Nekateri računske izraze rešujejo po intuiciji, za druge je to početje pravi mini projekt in se nanj zares dobro pripravijo, ostali pa so ... nekje vmes :)
Mi vam predstavljamo še eno izmed metod - reševanje aritmetičnih izrazov s pomočjo algoritma. Tisti, ki ste algoritme srečali pri pouku računalništva, se verjetno sprašujete, kakšno povezavo imajo z matematičnimi izrazi. Kar precejšnjo. Wikipedija pravi, da so algoritmi navodila za reševanje problemov. Ta navodila so večinoma zapisana za računalnik (v obliki računalniškega programa), lahko pa jih zapišemo tudi v "ljudem prijazni obliki". Taka navodila smo pripravili tudi za vas. Ko nekomu razlagamo, kako naj se nečesa loti, ga spremljamo pri njegovem delu in ga ob dilemah usmerjamo na pravo pot. To lahko počne učitelj(ica), inštruktor(ica), starši, ... Pomoč pa ni vedno na voljo, zato si nemalokrat pomagamo kar sami. In algoritem je v takem primeru kar koristen pripomoček. Naj na kratko razložimo naš algoritem:
* rumeno pravilo seštevanja in odštevanja ter oranžno pravilo množenja in deljenja smo definirali zato, da se v algoritmu ne ukvarjamo preveč z osnovami računanja, ampak lahko takoj preidemo na bistvo problema. Preko priloženih povezav pa seveda lahko kadarkoli ponovimo tudi osnove, če so nam slučajno "ušle iz glave" ;)
0 Comments
V računskih izrazih poznamo dve osnovni postavitvi oklepajev:
Zaporedna oklepaja lahko razrešujemo istočasno (v isti vrstici izraza), medtem ko pri vgnezdenih oklepajih začnemo z reševanjem v notranjosti, nakar se pomikamo navzven. Primera z zaporednimi oklepaji:
Primera z vgnezdenimi oklepaji:
Za razliko od "rumenega" in "oranžnega" pravila zeleno pravilo uporabljamo samo pri računanju izrazov v algebri (črke in številke) in sicer pri poenostavljanju končnega izraza ("kače" členov, ki nam ostane potem, ko smo že razrešili oklepaje ter vse potrebno potencirali, korenili, zmnožili in delili) Pri rumenem pravilu seštevanja in odštevanja smo omenili, da v algebri podobne člene seštevamo / odštevamo ločeno ("hrušk in jabolk" seveda ne moremo seštevati :) ). Zeleno pravilo se glasi:
Pomni! Podobni členi so tisti členi, ki imajo različne številske faktorje in enake spremenljivke (na primer 4bc in -3bc). Enaki členi pa imajo enake tako številske faktorje kot tudi spremenljivke. Če odštejemo enaka člena, dobimo 0. Primer končne "kače" členov; členi so obkroženi z oranžno barvo in nato grupirani po zelenem pravilu. Znotraj vsake "zelene" skupine je uporabljeno rumeno pravilo; ravna črta so a-ji, vijugasta b-ji, poševno črtkana črta pa predstavlja številske člene.
Rumeno pravilo" seštevanja in odštevanja že poznamo, za naziv "mojster reševanja matematičnih izrazov" pa moramo spoznati še t.i. oranžno pravilo množenja in deljenja. Kot vemo, so seštevanje, odštevanje, množenje in deljenje osnovne matematične operacije. Vemo tudi, da imata množenje in deljenje v računskih izrazih prednost pred seštevanjem in odštevanjem. "Oranžno pravilo" bo imelo torej prednost pred "rumenim". Pravilo množenja in deljenja uporabimo pri:
Za množenje oziroma deljenje dveh členov se pravilo glasi:
Oglejmo si ga še v grafični obliki (več o pomenu krožcev si lahko ogledate v članku o računanju s simboli): Pomni! Situacijo, ko je pred oklepajem samo minus, upoštevamo kot množenje (-1) s členi v oklepaju, torej se vsem členom v oklepaju zamenja predznak! V primeru več členov pa pravilo lahko posplošimo:
