Veste, da lahko z eno samo vajo "opravite" s kar tremi računskimi operacijami oziroma postopki? Oglejmo si, kako lahko naenkrat utrjujemo:
Vaja je sestavljena iz treh delov. Najprej pisno zmnožimo dve števili in si zabeležimo rezultat, saj ga bomo še potrebovali. Množitelj je lahko eno- ali dvomestno število, odvisno od razreda in volje ;) V drugem delu vaje množenec razstavimo na desetiške enote (v našem primeru stotice, desetice in enice) in vsako posebej množimo z množiteljem. Ko posamezne zmnožke seštejemo, dobimo isto število kot v prvem koraku. S tem smo s pomočjo zakona distributivnosti (več o njem na naslovu tinyurl.com/yctv72wg) dokazali pravilnost izračuna v prvem koraku. Izračun seveda lahko preverimo tudi s kalkulatorjem, ampak če smo ga na dva načina rešili enako, si pa že lahko zaupamo ;) V zadnjem delu pa račun še "obrnemo".
Sedaj zmnožek iz prvega in drugega dela (upajmo, da v obeh primerih dobimo enakega ;) ) delimo z množiteljem in če gre vse tako, kot mora iti, dobimo "nazaj" množenca. S tem smo opravili še končni preizkus in lahko rečemo, da zadevo obvladamo ;)
0 Comments
Ste bili kdaj v dilemi, kaj je potrebno narediti, če želimo dobiti središče trikotniku včrtane oziroma očrtane krožnice?
Tega se recimo že spomnimo, da je enkrat potrebno razpolavljati stranice, enkrat pa kote, ampak kdaj prvo in kdaj drugo? Zadeva v bistvu sploh ni tako zakomplicirana, kot se na prvi pogled zdi. Poskusimo za trenutek pozabiti na vsa matematična pravila in uporabimo le "zdravo pamet" :) Če želimo trikotniku narisati včrtano krožnico, mora le-ta biti vedno enako oddaljena od vseh treh stranic hkrati. Za začetek se osredotočimo samo na dve stranici. Znamo narisati niz točk, ki so vedno enako oddaljene od obeh stranic hkrati? Ker se stranici dotikata v oglišču, skupaj z njim tvorita kot. Niz točk, ki so enako oddaljene od obeh krakov kota pa verjetno poznamo, kajne? To je seveda simetrala kota :) Vsak sosednji par stranic skupaj z vmesnim ogliščem tvori kot (notranji kot trikotnika) in če vsakemu od teh kotov vrišemo simetralo, nam njihovo presečišče da središče včrtane krožnice. Narišemo pa potem to krožnico tudi povsem enostavno. Šestilo zapičimo v središče, z drugim delom le-tega pa se dotaknemo ene izmed stranic in narišemo krožnico. Kaj pa očrtana krožnica? Ta pa mora biti vedno enako oddaljena od vseh treh oglišč hkrati. Za začetek se osredotočimo samo na dve oglišči. Znamo narisati niz točk, ki so vedno enako oddaljene od obeh oglišč hkrati? Sosednji oglišči skupaj z vmesno stranico predstavljata daljico. Niz točk, ki so enako oddaljene od obeh krajišč daljice pa seveda poznamo - to je simetrala daljice :) Če vsaki od stranic vrišemo simetralo, nam njihovo presečišče da središče očrtane krožnice. Tudi to krožnico enostavno narišemo. Šestilo zapičimo v središče, z drugim delom le-tega pa se dotaknemo enega izmed oglišč in narišemo krožnico. Za konec povejmo še to, da je krožnico mogoče včrtati ali očrtati tudi mnogo drugim večkotnikom, ne le trikotniku. Več o tem pa najdete na Wikipediji. V šoli ste se verjetno učili o premem in obratnem sorazmerju. Potem ste se učili o odsotkih, razmerjih ...
