|
Od kod izvira poimenovanje za "racionalna števila"?
Ne, izraz nima zveze z razumom ali premišljenostjo (razlaga v SSKJ), čeprav pri matematiki to pride še kako prav, :) ampak izvirajo iz drugega pomena latinskega izraza ratio, ki pomeni računanje, delo s števili, izvajanje postopka ... V angleščini "ratio" pomeni razmerje, ta beseda pa se skriva tudi v definiciji racionalnih števil, saj gre za števila, ki jih lahko izrazimo kot razmerje dveh celih števil. Za "firbčne" je tule še nekaj povezav:
0 Comments
Marsikdo si težko zapomni, da ima množenje (in deljenje) prednost pred seštevanjem (in odštevanjem). Predstavljajmo si, da se v testu pojavi račun 3∙6+5∙4. Ker smo itak živčni, pozabimo katera računska operacija ima prednost. Seštevanje ali množenje? Iz zagate nas reši grafični model računa:  Če izraz zapišemo (ali pa si ga zgolj predstavljamo) v grafični obliki (v našem primeru 3 vrste po 6 in 4 vrste po 5), vidimo, da vse elemente (npr. kvadratke) preštejemo tako, da najprej izračunamo polji (računa na krat), nato pa vse skupaj še seštejemo.
Za konec pa še izziv za vas. Kako bi grafično predstavili račun 8∙7-6∙5? Kaj pa 9∙5-6∙7? (V prvem primeru kvadratke modrega pravokotnika dimenzij 6∙5 položimo na rdeči pravokotnika dimenzij 8∙7. Preostanek rdečega pravokotnika je rezultat. V drugemprimeru storimo enako, le da je potrebno kvadratke modrega pravokotnika nekoliko preoblikovati, da "pašejo" na rdeč pravokotnik.) »Hm«, boste rekli, »a nismo v šoli rekli, da velja zgolj za seštevanje in množenje? Ja. In ne. :) Če odštevanje obravnavamo strogo kot odštevanje in deljenje kot deljenje, potem ne moremo splošno reči, da zanju velja zakon o zamenjavi. Če pa:
A pozor! Računsko operacijo pred številom, ki ga želimo »nesti drugam«, moramo v tem primeru »vzeti s seboj«! Oglejmo si dva primera. V prvem želimo odštevanje postaviti na konec računa, da ga bomo izvedli nazadnje. To lahko storimo, a ne pozabimo minusa pred številom 5!  V drugem primeru pa želimo deljenje izvesti prej, da ne bo deljenec prevelik. Število 4 lahko postavimo takoj za 12, a ne pozabimo »s seboj nesti« tudi znaka za računsko operacijo deljenja!  Da me ne boste "prijeli za besedo": V matematičnem členu po Wikipediji v členu lahko nastopata zgolj številski operaciji množenja in potenciranja. Kaj pa deljenje? Če si deljenje z nekim številom (v našem primeru s 4) predstavljamo kot množenje z ulomkom, ki ima to število v imenovalcu, števec pa enak 1 (v našem primeru 1/4), pa imamo čisto pravi člen s štirimi faktorji: 12, 2, 3 in 1/4.