Pomni! Potenciranje števila upoštevamo kot množenje števila s samim seboj (tolikokrat, kolikor je vrednost eksponenta); v primeru potenciranja negativnega števila (minus je znotraj oklepaja, na primer (-5)²) je zato končni predznak odvisen od tega, ali je eksponent liho ali sodo število! Potenciranje posameznega števila vedno izvedemo pred množenjem z ostalimi faktorji znotraj posameznega člena! V izrazu 3⋅(-3)² recimo najprej izračunamo (-3)²=9 in nato šele 3⋅9=27. V istem koraku kot potenciranje izvedemo tudi korenjenje, a zanj oranžnega pravila ne uporabljamo. Ideja: Člen, znotraj katerega bomo uporabili oranžno pravilo, lahko obkrožimo z oranžno in ga pobarvamo. Po uporabi oranžnega pravila nastanejo novi členi, katere le obkrožimo z oranžno barvo. Z oranžno barvo lahko obkrožimo tudi ostale člene, kjer oranžnega pravila ni potrebno uporabiti. Tako dobimo pregleden "zemljevid" členov, ki jih bomo potrebovali za končen izračun po rumenem (aritmetika - samo številke) oziroma zelenem in rumenem (algebra - številke in črke) pravilu. Primer uporabe oranžnega pravila v aritmetičnem izrazu Primer uporabe oranžnega pravila v algebrskem izrazu
"Kakšno pravilo pa je že spet to?" boste nemara pripomnili. Brez panike, to pravilo ni le še ena kaplja v morju pravil, med katerimi se ne znajdete več. Da bi vam olajšali pot iz matematične zagate, smo za vas pripravili nekaj temeljnih pravil za računanje. In jih poimenovali kar po barvah, česar boste veseli predvsem "vizualni tipi". Vsako izmed pravil bomo predstavili posebej, potem pa se bomo nanje po potrebi sklicevali. Videli boste, da teh pravil niti ni toliko, kot si mislimo. Vsaj ne osnovnih. Kar nakazuje, da matematika res ni tako težka, kot se zdi na prvi pogled :) Začnimo z najosnovnejšim pravilom računanja, pravilom o seštevanju in odštevanju. Pravilo seštevanja in odštevanja uporabimo pri:
Pravilo se glasi:
Pri računanju si lahko pomagamo tudi s tabelo. Pozor! V algebri (številke in črke) podobne člene seštevamo / odštevamo ločeno, saj "hrušk in jabolk" seveda ne moremo seštevati :). Ideja (aritmetika - samo številke): Števila, na katerih bomo uporabili rumeno pravilo, lahko obkrožimo z rumeno in jih pobarvamo. Primeri uporabe rumenega pravila v aritmetičnem računskem izrazu Ideja (algebra - številke in črke): Na koncu računa, ko imamo le še "kačo" členov, vsak člen obkrožimo z oranžno barvo, pod členi pa z zeleno barvo označimo posamezne podobne člene (ravna črta, vijugasta črta, poševno črtkana črta, ...) Tako dobimo pregleden "zemljevid" podobnih členov, ki nam bo olajšal končen izračun po rumenem pravilu z upoštevanjem grupiranja podobnih členov (zeleno pravilo). Primer končne "kače" členov; členi so obkroženi z oranžno barvo in nato grupirani po zelenem pravilu. Znotraj vsake "zelene" skupine je uporabljeno rumeno pravilo; ravna črta so a-ji, vijugasta b-ji, poševno črtkana črta pa predstavlja številske člene.
Načeloma račune z oklepaji štejemo med težje račune. A brez panike, oklepaji niso nič strašnega. Tu so zato, da nam pomagajo.
Razdelimo jih lahko v dve skupini:
Prvi določajo vrstni red računskih operacij v izrazu (oklepaje razrešujemo najprej, nato sledita množenje in deljenje, na koncu pa seštevanje in odštevanje). Primer 1:
Oklepaji v drugi skupini pa preprečujejo zaporeden zapis matematičnih operacij in so nekakšna "zaščita" negativnih členov. Primer 2:
Pogosto se zgodi, da se v računskem izrazu ena vrsta oklepaja preoblikuje v drugo. Primer 3:
Tako oklepaj iz prve kot tudi iz druge skupine se lahko pojavi v kombinaciji z eksponentom. V takih primerih moramo biti še posebej pazljivi, saj:
Primer 4:
Primer 5:
Pomembno! Za razliko od eksponenta pri korenu uporaba dodatnega oklepaja ni potrebna - koren se upošteva vedno za celoten izraz, ki se "skriva pod njim"! V aritmetiki (samo številke) matematični izraz v oklepaju iz prve skupine običajno izračunamo, medtem ko ga v algebri (številke + črke) ne moremo (hrušk in jabolk pač ne moreš enostavno sešteti ;)), zato v okviru algebre srečamo tudi različne kombinacije oklepajev iz prve in/ali druge skupine. Sem spada:
Primer 6:
Znak za računsko operacijo oziroma predznak "pripada" vedno tistemu, ki je na njegovi desni strani26/12/2017 Seštevanje in odštevanje (oziroma predznak + in -)
