Deljenje. Za nekoga "u izi, navadn", za drugega nočna mora. Najlažje je, če si ga predstavljamo "v živo". Ko ga enkrat dojamemo, je res povsem "simpl" :) Prva težava se ponavadi pojavi že pri samih izrazih. Zakaj neki deljenec, delitelj in količnik? Imajo mogoče koliščarji kaj tu zraven?? Vam je zdaj kaj bolj jasno? Vidite, da koliščarjev res ni bilo zraven :) Ostanimo še nekoliko pri enakih delih. Veste, da si z deljenjem lahko pomagamo pri delitvi pravokotnika na enake dele? Če smo povsem iskreni, gredo tu zasluge bolj množenju, obratni operaciji deljenja. Aja, pa ulomek je isto kot deljenje, če ste slučajno pozabili ;) Za lažjo predstavo si oglejte še našo igro "Matematični osvajalci".
0 Comments
No, pa razložimo tole zgodbico lepo in počasi :)
Enkrat je bila ena premica. Ime je dobila po tem, ker je bila revica vsa prema (po SSKJ: prema = ravna). Bila je svobodna. Segala je v eno in drugo smer v neskončnost. Potem pa je prišla od neznano kje ena točka in se je usedla nanjo, tako grdo, da jo je kar razpolovila. Na njenem mestu sta nastala dva poltraka, a nobeden od njiju ni bil povsem svoboden. V neskončnost sta se raztezala le v eno smer, medtem ko ju je na drugi strani omejevala - kdo drug kot grozna točka. Naša premica je pa imela sorodnico, ki se ji je pripetila nekoliko drugačna prigoda. Točke so imele prvenstvo v padalskih skokih. Med tekmovalkami sta bili tudi točka A in točka B. Sicer sta želeli pristati na isto mesto, a jima ni uspelo, tako da je bila med njima kar precejšnja razdalja. Omenjeno situacijo je slikal fotograf, ki je bil slučajno matematik in je sklenil, da bo del premice med točkama A in B poimenoval kar daljica. In še danes je tako. Ulomkov marsikdo ne mara, delno tudi zato, ker jih v izrazih ne moremo preprosto seštevati in odštevati, ampak jih moramo prej vedno razširiti na najmanjši skupni imenovalec: Nekoliko raje jih imamo v enačbah. Tu nam ulomkov ni potrebno razširjati na najmanjši skupni imenovalec, ampak z njim preprosto pomnožimo obe strani enačbe. Najboljše pri vsem tem je pa to, da gredo na ta način ulomki pa pa 😉
Linearna enačba ima običajno eno rešitev, ni pa vedno tako. Lahko se tudi zgodi, da enačba nima rešitve ali pa da je rešitev neskončno. Kako vemo, da enačba nima rešitve? Vemo, da kakršno koli množenje z 0 pomeni rezultat 0. Če pri računanju naletimo na zmnožek neznanke in števila 0, katerega rezultat ni enak 0 (na primer x • 0 = 5 ali pa recimo 0 • x = 8), je očitno, da "tu nekaj ne štima". Res je, večkratnik števila 0 mora biti vedno 0, sicer rešitev ne obstaja. Kako pa vemo, da je rešitev neskončno? Že prej smo povedali, da kakršno koli množenje z 0 pomeni rezultat 0. Če pri računanju naletimo na zmnožek neznanke in števila 0, katerega rezultat je enak 0, pa ni nič narobe. Večkratnik števila 0 je vedno 0, ne glede na to, koliko je x oziroma s katerim številom množimo 0. Zato je x lahko katero koli število, torej je rešitev karkoli oziroma ima enačba neskončno rešitev.
Pri množenju z 10 se decimalna vejica premakne za eno mesto v desno, pri deljenju z 10 pa za eno mesto v levo.
