Kaj lahko na podlagi razcepa na prafaktorje povemo o deljivosti števila?

Razcepimo število 30 na prafaktorje:

30 = 2 · 3 · 5

Na podlagi zgornjega zapisa lahko povemo:

• število 30 je deljivo z 2
• število 30 je deljivo s 3
• število 30 je deljivo s 5
• število 30 je deljivo s 6 (2 · 3 = 6)
• število 30 je deljivo s 15 (3 · 5 = 15)
• število 30 je deljivo s 30 (2 · 3 · 5 = 30, pa tudi sicer je vsako število s samim seboj)
• število 30 je seveda deljivo tudi z 1 (tako kot vsa števila).

Število je torej deljivo z vsemi kombinacijami prafaktorjev.

Koti radi nastopajo v paru, tudi v matematičnih testih. ;)

Kdaj sta kota sokota in kdaj sovršna kota? Kaj pa izmenična kota?

Čeprav se sliši zakomplicirano, si pojme zapomnimo veliko lažje, če si jih predstavljamo vizualno, zraven pa pripišemo še kakšno besedno zvezo. Temu se strokovno reče "dvojno kodiranje" (več o metodi učenja si lahko preberete v našem slovarčku).
 
Mi imamo za vas nekaj predlogov, izmislite pa si seveda lahko tudi svoje.
 
Ko govorimo o sokotih, si lahko predstavljamo ravno cesto z odcepom:

Za sokota je značilno tudi to, da si delita en krak. No, ta krak je v našem primeru cestni krak :).
 
Pri učenju sovršnih kotov si lahko predstavljamo »križkraž« ali črko x:

Za sovršna kota je značilno tudi to, da si delita vrh, na kar lahko sklepamo že iz imena samega. Če seveda vemo, kaj je vrh kota. ;) 
 
Tudi tu se lahko znajdemo - če sta kraka nogi, je vrh kota lahko glava (saj se spomnite »glavonožcev«, ki smo jih risali v vrtcu? :)
 
Pri izmeničnih kotih pa si zopet lahko pomagamo z abecedo, to je lahko črka Z ali pa črka N (kot nalašč obe najdemo tudi v imenu - iZmeNična kota):

Ob pozornem pogledu na zadnjo sliko pa lahko opazimo tako sokote kot tudi sovršne kote. Kot je matematiki že običaj, je tudi tu vse povezano med seboj.

Zato kot že mnogokrat - ne učimo se matematike na pamet, ampak - po pameti! ;)

Pravijo, da slika pove več kot 1000 besed:

Že res, ampak tule vam vseeno malo ​pomagam. ;)

Slika predstavlja dokaj enostavni "recept" za načrtovanje geometrijskih likov, ki se glasi:

"Najprej narišemo tisto, kar je vmes, nato pa še tisto, kar je na levi in na desni strani."

V našem primeru pri trikotniku najprej narišemo kot alfa, nato pa na njem odmerimo še stranici c in b.

"Logiko" si lahko zapomnimo s pomočjo drevesa. če hočemo priti do krošnje, moramo najprej splezati po deblu. ;)

Naloga

Izračunaj, koliko je 721 : 4. V tabeli je že označen "namig":

Raziskave kažejo, da si matematiko si najbolje zapomnimo na podlagi praktičnih primerov, zato pozorno opazujmo naravo okoli sebe in sigurno bomo našli še kaj uporabnega za naslednjo uro matematike. ;)

Pri razstavljanju izrazov moramo biti dobri opazovalci, da pravilno »identificiramo« zapis, na podlagi česar se potem odločimo za postopek.

Seveda obstaja lažji način od učenja vseh kombinacij na pamet, ampak ga včasih učitelji niso veseli. Je pa z njim vseeno možno rešiti kakšno nalogo več.

Omejimo se na dvočlenike, ki jih obravnavamo v osnovni šoli.
​
Najprej je seveda potrebno vedeti, ali izraz razstavljamo ali poenostavljamo. Pri nalogi običajno jasno piše, še vedno pa je dobro »od daleč« videti, kaj bomo počeli: 

Poenostavljeno povedano: zgornji izraz na sliki nima oklepajev, zato ga je potrebno razstaviti, spodnji pa ima oklepaje, zato pri njem pride v poštev poenostavljanje.

V nadaljevanju se posvetimo razstavljanju.

Pri tem imamo v bistvu le dve večji opciji – izpostavljanje skupnega faktorja ali pa Vietovo pravilo:

Oba izraza na zgornji sliki imata tri člene, ampak zgornji ima v prvem členu številski faktor, poleg tega pa ima še različne črke (spremenljivke), medtem ko gre desni po pravilu »spremenljivka na kvadrat, spremenljivka, brez spremenljivke« (govorimo o spremenljivki a na sliki). Zato prvega rešimo z izpostavljanjem skupnega faktorja, drugega pa po Vietovem pravilu.