Marsikaterega učenca pri učenju računanja z izrazi zmede takle primer: 5+6-3+2-7+4 "Kje moram sedaj upoštevati minus med 6 in 3? Na levi ali na desni strani?" Veliko lažje nam je, če si zgornji primer predstavljamo takole: 5+6-3+2-7+4 Vsak par računske operacije in števila, ki mu sledi, smo obarvali z enako barvo. Sedaj točno vemo, da minus med 6 in 3 pripada številu na desni strani, torej trojki. "Katera računska operacija pa pripada petici na začetku računa?" Na začetku računa ni nobene računske operacije, ima pa zato prvo število predznak (predpostavimo, da smo v množici celih števil). Predznak petice je "+", zato ga ne zapisujemo (pred števili zapisujemo le predznak "-") Predznak celega števila pa si lahko predstavljamo tudi kot računsko operacijo seštevanja:
Glede na to lahko naš račun zapišemo kot: 0+5+6-3+2-7+4 Tudi ničle na začetku računa nima smisla zapisovati, tako da je končni izgled našega računa naslednji: +5+6-3+2-7+4 V enem izmed naših prejšnjih zapisov smo omenili, da je odštevanje enako prištevanju nasprotne vrednosti oziroma vrednosti z zamenjanim predznakom ("+" v "-" in obratno). Če si predstavljamo vse enako obarvane pare v zgornjem računu kot seštevanje števil z različnimi predznaki, lahko enostavno seštejemo vsa pozitivna (5+6+2+4 = 17) in negativna (3+7 = 10) števila ter ju odštejemo med seboj, "zmaga" pa predznak "večje skupine", v našem primeru "+", saj je 17 več od 10. Množenje in deljenje Oglejmo si še en primer: 20:5⋅3 "Moram najprej deliti s 5 in nato množiti s 3?" "Moram deliti tako s 5 kot s 3?" Obarvajmo račun enako kot v prejšnjem primeru: 20:5⋅3 Sedaj vidimo, da s 5 delimo, s 3 pa množimo. Ker sta množenje in deljenje enakovredni računski operaciji, vrstni red pri tem ni pomemben. Kaj pa storimo z 20? Ker vemo, da množenje števila z 1 ne spremeni vrednosti le-tega, lahko zapišemo: (20⋅1):5⋅3 Po zakonu o zamenjavi velja tudi: (1⋅20):5⋅3 Ker so vse operacije v računu enakovredne, lahko oklepaj odstranimo: 1⋅20:5⋅3 Sedaj vidimo, da tudi z 20 množimo. Enica na začetku pa naj nas ne moti, saj ne glede na to, ali z njo množimo ali delimo, ne spremeni vrednosti člena (podobno kot prištevanje ali odštevanje ničle nekemu členu ne spremeni vrednosti izraza - glej prvi del tega zapisa). V enem izmed naših prejšnjih zapisov smo omenili, da je deljenje enako množenju z obratno vrednostjo. Če si predstavljamo vse enako obarvane pare v zgornjem računu kot množenje števil ter njihovih obratnih vrednosti, lahko enostavno zmnožimo vsa števila, ki imajo pred seboj znak množenja (20⋅3=60) ter števila, ki imajo med seboj znak deljenja (5) števila ter jih postavimo na ulomek (ulomek je enak deljenju). 60 postavimo v števec in 5 v imenovalec. Ko ulomek okrajšamo, dobimo 12. To pa je tudi rešitev našega računa. Zakon o zamenjavi (komutativnostni zakon) Zakon o zamenjavi velja le za seštevanje in množenje, za odštevanje in deljenje pa ne. Na primer:
Če odštevanje obravnavamo kot prištevanje nasprotne vrednosti odštevanca, si račun 6-3 lahko predstavljamo kot seštevanje števil +6 in -3. Ta vrstni red pa lahko zamenjamo, tako da velja:
In če na podoben način deljenje obravnavamo kot množenje z obratno vrednostjo delitelja, lahko zapišemo:
Z Evklidovim algoritmom računamo največji skupni delitelj dveh naravnih števil. No ja...to lahko storimo tudi zelo preprosto - naredimo ulomek (eno število postavimo v števec, drugo v imenovalec) in ga okrajšamo. Naredimo primer za števili 180 in 210. Ko števili okrajšamo, dobimo ulomek šest sedmin: Če ulomek želimo razširiti nazaj, moramo števec in imenovalec pomnožiti z vsemi števili, s katerimi smo ga prej krajšali. V našem primeru so to števila 2, 3 in 5, njihov zmnožek pa je 30: S tem ugotovimo, da je 30 največji skupni delitelj števil 180 in 210.