Kako si to najlažje zapomnimo? Preprosto. Premik decimalne vejice v desno pomeni povečanje vrednosti števila, saj ima celi del le-tega več števk, premik decimalne vejice v levo pa zmanjšanje vrednosti števila, saj ima celi del le-tega manj števk. Ker množenje s številom, večjim od 1 pomeni povečanje vrednosti, deljenje pa zmanjšanje le-te, je zadeva dokaj logična :) V matematiki se velikokrat zgodi, da nekaj dejansko je tam, a tega ne vidimo ... in - papa točka ali dve pri kontrolki :( Matematika je sinonim za urejenost, zato mora pri zapisih vse "lepo izgledati", brez "odvečne krame" in med to "kramo" spada tudi nekaj predznakov in znakov za računske operacije. Lahko pa si zadevo predstavljamo tudi drugače, zamislimo si, da so matematiki le leni in se jim teh znakov enostavno ne da pisati :) Oglejmo si nekaj najznačilnejših primerov. Znak za množenje med spremenljivkami kljub temu, da znaka za množenje med spremenljivkami (črkami v računih) ne pišemo, moramo vedeti, da je tam. A pozor: Znak za množenje med številkami je nujen! Predznak + pred prvim členom v računskem izrazu Če pred prvim členom v računskem izrazu ni predznaka, to pomeni, da je le-ta pozitiven. A pozor! Če je prvi člen negativen, moramo predznak nujno zapisati! Katerega izmed faktorjev je potrebno postaviti nad in katerega pod ulomkovo črto? Vsi številski faktorji znotraj posameznega člena imajo levo od sebe znak za množenje ali deljenje. Glede na to tudi vemo, kam jih postavimo, če člen želimo zapisati v obliki ulomka. Množenje vodi v "zgornje nadstropje" (števec), deljenje pa v "spodnje nadstropje" (imenovalec ulomka) :) Posebnost pa je faktor na skrajni levi. Tega vedno zapišemo v števec ulomka. Zakaj? Oglejmo si primer na spodnji sliki. Levo od prvega številskega faktorja si predstavljajmo še en faktor - enico, s katero pomnožimo celoten člen (vrednost člena se pri tem seveda ne spremeni, saj množenje z 1 ne spremeni rezultata). Trojka tako predse dobi znak za množenje, kar jo "pelje" v števec ulomka. Enice pa v ulomku tako ali tako ni potrebno pisati (razen če bi bila edina v števcu ali imenovalcu). Pozor! Če je pred številskim faktorjem na skrajni levi slučajno predznak + ali -, ta ne vpliva na zgoraj povedano, saj se nanaša na celoten člen. Preprosto ga prepišemo pred ulomek. Kaj se nahaja med celim delom in ulomkom? Odvisno. Če gre za števila, je vmes plus. Če pa imamo spremenljivke (črke), je vmes krat. Ničle na skrajni levi in skrajni desni strani decimalnega zapisa Ničel levo od prve števke celega dela števila in desno od zadnje neničelne decimalke (števke v decimalnem delu števila) ne pišemo: Decimalna vejica pri celem številu?
Celo število ne vsebuje decimalne vejice, je pa pri deljenju takega števila z večkratniki števila 10 dobro vedeti, "od kje pride". Vejica namreč "potrpežljivo čaka" na desni strani števke, ki v mestnovrednostnem konceptu predstavlja enico. Povezavo si oglejmo kar na primeru grafa racionalne funkcije, ki smo ga narisali tule. Ogledali si bomo štiri značilne primere. V prvem primeru je pogoj za neenačbo vrednost racionalne funkcije (strogo) večje od nič. Zakaj "strogo"? Zato, ker ničla ni dovoljena ampak velja samo tisto, kar je večje od nič. Pozor! Pogoj govori o vrednostih y, medtem ko rešitev neenačbe podajamo v vrednostih x! Rešitev neenačbe običajno podajamo v enem ali več intervalih. Ker pogoj zahteva vrednost funkcije, večjo od nič, se osredotočimo na pozitivna (rdeča) področja. Taki področji sta dve, zato bosta v rešitvi dva intervala. Na sliki sta označena z rdečimi črtami, ki imata na krajiščih puščici. Zakaj puščici? Puščici na intervalu označujeta, da krajišči intervala nista vključeni v rešitev. Če bi bilo kakšno krajišče intervala vključeno v rešitev, bi bila tam pika. Na splošno so na krajiščih puščice v naslednjih primerih:
Pozor! Kadar je pogoj za neenačbo "strog", se vam ni potrebno ukvarjati z zgoraj omenjenimi pravili, ampak si enostavno zapomnite, da nobeno krajišče nobenega intervala ni vključeno v rešitev, torej imajo vsi intervali povsod puščice! Zapišimo intervala še z oklepaji. Pri tem upoštevamo:
Pozor! Kadar je pogoj za neenačbo "strog", so vsi oklepaji okrogli! Med oklepaji je znak za unijo "∪". S tem znakom združimo intervale v eno rešitev. Ker se leva ničla v našem primeru nahaja na poziciji x=-3, desni pol pa na x=3, je v našem primeru rešitev naslednja: x ∈ (-∞,-3) ∪ (3,∞) V drugem značilnem primeru zapisa racionalne neenačbe je pogoj za neenačbo vrednost racionalne funkcije večje ali enako nič. Od "strogega" pogoja se razlikuje v tem, da je ničla tu dovoljena. Tu pa nas zanimajo pozitivna (rdeča) področja ter ničle (črne pike):
Ker sta rdeči področji dve, bosta v rešitvi dva intervala. Prva ničla (levo) je del prvega intervala (levo), zato je ni potrebno posebej navajati. Druga ničla (desno) pa je samostojna, zato jo je potrebno dodatno vključiti v rešitev neenačbe. Grafična rešitev racionalne neenačbe je prikazana na spodnji sliki. Zapišimo rešitev še z oklepaji. Ker se leva ničla v našem primeru nahaja na poziciji x=-3, desna ničla na poziciji x=1, desni pol pa na x=3, je rešitev naslednja: x ∈ (-∞,-3] ∪ {1} ∪ (3,∞) Pozor! Ker je rešitev v desni ničli le ena točka, je ne podamo kot interval, ampak kot zapis posameznega elementa množice rešitev - v zavitih oklepajih. V tretjem značilnem primeru zapisa racionalne neenačbe je pogoj za neenačbo vrednost racionalne funkcije manjše ali enako nič. Tudi tu je ničla dovoljena. Kaj nas zanima? Negativna (modra) področja in ničle (črne pike):
Ker so modra področja tri, bi bili v rešitvi načeloma trije intervali, a ker desna ničla združuje dva od njih, bosta v rešitvi le dva intervala. Ničla na skrajni levi pa je tudi del "modrega" intervala, tako da je ni potrebno navajati kot ločeno rešitev neenačbe. Grafična rešitev racionalne neenačbe je prikazana na spodnji sliki. Zapišimo rešitev še z oklepaji. Ker se leva ničla v našem primeru nahaja na poziciji x=-3, levi pol na x=-1, desni pol pa na x=3, je rešitev naslednja: x ∈ [-3,-1) ∪ (-1,3) V zadnjem primeru neenačbe je pogoj vrednost racionalne funkcije (strogo) manjše od nič. Tako kot v prvem "strogem" primeru tudi tu ničla ni dovoljena. Velja samo tisto, kar je manjše od nič.
Ker pogoj zahteva vrednost funkcije, manjšo od nič, se osredotočimo na negativna (modra) področja. Tako področje je sicer eno samo, a je s polom in ničlo (druge stopnje) razdeljeno na tri dele. Rešitev bodo torej trije intervali. Na sliki so označeni z modrimi črtami, ki imajo na krajiščih puščice, kar pomeni, da krajišča intervalov niso vključena v rešitev. To, da so na krajiščih intervalov puščice in kdaj pike, smo že povedali, sedaj poudarimo samo naslednje: Pozor! Kadar je pogoj za neenačbo "strog", si enostavno zapomnite, da nobeno krajišče nobenega intervala ni vključeno v rešitev, torej imajo vsi intervali povsod puščice! Zapišimo intervale še z oklepaji. Ker imajo vsi intervali na krajiščih puščice, bodo vsi oklepaji okrogli. Še enkrat ponovimo naslednje splošno pravilo: Pozor! Kadar je pogoj za neenačbo "strog", so vsi oklepaji okrogli! Ker se leva ničla v našem primeru nahaja na poziciji x=-3, levi pol na x=-1, desna ničla pa na x=1, je rešitev naslednja: x ∈ (-3,-1) ∪ (-1,1) ∪ (1,3) Za vas smo pripravili "univerzalno" orodje, s katerim boste lahko kjerkoli in kadarkoli narisali graf racionalne funkcije ter reševali naloge s polinomi in racionalnimi funkcijami. Prvi se od slednjih razlikujejo predvsem po tem, da nimajo polov, s čimer so tudi njihovi grafi "lepši" :) Dobra novica pa je tudi ta, da si boste po branju tega prispevka omenjeni pripomoček lahko pripravili čisto sami :) Da bo pripomoček res univerzalen, ga pripravimo kar za racionalno funkcijo (za polinome ga bomo pa na koncu poenostavili). Naloge opisanega tipa običajno zahtevajo graf funkcije ali zapis rešitve neenačbe. Rešitev neenačbe je preprosto interval (pozor: na x osi!), kjer se graf nahaja nad ali pod določeno mejo. Predpostavimo, da ima naša racionalna funkcija dve ničli:
Računsko do teh ničel pridemo tako, da polinom v števcu racionalne funkcije izenačimo z 0 in rešimo enačbo. Ničla prve stopnje v rezultatu nastopa enkrat, ničla druge stopnje pa dvakrat. Na primer x₁=-3 in x₂=x₃=1. Narišimo x os in na njej označimo ničli (s pikama). Ničlo prve stopnje označimo z rimsko 1, ničlo druge stopnje pa z rimsko 2: Naša racionalna funkcija naj ima tudi dva pola:
Računsko do teh polov pridemo tako, da polinom v imenovalcu racionalne funkcije izenačimo z 0 in rešimo enačbo. Z drugimi besedami, poiščemo ničle polinoma v imenovalcu. Ničla prve stopnje v rezultatu nastopa enkrat, ničla druge stopnje pa dvakrat. Na primer x₁=x₂=-1 in x₃=3. Ampak pozor! Kljub temu, da govorimo o ničlah, so na grafu to poli, saj gre za polinom v imenovalcu! Na x osi označimo še pola (z navpičnima črtkanima črtama). Pol prve stopnje označimo z rimsko 1, pol druge stopnje pa z rimsko 2: Ničle in pole naše racionalne funkcije smo označili, sedaj je na vrsti začetna vrednost. V našem primeru je začetna vrednost negativna. Pozor! Za razliko od vrednosti ničel in polov, ki sta bili vrednosti x, je začetna vrednost vrednost y! Na primer y=-0,5. Računsko do začetne vrednosti pridemo tako, da vse x v zapisu racionalne funkcije nadomestimo z 0 in izračunamo vrednost funkcije. Z drugimi besedami, začetna vrednost je količnik prostih členov polinomov v števcu in imenovalcu. Pozor! V primerih, ko se v x=0 nahaja kakšna ničla ali pol, je potrebno izbrati novo začetno vrednost, na primer pri x=-1 ali x=1. Narišimo še y os in na njej označimo začetno vrednost: Označimo še vrednost, ki jo naša funkcija doseže pri zelo majhnih oziroma velikih vrednostih x (po domače rečeno "levo oz. desno v neskončnosti", čeprav neskončnosti dejansko ne moremo doseči). To vrednost v koordinatnem sistemu predstavlja premica (lahko je tudi krivulja, a to spada že med zahtevnejšo matematiko), ki jo graf funkcije doseže na skrajni levi oz. desni strani (v "neskončnosti"). To premico imenujemo asimptota. Le-ta je lahko vodoravna (vodoravna asimptota) ali pa poševna (poševna asimptota). Pozor! Tako kot pri začetni vrednosti nas tudi pri asimptoti zanima vrednost y! Računsko do asimptote pridemo tako, da najprej preverimo stopnji polinomov v števcu in imenovalcu racionalne funkcije (to sta najvišja eksponenta x, ki se pojavita - pri potenci x², gre recimo za polinom 2. stopnje):