Se sprašujete, kam sta izginila kvadrat dvočlenika ter produkt vsote in razlike? Brez panike, tudi ta dva tipa razstavljanja si bomo ogledali, jima pa ne bomo dodelili svojega postopka, saj ju je moč rešiti s pomočjo vietovega pravila. V šoli vam pa tega običajno ne povedo, ampak vas naučijo še dva postopka, kot da jih že tako ali tako ni dovolj ...

Najprej si oglejmo prvi »posebni primer«:

Veste, kateri izraz na zgornji sliki predstavlja kvadrat dvočlenika? V bistvu vam sploh ni treba vedeti.

Izraz ustreza »normam« za razstavljanje po Vietovem pravilu, torej ga ne bomo reševali z izpostavljanjem skupnega faktorja. Če bomo kot rezultat dobili dva popolnoma identična faktorja, ju bomo zapisali kot kvadrat, sicer pa enega zraven drugega.

Sedaj pa si oglejmo še situacijo s produktom vsote in razlike:

Če med prvi in drugi člen spodnjega izraza zapišemo »0⋅a«, se vrednost izraza ne spremeni, nova oblika pa je ustrezna za razstavljanje po Vietovem pravilu:

a² + 0⋅a – 9

Razstavljanje marsikomu povzroča kar nekaj težav, a ni potrebno, da je tako. Predvsem se ga ne smemo ustrašiti in tudi če pozabimo kakšno pravilo, imejmo v mislih, da se vedno lahko znajdemo in z nekaj logike račun rešimo nekoliko drugače.

Vemo, da je število deljivo z 2, če se konča z 2, 4, 6, 8 ali 0 ter deljivo s 5, če se konča z 0 ali 5.

Potem pa so tu »naloge z zvezdico«, kjer se naučimo še, da je število deljivo s 4, če sta s 4 deljivi zadnji dve števki oziroma deljivo s 25, če sta s 25 deljivi zadnji dve števki. V primeru, da sta zadnji dve števki enaki 0, je število deljivo tako s 4 kot s 25.

Največji ljubitelji matematike se potem naučijo še to, da je število deljivo z 8, če so z 8 deljive zadnje tri števke.

Prepoznate vzorec? Pri deljivosti s katerim številom si še lahko pomagamo z zadnjimi tremi števkami?

Vrnimo se k deljivosti z 2 in 5. Če pravilo zapišemo podobno kot pravilo za deljivost s 4 in 25, se glasi: Število deljivo z 2, če je z 2 deljiva zadnja števka oziroma deljivo s 5, če je zadnja števka deljiva s 5. Pozabiti pa seveda ne smemo na primer, ko je enica enaka 0. V tem primeru je število deljivo tako z 2 kot s 5.

Po tej analogiji bi moralo obstajati še eno število, pri deljivosti s katerim  si lahko pomagamo z zadnjimi tremi števkami. Kako ga lahko ugotovimo?

Zopet se vrnimo k deljivosti z 2 in 5. Če štejemo naprej po večkratnikih števila 2, se vsak vzorec konča z 0 na mestu enic. Enako velja za štetje po večkratnikih števila 5. Zato je dovolj za deljivost gledati le zadnjo števko.

Če štejemo po večkratnikih števila 4, pa se vsak vzorec konča z »00« na mestu desetic in enic. Enako velja za večkratnike števila 25. Zato moramo za deljivost gledati zadnji dve števki.
​
Enako velja za večkratnike števila 8. Tu se vsak vzorec konča z »000« na zadnjih treh mestih. Vse lepo in prav, a še vedno ne vemo, pri deljivosti s katerim številom si še lahko pomagamo z zadnjimi tremi števkami.

Pomislimo, kakšna povezava obstaja med 2, 5 in 0 na mestu enic. Kaj pa med 4, 25 in »00« na mestu desetice in enice?

2 ∙ 5 je 10, 4 ∙ 25 pa je 100. 4 ∙ 25 lahko zapišemo tudi kot 2² ∙ 5² oziroma (2 ∙ 5)².

Naš odgovor je že skoraj na dlani. Koliko krat 8 je 1000? Oziroma koliko na tretjo potenco krat 2³ je 1000? Po dosedanji logiki 5 na tretjo potenco oziroma 125. Res je, 125 ∙ 8 = (5 ∙ 2)³ = 1000 in število je deljivo s 125, so s 125 deljive zadnje tri števke.

Ne verjamete? Poizkusite s kalkulatorjem in enim zelo velikim številom, recimo 45653454243443375:125. Ni važno, kako veliko je število, pomembne so samo zadnje tri števke.

Za konec pa še vprašanje. Deljivost s katerimi števili lahko še raziščemo na podlagi ugotovljenega?

Kaj ima seštevanje in odštevanje v okviru celih števil skupnega s košarko?