Sedaj pa isti primer izračunajmo po Evklidovem algoritmu: 210 = 180 • 1 + 30 180 = 30 • 6 + 0 Za vse tiste, ki Evklidovega algoritma (še) ne poznate ali pa ste ga pozabili:
Sedaj pa se malo "poigrajmo" z zgornjim izračunom. Drugo vrstico iz zgornjega zapisa vstavimo v prvo (+0 ne pišemo): 210 = (30 • 6) • 1 + 30 180 = 30 • 6 + 0 Po ureditvi dobimo: 210 = 30 • 6 + 30 180 = 30 • 6 V obeh vrsticah izpostavimo, kar se da izpostaviti, v spodnjem računu pa tako ali tako nimamo kaj izpostavljati: 210 = 30 • (6 + 1) = 30 • 7 180 = 30 • 6 V obeh vrsticah smo izpostavili največji skupni delitelj števil 180 in 210, ki je 30. To pa je isto število, s katerim bi krajšali ulomek 180/210 (glej prvi primer). Naredimo še en primer, tokrat z nekoliko daljšim postopkom Evklidovega algoritma. Poiščimo največji skupni delitelj števil 80 in 36. 80 = 36 • 2 + 8 36 = 8 • 4 + 4 8 = 4 • 2 + 0 Zadnjo vrstico iz zgornjega zapisa vstavimo v prvo in drugo vrstico, drugo vrstico pa v prvo (+0 ne pišemo): 80 = (8 • 4 + 4) • 2 + 4 • 2 36 = (4 • 2) • 4 + 4 Po ureditvi dobimo: 80 = 8 • 4 • 2 + 4 • 2 + 4 • 2 36 = 2 • 4 • 4 + 4 V obeh vrsticah izpostavimo, kar se da izpostaviti: 80 = 4 • (2 • 8 + 2 + 2) = 4 • 20 36 = 4 • (2 • 4 +1) = 4 • 9 V obeh vrsticah smo izpostavili 4, ki je največji skupni delitelj števil 80 in 36. To pa je isto število, s katerim bi krajšali ulomek 80/36. Kaj pa če bi uporabili kar obe varianti, malo Evklidovega algoritma in malo krajšanja ulomkov? Števili zapišimo v števec in imenovalec ulomka tako, da bo njegova vrednost večja od ena, nato pa zapis pretvorimo v celi del + ulomek. Nazadnje ulomek okrajšajmo. V prvem primeru bi račun izgledal takole: 210/180 = 1 cela in 30/180 🡺 ker ulomek lahko okrajšamo s 30 (180 = 6•30), je 30 največji skupni delitelj števil 180 in 210. V drugem primeru pa: 80/36 = 2 celi in 8/36 🡺 ker ulomek lahko okrajšamo s 4 (8 = 2•4, 36 = 4•9), je 4 največji skupni delitelj števil 36 in 80. Zaključek: Evklidov algoritem je lahko zabavna igra s številkami, ki pa je v življenju ne potrebujemo prav pogosto (niti pri matematiki :)), zato gre kaj hitro v pozabo, medtem ko je krajšanje ulomkov vedno "na tapeti" - vsaj pri matematiki :) - in ga zlepa ne pozabimo. Odgovor je popolnoma preprost: Najmanjši skupni večkratnik (v) si lahko predstavljamo je najnižjo točko stalaktita (ta visi s stropa jame), največji skupni delitelj (D) pa kot najvišjo točko stalagmita (ta pa raste s tal navzgor). Zakaj? Zato, ker je najmanjši skupni večkratnik (kljub temu, da je najmanjši) še vedno večji od največjega skupnega delitelja. Je pa še vedno najmanjši skupni večkratnik manjši od ostalih skupnih večkratnikov, največji skupni delitelj pa večji od ostalih skupnih deliteljev. To se lepo vidi na sliki s primerom: Ob primeru pa še nekaj nasvetov:
Enačba za kvadrat dvočlenika se glasi: (a+b)² = a² + 2ab + b² oziroma (a-b)² = a² - ab + b² oziroma (-a+b)² = a² - ab + b² oziroma (-a-b)² = a² + 2ab + b² Zmeda, kajne? Pa si zadevo poenostavimo in si enačbo predstavljajmo v grafični obliki. Naredimo primer za (a+3)²: Pri razumevanju zgornje slike si pomagamo tako, da si predstavljamo ploščino kvadrata, katerega stranici sta dolgi (a+3). Če seštejemo vsa polja v kvadratu, dobimo:
a²+ 3a + 3a + 3² oziroma a²+ 2(3a) + 3² Kje stoji predznak minus, pa si zapomnimo takole:
|
ARHIV
December 2023
KATEGORIJE
All
|