Pozor! Pri asimptoti je pomembno tudi to, da jo graf pri majhnih vrednostih x lahko seka, kar za pol recimo ne moremo reči. V našem primeru imamo vodoravno asimptoto, njena vrednost je pa večja od nič: Ustavimo se še nekoliko pri asimptotah. Po definiciji je asimptota premica ali krivulja, ki se v neskončnosti približuje drugi krivulji, ne da bi jo dosegla. Omenili smo vodoravno in poševno asimptoto. Ti dve asimptoti se nanašata na obnašanje grafa racionalne funkcije skrajno levo oziroma desno (-∞ oz. +∞ na x osi). Vodoravna in poševna asimptota hkrati ne moreta obstajati, saj se graf v neskončnosti lahko približuje le eni od njiju. Ne pozabimo: Vrednost vodoravne oz. poševne asimptote zapišemo kot y=... Pri risanju racionalne funkcije pa se skoraj vedno (kadar ima funkcija vsaj en realni pol) srečamo s še eno asimptoto, to je navpična asimptota. Ta je vedno navpična in poteka skozi pol racionalne funkcije. Navpične asimptote se nanašajo na obnašanje grafa racionalne funkcije v okolici polov (poli se nahajajo na x osi, graf pa gre v njihovi bližini navzgor ali navzdol proti neskončnosti). Navpičnih asimptot je za razliko od vodoravne in poševne lahko več - toliko, kolikor ima racionalna funkcija različnih realnih polov. Ne pozabimo: Vrednost navpične asimptote zapišemo kot x=... Navpičnih asimptot pri risanju grafa racionalne funkcije običajno ne omenjamo, le preprosto rečemo, da smo na koordinatnem sistemu označili pol racionalne funkcije. Je pa dobro, da vemo, da gre tudi v tem primeru za asimptoto. Vse asimptote rišemo kot črtkane premice. Tako, glavne značilne točke grafa imamo (stacionarne točke bomo izpustili), sedaj pa pričnimo z risanjem grafa. Graf bomo risali po odsekih, pred tem pa bomo na vsakem odseku določili predznak funkcije. Začnimo z odsekom okoli začetne vrednosti. Začetna vrednost je v našem primeru negativna, zato bo negativno tudi področje okoli nje. Za začetek z modro obarvajmo področje do prvega pola oz. ničle na levi oz. desni strani: Preverimo še predznak funkcije na robovih narisanega območja, označenega z modro barvo:
Sedaj pa pričnimo z risanjem grafa. Risali ga sproti z barvanjem območij predznaka funkcije. Zaenkrat imamo eno območje (modro). Začnimo pri začetni vrednosti. Pojdimo najprej v levo stran (do meje obarvanega območja). Ker se tam nahaja pol, graf zavije navzdol proti neskončnosti. Pozor! Navzgor graf ne more, saj bi pri tem sekal abscisno os, to pa drugje razen pri ničli ni dovoljeno! Na desni strani obarvanega območja pa imamo ničlo, zato začetno vrednost preprosto povežemo z ničlo na njeni desni. Pozor! Črta naj ne bo ravna, saj nimamo linearne funkcije! Pri risanju se izogibajmo še ostrim zavojem, pa smo že na dobri poti ;) Nadaljujemo v levo stran. Pol levo od začetne vrednosti je sode (druge) stopnje, zato funkcija pri prehodu čezenj ne menja predznaka. Modro območje se tako nadaljuje vse do naslednje značilne točke grafa racionalne funkcije, to je ničla na skrajni levi. Vrednost funkcije v ničli pa je seveda nič ;) Nadaljujemo z risanjem grafa. Ostajamo v negativnem (modrem) območju, zato se graf vrne z iste strani, v katero je izginil, ko smo se približevali polu. Z grafom nato preprosto nadaljujemo proti ničli na levem robu modrega območja. Naj vas še enkrat opozorimo: črta naj ne bo ravna, saj nimamo linearne funkcije! Sedaj pa pojdimo še malo v desno stran. Ničla desno od začetne vrednosti je sode (druge) stopnje, zato funkcija pri prehodu čeznjo prav tako ne menja predznaka. Negativno (modro) območje se tako nadaljuje tudi v desno - do naslednje značilne točke grafa racionalne funkcije, pola na skrajni desni. Vrednost funkcije v polu pa ni definirana. Pozor! Zaenkrat naša racionalna funkcija nikjer ni pozitivna, kar pa ne pomeni, da je vedno negativna! V ničlah je vrednost funkcije nič, v polih pa ni definirana. Z risanjem grafa nadaljujemo v desno smer. Zopet smo v negativnem (modrem) območju, zato se graf desno od ničle obrne navzdol. Nadaljujemo v desno, do meje obarvanega območja. Ker se na skrajni desni