Otroci se pisnega odštevanja pogosto naučijo po korakih. Vedo, kaj morajo zapisati in kdaj si morajo “izposoditi” eno desetico. Včasih pa kljub temu ne razumejo povsem, kaj se pri računanju zares dogaja.

Zato je koristno, da na isti račun pogledamo z več zornih kotov.

Poglejmo si primer:

35 − 17

1. Klasični algoritem

To je način, ki se ga običajno učimo v šoli.

V okviru naravnih števil ne moremo od 5 odšteti 7 enic, zato eno desetico razstavimo na 10 enic. Tako dobimo 15 enic. Od 15 odštejemo 7 in dobimo 8. Pri deseticah nato od 2 odštejemo 1 in dobimo 1.

Rezultat je 18.

2. Razcep na desetice in enice

Isti račun lahko zapišemo tudi drugače.

Število 35 zapišemo kot 30 + 5, število 17 pa kot 10 + 7. Nato 35 prerazporedimo v obliko, ki nam omogoča lažje odštevanje: 20 + 15.

Zdaj lahko račun zapišemo takole:

20 + 15 − 10 − 7 = 18

Pri tem otrok lažje vidi, da števila nismo spremenili, ampak smo ga samo zapisali v obliki, ki nam bolj pomaga pri računanju.

3. Uporaba negativnih števil

Račun lahko pogledamo tudi s pomočjo negativnih števil.

Če od 5 odštejemo 7, pri enicah dobimo −2. Pri deseticah po odštevanju ostaneta 2 desetici, torej 20. Zdaj imamo skupaj 20 in −2.

Če 20 razdelimo na 18 + 2, se +2 in −2 izničita, ostane pa 18.

Ta način je zanimiv predvsem zato, ker pokaže, kaj se skriva za običajnim postopkom.

4. Uporaba negativnih števil (grafično)

Enako idejo lahko pokažemo tudi bolj slikovno.

Če od 5 odštejemo 7, nam manjkata 2 enici. To si lahko predstavljamo kot dve “luknji”. Eno desetico zamenjamo za 10 enic. Dve enici zapolnita obe luknji, ostane pa še 8 enic.

Skupaj z eno desetico dobimo 18.

Pri seštevanju in odštevanju si lahko pomagamo tako, da si zamislimo vožnjo z dvigalom. Tako si otrok lažje predstavlja, kaj se pri računu dogaja.

Pomagamo si s preprostim pravilom:

• Pri seštevanju se peljemo gor.
• Pri odštevanju se peljemo dol.

Oglejmo si račun 5 + 3 = 8.
Predstavljamo si, da vstopimo v dvigalo v 5. nadstropju. Nato se peljemo za 3 nadstropja gor. Izstopimo v 8. nadstropju.

Poglejmo še račun 5 – 3 = 2.
Tudi tukaj vstopimo v dvigalo v 5. nadstropju. Tokrat pa se peljemo za 3 nadstropja dol. Izstopimo v 2. nadstropju.

Tak način je otrokom pogosto zelo blizu. Račun ni več samo zapis števil in znakov, ampak postane nekaj, kar si lahko predstavljajo. Nekje vstopijo, se premaknejo in nekje izstopijo.

Ko otrok pri računu ne ve, kako naprej, mu lahko pomagamo s tremi preprostimi vprašanji:

• Kje vstopim?
• Ali grem gor ali dol?
• Kje izstopim?

Če zna odgovoriti na ta vprašanja, pogosto že veliko lažje razume tudi sam račun.

Poskusimo še z nekaj primeri.
Pri računu 4 + 2 = 6 vstopimo v 4. nadstropju, se peljemo gor za 2 nadstropji in izstopimo v 6. nadstropju.
Pri računu 9 – 4 = 5 vstopimo v 9. nadstropju, se peljemo dol za 4 nadstropja in izstopimo v 5. nadstropju.
Pri računu 3 + 5 = 8 vstopimo v 3. nadstropju, se peljemo gor za 5 nadstropij in izstopimo v 8. nadstropju.

Ko otrok račun začuti kot premikanje, ga pogosto lažje razume in si ga tudi bolje zapomni. Prav zato je predstava dvigala lep in preprost pripomoček za razumevanje seštevanja in odštevanja.