Če si odstotke in razmerja (pa še kaj bi se našlo) predstavljamo kot premo sorazmerje, si razumevanje vsega skupaj lahko močno poenostavimo. Tudi reševanje takih nalog je zelo preprosto - kar preko sklepnega računa. Odstotki Pri računanju z odstotki imamo na eni strani odstotke, na drugi pa neke vrednosti (najraje denar :)). Ostotki in "tista druga" količina (denar, število ...) sta vedno v premem sorazmerju, saj več odstotkov vedno pomeni na primer več denarja. Pri odstotkih je pomembno vedeti, da je skupno število le-teh vedno enako 100. 100% na drugi strani ustreza skupni vrednosti "druge" količine, recimo seštevek vsega denarja. Primerjamo lahko različne odstotne vrednosti pod 100% med seboj ali pa posamezne vrednosti primerjamo proti celoti. Razmerja dolžin (daljic, stranic) v geometriji Vsi ste verjetno že zasledili nalogo v stilu "točka razdeli daljico v razmerju 2:3; koliko meri vsak del, če je celotna dolžina daljice ..." Prva količina v tem sorazmerju je del, druga pa recimo dolžina. Tudi tu je sorazmerje premo, saj večji del daljice recimo pomeni večjo dolžino. Tako kot lahko med seboj seštejemo posamezne dele, seštejemo tudi njihove vrednosti, recimo 2 in 3 je skupaj 5 delov, kar ustreza celotni dolžini daljice. Tudi tu lahko primerjamo posamezne dele med seboj ali pa proti celoti. Pravijo, da slika pove več kot tisoč besed. Zato smo sklenili tole temo predstaviti kar v stripu. Prehod čez desetico zna biti trd oreh, če dogajanja pri tem "pojavu" ne razumemo povsem dobro, saj poznavanje le-tega igra odločilno vlogo tudi pri računanju z večjimi števili, tako pri seštevanju kot pri odštevanju. Pri prehodu čez desetico (tako kot tudi pri prehodu čez stotico, tisočico ...) je najpomembnejše dejstvo, da je v vsakem stolpcu (enic, desetic, stotic ...) na voljo le eno številsko mesto. Na tretji sličici vidimo, da desna števka ostane v "modrem" stolpcu enic, leva pa mora "na pot" v sosednji stolpec, k deseticam. V stripu je uporabljena enaka barvna koda, kot smo jo uporabili pri naši Čisti stotici (https://www.facebook.com/ucenjezigro).
Četrta sličica prikazuje "običajno stanje" v naših zvezkih (oziroma v zvezkih naših otrok, če to berete starši :) ). Marsikdo malo (rdečo) enko piše povsem avtomatično in se ne sprašuje, zakaj je tam, a ker v naših prispevkih spodbujamo kritično mišljenje, je dobro, da vemo, zakaj je tam in kako tja sploh pride. Razumevanje opisanega postopka je pomembno tudi zato, ker po seštevanju sledi odštevanje, kjer prehod čez desetico prav tako označujemo z malo številko na mestu desetice zadnjega seštevanca. Težava s prehodom čez desetico pri odštevanju je, da le-tega ne moremo prikazati analogno kot pri seštevanju, saj abstraktni postopek vizualni predstavitvi ne sledi popolnoma. Pri odštevanju namreč upoštevamo dejstvo, da je, karikirano, "razlika med 2 in 4 isto kot razlika med 3 in 5". Eno lažje narišemo, drugo pa izračunamo. In ker matematika ni likovna umetnost, upoštevamo dejstvo med narekovajema in se odločimo za slednjo možnost. Čeprav se čudno sliši, je to povsem običajen postopek pri obračanju enačb, ko želimo izraziti iskano spremenljivko (običajno je to x). Pri tem si velja zapomniti dve glavni pravili: Prvo pravilo: Člen, ki ga ne potrebujemo (to je tisti člen, ki ne vsebuje iskane spremenljivke), preprosto "vržemo" na drugo stran enačbe, ob tem pa mu spremenimo predznak. Oglejmo si še zapis omenjenega postopka z matematičnimi znaki. Pozitiven člen na levi strani enačaja postane negativen ... ... negativni pa pozitiven: Drugo pravilo: Ko imamo na levi (ali desni) strani enačbe le še tisti člen, ki vsebuje iskano spremenljivko, le-tega "razcepimo", tako da na tej strani enačbe ostane le še iskana spremenljivka, ostale faktorje pa prestavimo na drugo stran enačbe. Ob tem se prestavljenim faktorjem ne spremeni predznak, ampak položaj. Če so bili na eni strani v imenovalcu ulomka, so na drugi strani v števcu in obratno. Oglejmo si še zapis omenjenega postopka z matematičnimi znaki. Faktor, pomnožen s spremenljivko x na levi strani enačaja, se na desni strani preseli v imenovalec ulomka ... ... faktor, ki je na levi strani enačaja v imenovalcu ulomka, pa na desni strani pomnožimo s preostalim delom enačbe: Pozor! Pri drugem pravilu moramo v primeru več členov na desni strani uporabiti oklepaj!
Primer: x/2 = 2a + b x = 2(2a+b) Poleg splošnega produkta različnih dvočlenikov ... (a+b)(c+d) ... sta pogosto v uporabi tudi posebna primera:
Enačbi za posebna primera je koristno poznati, saj ju potrebujemo pri razstavljanju. Za lažje pomnjenje si vse tri poglejmo v grafični obliki. Splošen produkt različnih dvočlenikov Enačba za splošen produkt različnih dvočlenikov se glasi: (a+b)(c+d) = ac+bc+ad+bd V grafični obliki enačba izgleda takole: Kvadrat dvočlenika Enačba za kvadrat dvočlenika se glasi: (a+b)² = a²+ab+ab+b² = a²+2ab+b² V grafični obliki enačba izgleda takole: Če je člen a ali b negativen, se predznak kvadratov (a² oziroma b²) ne spremeni, predznak srednjega člena (2ab) pa določimo po oranžnem pravilu množenja in deljenja:
Produkt vsote in razlike enakih števil Enačba za produkt vsote in razlike enakih števil se glasi: (a+b)(a-b) = a²+ab-ab-b² = a²-b² V grafični obliki enačba izgleda takole: Na sliki se lepo vidi, da se srednja dva člena v računu okrajšata.