nahaja pol, graf zavije navzdol proti neskončnosti. Ničla na skrajni levi strani je lihe (prve) stopnje, zato funkcija pri prehodu čeznjo menja predznak (iz negativnega v pozitivnega). Levo od te ničle ni nobene značilne točke grafa več, zato se pozitivno (rdeče) območje nadaljuje levo v neskončnost. Narišimo še zadnji odsek grafa na levi strani koordinatnega sistema. Ker se na skrajno levi ničli predznak funkcije zamenja (iz negativnega v pozitivnega), z grafom nadaljujemo levo od te ničle navzgor. Pozor! Navzgor ne pojdimo preveč daleč, saj se graf pri zelo majhnih vrednostih x (levo v neskončnosti) približuje vodoravni asimptoti! Zato naredimo "ovinek" navzdol in z grafom funkcije nadaljujemo naprej proti asimptoti. Če želimo graf na tem (rdečem) območju še točneje narisati, si lahko izberemo kakšno dodatno točko, v kateri izračunamo vrednost racionalne funkcije in jo vrišemo na koordinatni sistem (na primer f(-4), to je vrednost funkcije pri x=-4). Določimo predznak še na zadnjem območju grafa racionalne funkcije. Pol na skrajni desni strani je lihe (prve) stopnje, zato funkcija pri prehodu čezenj menja predznak (iz negativnega v pozitivnega). Desno od tega pola ni nobene značilne točke grafa več, zato se pozitivno (rdeče) rdeče območje nadaljuje desno v neskončnost. Narišimo še zadnji odsek grafa na desni strani koordinatnega sistema.
Ker se na skrajno desnem polu predznak funkcije zamenja (iz negativnega v pozitivnega), se graf na drugi strani pola ne vrne z iste strani, v katero je izginil (navzdol), ampak z nasprotne (od zgoraj). Ker se graf racionalne funkcije pri zelo velikih vrednostih x (desno v neskončnosti) približuje vodoravni asimptoti, le-ta naredi zavoj v desno (brez ostrih robov!) in se nadaljuje naprej proti asimptoti. Pozor! Abscisne osi (x) na tem odseku ne smemo več sekati, saj v področju desno od pola prve stopnje ni več nobene ničle, graf pa lahko seka abscisno os le pri prehodu preko ničle! Postopkov je v matematiki celo morje. Eni so bolj "na kožo pisani" enim, drugi drugim. Rdeča nit vseh skupaj pa je - razumevanje. Sam postopek je brez razumevanja matematičnega ozadja povsem brez pomena, saj nikoli ne moremo vedeti, ali smo nekaj izračunali prav ali narobe. Po drugi strani pa tak postopek hitro pozabimo ali si ga zapomnimo površno, kar pa nam tudi prav nič ne koristi :)
Pri tem postopku se moramo dobro poznati pojem negativnih števil ter razumeti vrednost desetiških enot. Postopek se od "klasičnega" razlikuje po tem, da ne zahteva dopisovanja "malih številk" pri prehodu čez desetico. Le-te namreč lahko kaj hitro zapišemo na napačno stran števke in posledično upoštevamo pri napačni desetiški enoti (še posebej, če nas različni učitelji navajajo na zapisovanje na različnih straneh), kar vodi k nepravilnemu rezultatu. Kot vidimo v spodnjem primeru, nam pri deseticah preglavice povzroča prehod čez stotico, pri enicah pa prehod čez desetico, zato najprej odštejemo le stotici, omenjena prehoda pa kasneje "korigiramo" z odštetjem "odvečnih" desetic in enic (če smo natančni, prištetjem negativnih desetic in enic). Kako si zapomniti, katera številka v ulomku je števec in katera imenovalec?
Števec spominja na štetje in je zgoraj, saj imamo eno tretjino, dve tretjini ... Imenovalec nas pa spominja na poimenovanje in je spodaj. Tako imamo eno tretjino, eno četrtino ... Recimo: "Pozdravljeni, ime mi je Petina in živim v spodnjem nadstropju ulomka." :) No, sedaj pri kontrolni nalogi sigurno ne boste več zamenjavali števca in imenovalca in na ta račun izgubili kakšne pomembne točke ;) |
ARHIV
December 2023
KATEGORIJE
All
|