Če pozabimo pravilo o vsoti kotov v trikotniku, si lahko pomagamo z razmišljanjem.

Predstavljajmo si, da trikotnik vedno bolj sploščimo. Eno oglišče potiskamo proti nasprotni stranici. Pri tem se en kot vedno bolj veča in se približuje 180°, druga dva kota pa postajata vedno manjša in se približujeta 0°. Na koncu trikotnik skoraj postane ravna črta.

To nam pomaga razumeti, da se vsi trije koti skupaj “razporedijo” v ravni kot, torej v kot 180°.

Ko se učenci prvič srečajo s pravili deljivosti, se pogosto zdi, kot da jih je preveč. Deljivost z 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10 … in še kakšno. Pa v praksi res potrebujemo vsa pravila?

Kratek odgovor: ne.

V praksi zadostuje, da dobro obvladamo deljivost z 2, 3, 5 in 10:

• 2 → število je sodo
• 5 → konča se na 0 ali 5
• 10 → konča se na 0
• 3 → vsota števk je deljiva s 3

Tudi pravilo za 10 je v resnici poseben primer kombinacije drugih pravil, a ga je smiselno obdržati, ker je izjemno pregledno: preprosto gledamo ničle na desni.

Vsa ostala pravila (za 4, 6, 8, 9 …) pa so zgolj posledica osnovnih, zato jih pri vsakdanjem računanju pogosto sploh ne potrebujemo.

Kako to izkoristimo pri krajšanju ulomkov?

Namesto da takoj razmišljamo o zapletenih pravilih, je najbolj učinkovita naslednja strategija:

• Začnemo z 10 (če imata števec in imenovalec ničle na koncu, te preprosto prečrtamo); to je najhitrejši korak, ki pogosto že opazno poenostavi ulomek.
• Nadaljujemo z 2 in 5 (če sta obe števili sodi, delimo z 2; če se obe števili končata z 0 ali 5, delimo s 5)
• Nazadnje preverimo deljivost s 3.

Prva dva koraka sta hitra in enostavna, zato je smiselno, da deljivost s 3 preverimo na koncu, ko sta števili že manjši.

Kako najlažje krajšamo (oziroma poenostavljamo) ulomke s števci in imenovalci, manjšimi ali enakimi 100?

V tem primeru je koristno števila razbiti na prafaktorje, nakar skupne faktorje števca in imenovalca preprosto prečrtamo.

Z zapisom števil, ki je prikazan v zloženki za grafično računanje, pri krajšanju ulomka preprosto prečrtamo krožce enake barve.

Poštevanka je običajno glavna tema v tretjem razredu osnovne šole. Predvsem pri tistih, ki je ne usvojijo »mimogrede«. Mnenja so različna – nekateri zagovarjajo avtomatizirano pomnjenje z »drilom«, brez pretiranega razmišljanja, drugi bolj inženirski pristop – z opazovanjem povezav in medsebojnih odvisnosti.

List s triki in nasveti si lahko brezplačno prenesete preko povezave:

Pri reševanju nalog s sklepanjem moramo vedno poznati vrednost treh količin, da lahko izračunamo četrto količino, ki je neznana.

Tudi naloge z odstotki lahko računamo s sklepanjem.

Oglejmo si primer.

25 % od 60 kg = x kg

Iz naloge razberemo dva podatka in eno neznanko:

• ​25 % (podatek)
• 60 kg (podatek)
• x kg (neznanka)

Pripravimo nastavek za sklepanje (levo odstotki, desno kilogrami):

25 % . . . . . . . x kg
    ???  . . . . . . . 60 kg

Vidimo, da en podatek manjka. 

Ker smo izbrali, da bodo na levi strani odstotki, na desni pa kilogrami, vidimo, da bi tam, kjer so trije vprašaji, moral biti nek podatek v odstotkih.

Kaj pa predstavlja podatek 60 kg? Celoto, seveda. Koliko odstotkov pa znaša celota? Ja, 100 % :)

In smo dobili "Skriti podatek": Celota je 100 %.

Naš nastavek za sklepanje se tako v celoti glasi:

   25 % . . . . . . .  x kg
100 %  . . . . . . . 60 kg

Izračunati pa ga poskusite sami. ;)

Vedno množimo praštevila.  Ampak katera? In koliko?

