=2*2*2

• 10=2*5
• 15=3*5

Dopolnimo imenovalce z manjkajočimi faktorji - praštevili tako, da bodo vsi enaki:

• Prvi ulomek: 2*2*2 dodamo 3 in 5, saj ju imata drugi in tretji ulomek v imenovalcu

• Drugi ulomek: 2*5 dodamo 2*2, saj ima prvi ulomek v imenovalcu 2*2*2, ter 3, ki jo ima v imenovalcu tretji ulomek
• Tretji ulomek: 3*5 dodamo 2*2*2, ki jih ima v imenovalcu prvi ulomek

Sedaj imamo povsod v imenovalcu 2*2*2*3*5, kar pomeni, da smo našli najmanjši skupni imenovalec, to je 120.

Račun z ulomki izgleda takole:

Primer 3: Poiščimo skupni imenovalec ulomkov 1/3, 3/4 in 5/6.

Zapišimo vse tri imenovalce kot zmnožek praštevil (2, 3, 5, 7, 11,...):

• 3=3

• 4=2*2
• 6=2*3

Dopolnimo imenovalce z manjkajočimi faktorji - praštevili tako, da bodo vsi enaki:

• Prvi ulomek: 3 dodamo 2*2, saj  ju ima v imenovalcu drugi ulomek 

• Drugi ulomek: 2*2 dodamo 3, saj ju imata v imenovalcu prvi in tretji ulomek
• Tretji ulomek: 2*3 dodamo še eno 2, saj ima drugi ulomek v imenovalcu 2*2​

Sedaj imamo povsod v imenovalcu 2*2*3, kar pomeni, da smo našli najmanjši skupni imenovalec, to je 12.

Račun z ulomki izgleda takole:

Metoda je primerna tudi za računanje z izrazi: 

Primer 4: Izračunajmo naslednji račun.

Če imenovalec tretjega ulomka zapišemo kot zmnožek dveh dvočlenikov, imamo situacijo zelo podobno situaciji v prvih treh primerih, le da tu namesto številk množimo dvočlenike v oklepajih. Lahko bi npr. množili tudi spremenljivke (črke: a,b,x,y,...).

Imenovalca tretjega ulomka torej ne bomo zapisali kot zmnožek praštevil, ampak kot zmnožek dvočlenikov v oklepajih. Za dobro voljo: v tovrstnih matematičnih nalogah sta dvočlenika, ki ju dobimo z razstavljanjem enega od imenovalcev, ravno dvočlenika iz imenovalcev preostalih dveh ulomkov, tako da je taka naloga dokaj lahko rešljiva ;) No, tako je tudi v našem primeru:

Dopolnimo imenovalce z manjkajočimi faktorji (dvočleniki v oklepajih) tako, da bodo vsi enaki:

• Prvi ulomek: (x+2) dodamo (x-3), saj  jo ima v imenovalcu tretji ulomek 

• Drugi ulomek: (x-3) dodamo (x+2), saj  jo ima v imenovalcu tretji ulomek 
• Tretji ulomek: (x+2)(x-3) ni potrebno dodajati ničesar, saj vsebuje že vse iz prvega in drugega ulomka

Sedaj imamo povsod v imenovalcu (x+2)(x-3), kar pomeni, da smo našli najmanjši skupni imenovalec, to je (x+2)(x-3).

​Račun z ulomki izgleda takole:

Način s poskušanjem 1: množenje in postopno deljenje

Načina s poskušanjem sta primerna za tiste, ki zadevo že nekoliko bolje obvladate :)

Primer 1: Poiščimo skupni imenovalec ulomkov 1/3, 1/4 in 1/6.

vse imenovalce zmnožimo med seboj:

• 3*4*6=72

72 je vsekakor skupni imenovalec 3, 4 in 6, ne vemo pa še, če je to najmanjši skupni imenovalec. Če se nam ne ljubi posameznih imenovalcev razstavljati na praštevila, lahko poskusimo s poskušanjem :)
72 delimo z različnimi praštevili (začnemo z 2 in 3, mogoče 5) in sproti preverjamo, če je še vedno skupni imenovalec vseh 3 števil v imenovalcih:

• 72:2=36...to je še OK- nadaljujemo deljenje z 2:
• 36:2=18...to ni več OK, saj 18 ni deljivo s 4 - poskusimo deliti z naslednjim praštevilom, to je 3:
• 36:3=12...to je še OK- delimo zopet z 2:
• 12:2=6...to ni več OK, saj 6 ni deljivo s 4 - poskusimo deliti z naslednjim praštevilom, to je 3:
• 12:3=4...tudi to ni več OK, saj je 4 manjša od največje nastopajoče številke v imenovalcu (6).

S poskušanjem smo ugotovili, da je najmanjši skupni imenovalec ulomkov 1/3, 1/4 in 1/6 število 12.

Metoda z deljenjem je primernejša za manjše vrednosti imenovalcev, če so pa te večje, pa uporabimo lahko naslednjo:

Način s poskušanjem 2: postopno množenje

Primer 1: Poiščimo skupni imenovalec ulomkov 1/3, 1/4 in 1/6.

Poiščimo največji imenovalec (v našem primeru je to 6) in preverimo, če je mogoče deljiv z ostalimi imenovalci (v našem primeru sta to 3 in 4). Če je deljiv, je to že kar največji skupni imenovalec. Če ni deljiv, ga postopoma množimo z različnimi praštevili (začnemo z 2 in 3, mogoče 5) in sproti preverjamo, če je novo število deljivo z vsemi imenovalci. Kot ste opazili, je tudi to metoda s poskušanjem :)

• 6*2=12...OK - 12 je deljiva tako z 2 kot s 3
  
  

S poskušanjem smo ugotovili, da je najmanjši skupni imenovalec ulomkov 1/3, 1/4 in 1/6 število 12.

Tole je bilo pa skorajda prelahko :)

Primer 2: Poiščimo skupni imenovalec ulomkov 1/8, 1/10 in 1/15.

Najprej preverimo, če je največji imenovalec (v našem primeru je to 15) deljiv z 8 in 10. Ker ni deljiv, ga moramo množiti s praštevili:

• 15*2=30...ni OK, saj 30 ni deljiva z 8 (je pa deljiva s 15, tako da je bila 2 dobra izbira)
• 30*2=60...ni OK, saj 60 ni deljiva z 8 (je pa deljiva s 15, tako da je bila tudi ta 2 dobra izbira)
• 60*2=120...OK - 120 je deljiva tako z 8 kot s 15

Primer 3: Poiščimo skupni imenovalec ulomkov 1/2, 1/3 in 1/6.

Tu je največji izmed imenovalcev že kar največji skupni imenovalec. V tem primeru nam ga ni potrebno množiti s praštevili:

Največji skupni imenovalec ulomkov 1/2, 1/3 in 1/6 je 6, saj je 6 deljiva tako z 2 kot s 3.