O tem, kaj je distributivnost, lahko nekaj več preberete tule, mi pa si poglejmo kar primer. Izračunajmo račun 42 krat 5. Poštevanka nam tu direktno ne more pomagati, saj jo znamo le do 10 krat 10, si pa lahko pomagamo tako, da razdelimo prvi faktor na dva dela (42 razdelimo na štiri desetice in dve enici), katera potem ločeno množimo z drugim faktorjem (v našem primeru 5) in na koncu seštejemo (po distributivnostnem zakonu). Da bo vse skupaj še lažje, si izmislimo zgodbico. 🙂 Recimo, da s kladivom udarimo po večjem od števil (42), nakar to razpade v števili 40 in 2, ki ju ujamemo v roko in postavimo v oklepaj:  Števil ni nujno drobiti na vrednosti pod 10, saj poštevanka zajema celoštevilske faktorje do vrednosti 10. Močno si lahko pomagamo že z razčlenitvijo na večkratnike desetiških enot. Mi smo število 42 s tem namenom razdelili na 40 (4 krat 10) in 2. Namesto množenja števil 42 in 5 bomo tako s 5 zmnožili števili 40 in 2 ločeno, rezultata množenja pa na koncu sešteli. Nadaljujmo našo zgodbico od včeraj. 😉 Petico si na primer predstavljajmo kot psa, na katerega z vsake številke v oklepaju skoči ena bolha. Vsak skok pomeni eno množenje. Prvo je 40 krat 5, drugo pa 2 krat 5:  Sedaj moramo izračunati le še preprost računski izraz (ne pozabimo, da ima množenje prednost pred seštevanjem) in smo končali. 🙂 Za tak način množenja torej potrebujemo le znanje poštevanke, seštevanja in množenja z večkratniki potenc števila 10.  Zakaj iz 4 ∙ 5 = 20 sledi, da je 40 ∙ 5 = 200? Preprosto. 40 ∙ 5 lahko zapišemo tudi kot 4 ∙ 10 ∙ 5 oziroma 4 ∙ 5 ∙ 10 (zakon o zamenjavi) oziroma 20 ∙ 10 (zakon o združevanju), pri množenju z 10 pa vemo, da v rezultatu "pridelamo" dodatno ničlo na desni strani (oziroma premik decimalne vejice v desno, kadar računamo z decimalnimi števili).
Na koncu še vprašanje za vas. V našem primeru smo delna zmnožka na koncu sešteli. Pri katerih številih, recimo dvomestnih, pa bi bil račun lažji, če bi uporabili odštevanje? (Kadar je enica večja od 5, npr. pri računu 48 ∙ 5.) ... oziroma uporaba logike pri uri aritmetike. Pri seštevanju ulomkov »na klasičen način« vemo, da jih moramo najprej »spraviti na skupni imenovalec«, nato pa sešteti števce le-teh. Na koncu ulomek, ki predstavlja vsoto, še okrajšamo. Kako pa bi to storili grafično? Oglejmo si račun 1/2+1/3. Ker ulomek predstavlja del celote, eno polovico lahko predstavimo tako, da celoto razdelimo na dva enaka dela in enega pobarvamo. Z eno tretjino storimo podobno, le da celoto razdelimo na tri enake dele. Kako pa bi naenkrat lahko predstavili oba ulomka? Z dvodimenzionalnim poljem oziroma tabelo. S stolpci prikažemo en ulomek, z vrsticami pa drugega. V našem primeru torej potrebujemo tabelo z dvema stolpcema in tremi vrsticami (lahko storimo tudi obratno, saj za vsoto velja zakon o zamenjavi). Modra šrafura na sliki predstavlja števec ulomka 1/2, rdeča pa števec ulomka 1/3. Sedaj pa »vklopimo logiko«. V Booleovi algebri simbol »+« pomeni disjunkcijo oziroma logični »ali«. V izjavni logiki (angl. propositional logic) to povezavo označimo z znakom »∨«, v teoriji množic pa z znakom »∪«. Poznavalci digitalnega sveta omenjeno relacijo prepoznajo tudi v znaku »∥« ali zgolj angleškem izrazu »OR«. Kaj to pomeni za našo tabelo s prikazom ulomkov? S pomočjo uporabe logike lahko iz nje neposredno zapišemo rezultat našega računa. Ker ima tabela 6 polj, je imenovalec vsote enak 6, saj gre za celoto, razdeljeno na 6 (enakih) delov. Kaj pa števec? Ker imamo logično relacijo »ali«, moramo prešteti vsa polja, ki so šrafirana ali modro ali rdeče. Eno polje je šrafirano z dvema barvama, torej ga moramo šteti dvakrat. Imamo torej eno modro, dve rdeči in eno dvobarvno šrafirano polje, skupaj torej 1+2+2 oziroma 5 polj. Števec je torej 5, kar pomeni, da je vsota enaka 5/6.  