Pomislimo. Delitelji posameznega števila so manjši, kvečjemu enaki številu samemu. Zato največji skupni delitelj nikoli ne bo večji od najmanjšega posameznega števila.

Po drugi strani so večkratniki števil večji, kvečjemu enaki številu samemu. Zato najmanjši skupni večkratnik nikoli ne bo manjši od največjega posameznega števila.

Kaj je torej potrebno pomnožiti?

Ko iščemo največji skupni delitelj, iščemo manjše število kot pri iskanju najmanjšega skupnega večkratnika. Naj nas besedi največji in najmanjši ne zavedeta! Najmanjši skupni delitelj je večji od največjega skupnega večkratnika!

Pravilo za sestavljanje majhnega števila mora biti torej strožje od pravila za sestavljanje velikega števila.

Zato:

• za največji skupni delitelj zmnožimo samo ujemajoča se praštevila pri razcepu posameznega podanega števila na prafaktorje,
• za najmanjši skupni večkratnik pa zmnožimo vsa praštevila, ki se pojavijo (pri razcepu katerega koli podanega števila) in sicer na najvišjo potenco, ki se pojavi za to praštevilo.

Kaj lahko na podlagi razcepa na prafaktorje povemo o deljivosti števila?

Razcepimo število 30 na prafaktorje:

30 = 2 · 3 · 5

Na podlagi zgornjega zapisa lahko povemo:

• število 30 je deljivo z 2
• število 30 je deljivo s 3
• število 30 je deljivo s 5
• število 30 je deljivo s 6 (2 · 3 = 6)
• število 30 je deljivo s 15 (3 · 5 = 15)
• število 30 je deljivo s 30 (2 · 3 · 5 = 30, pa tudi sicer je vsako število s samim seboj)
• število 30 je seveda deljivo tudi z 1 (tako kot vsa števila).

Število je torej deljivo z vsemi kombinacijami prafaktorjev.

Koti radi nastopajo v paru, tudi v matematičnih testih. ;)

Kdaj sta kota sokota in kdaj sovršna kota? Kaj pa izmenična kota?

Čeprav se sliši zakomplicirano, si pojme zapomnimo veliko lažje, če si jih predstavljamo vizualno, zraven pa pripišemo še kakšno besedno zvezo. Temu se strokovno reče "dvojno kodiranje" (več o metodi učenja si lahko preberete v našem slovarčku).
 
Mi imamo za vas nekaj predlogov, izmislite pa si seveda lahko tudi svoje.
 
Ko govorimo o sokotih, si lahko predstavljamo ravno cesto z odcepom:

Za sokota je značilno tudi to, da si delita en krak. No, ta krak je v našem primeru cestni krak :).
 
Pri učenju sovršnih kotov si lahko predstavljamo »križkraž« ali črko x:

Za sovršna kota je značilno tudi to, da si delita vrh, na kar lahko sklepamo že iz imena samega. Če seveda vemo, kaj je vrh kota. ;) 
 
Tudi tu se lahko znajdemo - če sta kraka nogi, je vrh kota lahko glava (saj se spomnite »glavonožcev«, ki smo jih risali v vrtcu? :)
 
Pri izmeničnih kotih pa si zopet lahko pomagamo z abecedo, to je lahko črka Z ali pa črka N (kot nalašč obe najdemo tudi v imenu - iZmeNična kota):

Ob pozornem pogledu na zadnjo sliko pa lahko opazimo tako sokote kot tudi sovršne kote. Kot je matematiki že običaj, je tudi tu vse povezano med seboj.

Zato kot že mnogokrat - ne učimo se matematike na pamet, ampak - po pameti! ;)

Pravijo, da slika pove več kot 1000 besed:

Že res, ampak tule vam vseeno malo ​pomagam. ;)

Slika predstavlja dokaj enostavni "recept" za načrtovanje geometrijskih likov, ki se glasi:

"Najprej narišemo tisto, kar je vmes, nato pa še tisto, kar je na levi in na desni strani."

V našem primeru pri trikotniku najprej narišemo kot alfa, nato pa na njem odmerimo še stranici c in b.

"Logiko" si lahko zapomnimo s pomočjo drevesa. če hočemo priti do krošnje, moramo najprej splezati po deblu. ;)