Računski izrazi lahko vsebujejo le številke, poleg teh pa v njem lahko nastopajo tudi črke oziroma spremenljivke. Tokratni algoritem opisuje reševanje slednjih.
Naj na kratko razložimo naš algoritem:
* rumeno pravilo seštevanja in odštevanja, oranžno pravilo množenja in deljenja ter zeleno pravilo grupiranja podobnih členov smo definirali zato, da se v algoritmu ne ukvarjamo preveč z osnovami računanja, ampak lahko takoj preidemo na bistvo problema. Preko priloženih povezav pa seveda lahko kadarkoli ponovimo tudi osnove, če so nam slučajno "ušle iz glave" ;) Pomni! Potence veččlenikov so v osnovi množenje veččlenikov (samih s seboj), zato v algoritmu take situacije niso posebej navedene. Pomni! Če imamo le en oklepaj z več členi, pred njim pa je plus, le izbrišemo oklepaj, saj je nepotreben (tudi taka situacija v algoritmu ni posebej opisana). Pomni! Dvočleniki so v algoritmu pridruženi veččlenikom, tako da niso posebej omenjeni. Nekateri računske izraze rešujejo po intuiciji, za druge je to početje pravi mini projekt in se nanj zares dobro pripravijo, ostali pa so ... nekje vmes :)
Mi vam predstavljamo še eno izmed metod - reševanje aritmetičnih izrazov s pomočjo algoritma. Tisti, ki ste algoritme srečali pri pouku računalništva, se verjetno sprašujete, kakšno povezavo imajo z matematičnimi izrazi. Kar precejšnjo. Wikipedija pravi, da so algoritmi navodila za reševanje problemov. Ta navodila so večinoma zapisana za računalnik (v obliki računalniškega programa), lahko pa jih zapišemo tudi v "ljudem prijazni obliki". Taka navodila smo pripravili tudi za vas. Ko nekomu razlagamo, kako naj se nečesa loti, ga spremljamo pri njegovem delu in ga ob dilemah usmerjamo na pravo pot. To lahko počne učitelj(ica), inštruktor(ica), starši, ... Pomoč pa ni vedno na voljo, zato si nemalokrat pomagamo kar sami. In algoritem je v takem primeru kar koristen pripomoček. Naj na kratko razložimo naš algoritem:
* rumeno pravilo seštevanja in odštevanja ter oranžno pravilo množenja in deljenja smo definirali zato, da se v algoritmu ne ukvarjamo preveč z osnovami računanja, ampak lahko takoj preidemo na bistvo problema. Preko priloženih povezav pa seveda lahko kadarkoli ponovimo tudi osnove, če so nam slučajno "ušle iz glave" ;) V računskih izrazih poznamo dve osnovni postavitvi oklepajev:
Zaporedna oklepaja lahko razrešujemo istočasno (v isti vrstici izraza), medtem ko pri vgnezdenih oklepajih začnemo z reševanjem v notranjosti, nakar se pomikamo navzven. Primera z zaporednimi oklepaji:
Primera z vgnezdenimi oklepaji:
Za razliko od "rumenega" in "oranžnega" pravila zeleno pravilo uporabljamo samo pri računanju izrazov v algebri (črke in številke) in sicer pri poenostavljanju končnega izraza ("kače" členov, ki nam ostane potem, ko smo že razrešili oklepaje ter vse potrebno potencirali, korenili, zmnožili in delili) Pri rumenem pravilu seštevanja in odštevanja smo omenili, da v algebri podobne člene seštevamo / odštevamo ločeno ("hrušk in jabolk" seveda ne moremo seštevati :) ). Zeleno pravilo se glasi:
Pomni! Podobni členi so tisti členi, ki imajo različne številske faktorje in enake spremenljivke (na primer 4bc in -3bc). Enaki členi pa imajo enake tako številske faktorje kot tudi spremenljivke. Če odštejemo enaka člena, dobimo 0. Primer končne "kače" členov; členi so obkroženi z oranžno barvo in nato grupirani po zelenem pravilu. Znotraj vsake "zelene" skupine je uporabljeno rumeno pravilo; ravna črta so a-ji, vijugasta b-ji, poševno črtkana črta pa predstavlja številske člene.
|
ARHIV
December 2023
KATEGORIJE
All
|