Pri množenju ulomkov »na klasičen način« pa zmnožimo tako števce kot imenovalce ter okrajšamo, »kar se da«. Za primer uporabimo ista ulomka, le da ju tokrat zmnožimo. Iščemo torej produkt 1/2 · 1/3. Ulomka predstavimo na povsem enak način kot pri seštevanju, le rezultat bomo prebrali drugače. Zopet imamo torej tabelo z 2 stolpcema in 3 vrsticami, kjer modra šrafura predstavlja števec ulomka 1/2, rdeča pa števec ulomka 1/3. Ponovno »vklopimo logiko«. V Booleovi algebri simbol »*« pomeni konjunkcijo oziroma logični »in (hkrati)«. V izjavni logiki to povezavo označimo z znakom »∧«, v teoriji množic pa z znakom »∩«. Poznavalci digitalnega sveta omenjeno relacijo prepoznajo tudi v znaku »&« ali zgolj angleškem izrazu »AND«. S pomočjo naše tabele zapišimo še rezulat. Ker ima tabela 6 polj, je tudi tu imenovalec vsote enak 6, saj gre za celoto, razdeljeno na 6 (enakih) delov. Pri števcu pa bo nekoliko drugače. Ker imamo logično relacijo »in hkrati«, moramo prešteti vsa polja, ki so šrafirana tako modro kot rdeče. Tako je le eno polje, kar pomeni, da je števec enak 1. Zmnožek ulomkov 1/2 in 1/3 je torej enak 1/6.  Omenjena metoda je mogoče nekoliko daljša od »klasične«, saj je tu in tam potrebno kakšen rezultat še dodatno okrajšati, nam pa omogoča zelo dober vpogled v koncept računanja z ulomki, česar nam »piflarski« postopki ne nudijo.
Ste pogrešili odštevanje in deljenje? Odštevanje je »pokrito« s prištevanjem nasprotne vrednosti, deljenje pa z množenjem z obratno vrednostjo. Na koncu pa še vprašanje za vas. Kako bi grafično predstavili vsoto oziroma zmnožek treh ulomkov? Vedno bolj se zavedamo, da je vizualizacija zelo pomembna za razumevanje matematičnih zakonitosti. Pa tudi kakšnih drugih. Ampak, ostanimo zaenkrat pri matematiki. Konkretneje, pri osnovnih računskih operacijah. Načinov za vizualno predstavitev seštevanja, odštevanja, množenja in deljenja je kar veliko, zato smo včasih v dilemi, katerega uporabiti. Seveda je najbolje, da si vsakdo izbere takega, ki ustreza prav njemu, a vseeno je nekje potrebno začeti. ;) Sam ponavadi začnem z dvema modeloma oziroma didaktičnima pripomočkoma (če ju imamo na voljo v fizični obliki), to sta:
Glavna razlika med trakom in ploščicami je dimenzija. Trak se razteza le v eni smeri, medtem ko je polje ploščic dvodimenzionalno. Če trakove zlagamo enega za drugim, nam celotna dolžina take »kače« predstavlja vsoto posameznih trakov, s čimer ponazorimo seštevanje. Če trakove zlagamo vzporedno, pa jih med seboj lahko primerjamo. Se sprašujete, kje smo izgubili odštevanje? ;) Odštevanje najlažje ponazorimo z razliko med dolžinama dveh trakov. Kljub temu, da ne govorim o merjenju, ampak o računanju, sem že dvakrat omenil dolžino. Malo iz navade, malo pa nalašč. ;) Seštevanje in odštevanje si namreč v naravi najlažje predstavljamo prav z merjenjem razdalje. Če na primer najprej prehodim 3 kilometre, nato pa še 2, sem skupaj prehodil 3+2, torej 5 kilometrov (seštevanje, vsota). Če je sosednja vas oddaljena 6 kilometrov, pa moram do nje prehoditi še 6-5, torej 1 kilometer (odštevanje, razlika).  