Predstavljajmo si tekmo med plusi in minusi in ves čas spremljajmo razliko v rezultatu:

• najprej plusi zadanejo trojko,
• minusi jim "zabijejo dva koša iz igre" zapored,
• plusi mečejo dva prosta meta in enega zadanejo,
• minusi jim vrnejo trojko,
• plusi izvedejo lepo polaganje (met za 2 točki) ...
  
  

Dogajanje na parketu lahko opišemo z naslednjim računom:

3 -2 -2 +1 -3 +2 

Kakšen je torej trenutni rezultat?

• če seštejemo točke plusov, dobimo 3+1+2=6
• če seštejemo točke minusov, dobimo 2+2+3=7

Minusi imajo eno točko več oziroma "vodijo za eno piko".

​Tudi rezultat računa 3 -2 -2 +1 -3 +2  je enak -1. Minus 1, ker "minusi vodijo za 1 točko".

V nižjih razredih osnovne šole učenci še ne obvladajo "obračanja enačb", zato tako enačbe kot neenačbe rešujejo s poskušanjem.

​Pri enostavnih enačbah to nekako še gre, pri neenačbah pa se zadeva lahko kaj hitro "zavleče". Zato je koristno pri tem uporabiti nekaj logičnega sklepanja.

Oglejmo si primer reševanja neenačbe x+2>=5:

• ​najprej izračunamo enačbo x+2=5 (namesto neenakosti uporabimo enakost), ki predstavlja robni pogoj. X je v tem primeru 3.
  • Ker v neenačbi zastopa tudi enakost (ni "strogo večje", ampak "večje ali enako"), je x=3 tudi ena izmed rešitev.
• zatem preverimo, ali za 1 manjši x (x=2) tudi predstavlja eno izmed rešitev enačbe.
  • ​Če je x enak 2, se neenačba glasi: 2+2>=5. Ker 4 ni večje ali enako 5, x=2 ni rešitev. Sedaj uporabimo logiko. Če x=2 ni rešitev, tudi število, manjše od 2 ne more biti rešitev, saj s prištevanjem 2 tej vrednosti nikakor ne moremo priti do vrednosti 5.
• Kaj pa večja števila? 
  • Če je x enak 4, se neenačba glasi: 4+2>=5. Ker 6 je večje ali enako 5, je tudi x=4 rešitev neenačbe.
  • Če je x enak 5, se neenačba glasi: 5+2>=5. Tudi 7 je večje ali enako 5, zato je tudi x=5 rešitev neenačbe.
  • Sedaj zopet uporabimo logiko. Pomislimo, kaj se bo dogajalo pri še večjih vrednostih x. Leva stran neenačbe bo vedno večja, kar pomeni, da bo tudi za večje x veljalo, da je leva stran enačbe večja ali enaka desni. Rešitev so tako tudi vrednosti x, večje od 5 (6, 7, 8 ...).

Rešitev neenačbe x+2>=5 je torej x>=3.

Opomba: Opisana metoda je primerna za reševanje neenačb v okviru množice naravnih števil + števila 0.

Na tak način lahko rešimo enačbe s seštevanjem in odštevanjem, pri enačbah z  množenjem in deljenjem pa je potrebna previdnost, predvsem če ulomki še niso bili obravnavani. V poštev v tem primeru pridejo samo določene kombinacije števil.

Ko imamo opravka s pozitivnimi števili, ponavadi ni težav, saj »smo z njimi gor rasli«. Pri negativnih številih pa si s »klasičnimi« modeli ne moremo več pomagati (predstavljajte si, da je na avtobusu 5 ljudi, nato pa jih 7 izstopi – mission impossible), zato si je potrebno izmisliti nove. Najdete jih na koncu tega članka, prej pa si odgovorimo še na nekaj vprašanj.

Predznak ali računska operacija?

Kadar množimo ali delimo, ni dileme: če se vmes pojavi kakšen plus ali minus, gre definitivno za predznak.

Pri seštevanju in odštevanju pa zadeva postane že bolj zanimiva, a povsem obvladljiva, če upoštevamo naslednje:

• Predznak v primerjavi z računsko operacijo stoji bližje številu. Pri tem je pomembno, da gledamo na levo stran števila in ne na desno, saj računamo od leve proti desni.
• Predznak stoji skupaj s številom v ločenem oklepaju. Izjema je le, če število stoji na začetku izraza (na skrajni levi). V takem primeru oklepaja ni, ni pa tudi dileme, saj vemo, da znak za računsko operacijo ne more stati na začetku izraza.
  
  

Zakaj pozitivno število ne potrebuje predznaka?

Za predznak je logično, da je negativen, saj pozitivnega ni potrebno pisati, v nalogah pa je potrebna pazljivost, saj nikjer ne piše, da pozitivnega predznaka ne smemo pisati, zato nas učitelji radi presenetijo tudi s kakšnim zapisom v stilu »2+(+3)-(+5) ...«