Kaj pa množenje in deljenje? Za množenje vemo, da predstavlja seštevanje več enakih števil hkrati, lahko bi mu rekli tudi »turbo seštevanje«. :) Zakaj bi recimo preštevali 56 rozin, ko pa jih lahko zložimo v 7 vrstic po 8 ali 8 vrstic po 7 rozin? Ja, 7 krat 8 je isto kot 8 krat 7, le gledamo nekoliko z druge perspektive. In ja, govorimo o poštevanki. :) Poštevanka ni nič drugega kot vsi možni računi množenja s faktorji od 1 do 10. In če želimo pri računanju imeti »doživljenjski turbo pogon«, se jo je dobro dobro naučiti. Ja, dobro je zapisano dvakrat, ne gre za slovnično napako. :) Pri deljenju pa imamo prav tako opravka z več enakimi števili, le da jih tu ne seštevamo, ampak neko večje število razdelimo na več enakih manjših števil. Včasih to (v množici celih števil) ni mogoče, zato govorimo o deljenju z ostankom. Pri deljenju z ostankom eno od števil vedno »nasrka«, saj je manjše od ostalih. Saj poznate tisto, trije starejši bratje in četrti »mulc«, ki je komaj iz plenic ... nikoli nima prav. ;) Glede na povedano množenje torej najlažje predstavimo z zlaganjem v stolpce in vrstice. Kaj pa bi zlagali? Ploščice. Ali, če želite, polagali, tako kot tiste v kopalnici. ;) Z deljenjem pa te ploščice razdelimo, podolgem ali počez.  O tem, da za seštevanje obstajata dva (glavna) postopka in da eden ne more nadomestiti drugega, sem že pisal, zato le na kratko povzamem: Seštevanje v vrsti je močno povezano z razumevanjem koncepta (desetiške enote, mestnovrednostni koncept), medtem ko je seštevanje v stolpcu zgolj na pamet naučen matematični postopek.  Za prvega bi lahko rekli, da je »človeku bolj prijazno« in ga lahko izvajamo tudi ustno, medtem ko je drugi primeren zgolj za pisno računanje. Slednji tudi ni preveč perspektiven, saj računanje v taki obliki vse bolj prevzemajo računalniki. Zato povejmo raje nekaj več o seštevanju v vrsti in sicer tistem »na pamet«. Ustno seštevanje je vsekakor koristno usvojiti, saj je hitrejše, pa še zvezka in pisala nimamo vedno pri roki. Na primer v trgovini, ko lovimo znesek 20 evrov, da bi si pridobili bonus, a ne želimo iti niti centa čez. ;) Zna pa biti za marsikoga zahtevnejše od pisnega računanja, se ga velja lotiti postopoma. Na začetku v vrsti lahko seštevamo pisno. Najprej seštejemo posamezne desetiške enote, nato pa še vse skupaj:  Ko zadevo obvladamo že nekoliko bolje, si pa lahko zapišemo le še vmesne zneske (recimo najprej le vsoto stotic, ki ji nato dodamo vsoto desetic in nazadnje prištejemo še enice), ostalo pa poskusimo izračunati ustno.  Z ustnim seštevanjem se naučimo tudi t.i. »inženirskega računanja«, kjer je velikokrat potrebno narediti hitre ocene rezultata. V dolgi vrsti v trgovini za to sicer ni potrebe, a vseeno. :)
Za konec pa bi poudaril še eno prednost seštevanja v vrsti, to je večja svoboda pri računanju. Za marsikoga to sicer niti ni ne vem kakšna prednost, saj od nas zahteva »skok iz cone udobja«. Na drugi strani se moramo pri seštevanju v stolpcu strogo držati postopka, kar po svoje pomeni določeno stopnjo varnosti, težava pa nastane, če postopek pozabimo. Če poznamo koncept, si pri seštevanju pomagamo lahko tudi kako drugače, recimo z izposojanjem številskih enot, dopolnjevanjem do desetice ipd. Seštevanje v vrstici bi lahko poimenovali kar »kreativno seštevanje«. V učbenikih so take naloge ponavadi označene s »Spretno izračunaj ...« Pri teh vam bo kalkulator prej v napoto kot v korist. ;) V tokratnem prispevku najprej vprašanje za vas. Na spodnji sliki je isti račun rešen na dva načina. Za katerega menite, da je boljši oziroma lažji, bolj razumljiv in si ga je lažje zapomniti ter za dlje časa? S čim vas en ali drug postopek "prepričata"? V nadaljevanju si bomo oba podrobneje ogledali.  Seštevanje "v vrsti" Seštevanje "v vrsti" (včasih slišimo tudi izraz "vodoravno seštevanje") se bo mogoče komu zdelo zastarelo. Starši se verjetno v večini spomnimo predvsem drugega načina ("v stolpcu"), a prvi v sebi skriva več, kot si morda predstavljamo. Tovrsten postopek je namreč osnova za dejansko razumevanje tega, kar se pri tem računskem postopku dogaja s števili - razumevanje koncepta seštevanja. Pri seštevanju v vrsti najprej seštejemo velike desetiške enote, nato pa po vrsti vedno manjše. V našem primeru seštevamo tri dvomestna števila, tako da najprej seštejemo vse tri desetice (označene rdeče), zatem pa še vse tri enice (označene modro). Na ta način možgane razbremenimo razmišljanja pri prehodu čez desetico. 60 + 19 je recimo opazno lažji račun, kot pa 25 + 36 + 18. Če tudi krajši zapis za nas pretrd oreh, ga lahko še nadalje poenostavimo. V našem primeru: 60 + 19 = 60 + 10 + 9. Druga poenostavitev pride v poštev recimo pri kakšnem prehodu čez stotico, tisočico ... Recimo v primeru 90 + 14. Veliko lažje je k 100 prišteti 4 kot pa k 90 prišteti 14. Miselni tok seštevanja je pri tem postopku zelo podoben računanju "na pamet", kar verjetno večina od nas počne na primer v trgovini, ko sproti računamo, koliko je vredno blago, ki ga zlagamo v nakupovalni voziček.  Seštevanje "v stolpcu" Seštevanje "v stolpcu" marsikomu izgleda enostavneje od seštevanja "v vrsti", a nima kaj dosti skupnega z razumevanjem koncepta seštevanja. Glavna težava omenjene metode je seštevanje "z napačnega konca", vsaj kar se številskih predstav tiče. Pri seštevanju v stolpcu namreč računamo od desne proti levi oziroma od manjših desetiških enot proti večjim, kar po domače povedano "ni možganom prijazno". Miselni tok gre pri računanju "na pamet", ki zahteva (in tudi vzpodbuja) dobre številske predstave, večinoma v obratni smeri. Spomnimo se štetja denarja. Pri tem je lažje najprej sešteti večje vrednosti in nato prišteti še drobiž, kot pa obratno. Pri računanju "v stolpcu" poseben postopek s "prenašanjem naprej" omogoča, da števila zlahka seštejemo, tudi če številskih predstav (še) nimamo dobro razvitih. To na prvi pogled izgleda obetavno, a je na dolgi rok zelo problematično. Otrok, ki nima dobro razvitih številskih predstav, bo sicer nekaj časa lahko še uspeval v matematiki, a bo učenja "na pamet" vedno več, napake pa vedno bolj izrazite. Na neki točki lahko preprosto zaide v slepo ulico, iz katere pa je pot zelo naporna. "Znak za alarm" pri razumevanju je recimo lahko že nepravilno podpisovanje (pravilno je enice pod enice, desetice pod desetice ...) ali napačno "prenašanje" pri prehodu čez desetico (recimo prenos enice namesto desetice). Težava nastane tudi, če postopek pozabimo. Brez dobrih številskih predstav ga bomo zelo težko ponovno priklicali iz spomina. V času pred razcvetom žepnih računalnikov je bil ta postopek praktično edini način za hitro seštevanje večmestnih števil, danes pa so ga v večini nadomestili računalniški algoritmi, zato bo v prihodnosti vedno manj pomemben. V našem primeru najprej seštejemo (modre) enice. Rezultat je 19, kar pomeni, da 9 zapišemo, desetico (1, zapisana z manjšo pisavo) pa "nesemo naprej" v stolpec levo ter jo prištejemo k seštevku desetic (2 + 3 + 1 = 6), skupaj torej 7. In dobimo rezultat 79.  Več, kot si mislite. Pa s tem ne mislim zgolj preprek, zastojev in slabe volje. :) Zaenkrat se osredotočimo na izraze, ki vsebujejo osnovne štiri računske operacije (seštevanje, odštevanje, množenje, deljenje ) in oklepaje. Da bo razlaga bolj življenjska, potegnimo vzporednico z gradnjo avtoceste. Tako kot je pri gradnji avtoceste najprej potrebno utrditi peščeni teren, se pri reševanju računskih izrazov najprej lotimo oklepajev.  V izrazih sledi množenje in deljenje, "na terenu" pa polaganje asfalta.  Na koncu izraza preostanek še seštejemo oziroma odštejemo, na našem asfaltu pa narišemo črte.  Pozor! Tako kot črt ne rišemo, če asfalt še ni položen, mora tudi seštevanje in odštevanje počakati, dokler ne končamo z množenjem in deljenjem. No ... ob tej trditvi se bo hitro nekje pojavil brihtnež, ki bo dejal: "Kaj pa računi, ki ne vsebujejo množenja in deljenja?" A brez skrbi, tudi zanj imam odgovor - vsak člen lahko pomnožimo z ena in imamo množenj, kar jih hočemo, rezultat pa se zaradi tega ne bo prav nič spremenil, mi bi tako v predzadnji vrstici recimo lahko zapisali 30∙1 - 7∙1 :) A brez skrbi, na šolskih testih se bo vedno nekje našlo kakšno množenje ali deljenje. Ponovimo še vse skupaj: pesek, asfalt, črte oziroma oklepaji, krat/deljeno, plus/minus. Ni težko, kajne? ;)  Na začetku sem dejal, da se bomo osredotočili na izraze, ki vsebujejo zgolj seštevanje, odštevanje, množenje, deljenje in oklepaje. Če se v izrazu recimo pojavijo še potence, si zanje na sliki preprosto zamislimo še eno plast materiala. Veste, kje bi se ta plast nahajala?
Pa še dve vprašanji za "brihtne glavce"
Verjetno se nihče ne bi branil "nevidne sile", ki bi ga rešila vsakič, ko bi zašel v težave. Verjeli ali ne, v matematiki taka "sila" dejansko obstaja. To je število 1, ki ga v redovalnici seveda ne maramo, :) v matematičnem zvezku pa pride še kako prav.
Število 1 imenujemo tudi enota (oziroma nevtralni element) za množenje, to pa zato, ker je rezultat množenja katerega koli števila z 1 kar število samo (če koga zanima več o tem, lahko pokuka sem). Zakaj "nevidna"? Oglejmo si izraz ab. Ta izraz lahko pomnožimo z 1 tolikokrat, kot želimo, pa bo še vedno enak 1: ab⋅1 = ab⋅1⋅1 = ab⋅1⋅1⋅1 = ... = ab Ker vemo, da množenje nekega člena (če se sprašujete, kaj je to člen, lahko na hitro pokukate sem) z 1 samega člena ne spremeni, enice nima smisla pisati, dobro pa je vedeti, da je tam. :) Kateremu faktorju pripada minus? Člen -ab sestavljata dva faktorja, predznak pa nam sporoča, da je ta člen negativen. Kateremu faktorju pripada minus? Načeloma lahko pripada a-ju ali pa b-ju (saj poznate tisto: plus in minus pri množenju vrne minus ...), da se ne bomo kregali, pa lahko rečemo tudi nobenemu. :) Kako? Pomnožimo vse skupaj še z 1 in dobimo. -1ab oziroma (-1)ab. Tu pa se lepo vidi, da je minus "ukradla" enica. Ti, ti, enica :) Kako pri razstavljanju izrazov "ukalupiti" enačbo? Enačba za razliko kvadratov se glasi: a²-b² = (a+b)(a-b) Kaj pa, če imamo v izrazu recimo a²-1? Desni člen lahko mirno pomnožimo z 1 in dobimo: a²-1² To pa je že lažje, kajne? :) Podobno lahko storimo tudi z izrazom -a²+b². V enačbi je prvi člen pozitiven, drugi pa negativen, mi pa imamo ravno nasprotno situacijo. Tokrat z 1 pomnožimo kar oba člena: -1a²+1b², nato pa izpostavimo (-1): -1(a²-b²) in v oklepaju dobimo to, kar želimo. :) |
ARHIV
September 2023
KATEGORIJE
All
|
RSS Feed
