Rumeno pravilo" seštevanja in odštevanja že poznamo, za naziv "mojster reševanja matematičnih izrazov" pa moramo spoznati še t.i. oranžno pravilo množenja in deljenja. Kot vemo, so seštevanje, odštevanje, množenje in deljenje osnovne matematične operacije. Vemo tudi, da imata množenje in deljenje v računskih izrazih prednost pred seštevanjem in odštevanjem. "Oranžno pravilo" bo imelo torej prednost pred "rumenim". Pravilo množenja in deljenja uporabimo pri:
Za množenje oziroma deljenje dveh členov se pravilo glasi:
Oglejmo si ga še v grafični obliki (več o pomenu krožcev si lahko ogledate v članku o računanju s simboli): Pomni! Situacijo, ko je pred oklepajem samo minus, upoštevamo kot množenje (-1) s členi v oklepaju, torej se vsem členom v oklepaju zamenja predznak! V primeru več členov pa pravilo lahko posplošimo:
Pomni! Potenciranje števila upoštevamo kot množenje števila s samim seboj (tolikokrat, kolikor je vrednost eksponenta); v primeru potenciranja negativnega števila (minus je znotraj oklepaja, na primer (-5)²) je zato končni predznak odvisen od tega, ali je eksponent liho ali sodo število! Potenciranje posameznega števila vedno izvedemo pred množenjem z ostalimi faktorji znotraj posameznega člena! V izrazu 3⋅(-3)² recimo najprej izračunamo (-3)²=9 in nato šele 3⋅9=27. V istem koraku kot potenciranje izvedemo tudi korenjenje, a zanj oranžnega pravila ne uporabljamo. Ideja: Člen, znotraj katerega bomo uporabili oranžno pravilo, lahko obkrožimo z oranžno in ga pobarvamo. Po uporabi oranžnega pravila nastanejo novi členi, katere le obkrožimo z oranžno barvo. Z oranžno barvo lahko obkrožimo tudi ostale člene, kjer oranžnega pravila ni potrebno uporabiti. Tako dobimo pregleden "zemljevid" členov, ki jih bomo potrebovali za končen izračun po rumenem (aritmetika - samo številke) oziroma zelenem in rumenem (algebra - številke in črke) pravilu. Primer uporabe oranžnega pravila v aritmetičnem izrazu Primer uporabe oranžnega pravila v algebrskem izrazu
0 Comments
"Kakšno pravilo pa je že spet to?" boste nemara pripomnili. Brez panike, to pravilo ni le še ena kaplja v morju pravil, med katerimi se ne znajdete več. Da bi vam olajšali pot iz matematične zagate, smo za vas pripravili nekaj temeljnih pravil za računanje. In jih poimenovali kar po barvah, česar boste veseli predvsem "vizualni tipi". Vsako izmed pravil bomo predstavili posebej, potem pa se bomo nanje po potrebi sklicevali. Videli boste, da teh pravil niti ni toliko, kot si mislimo. Vsaj ne osnovnih. Kar nakazuje, da matematika res ni tako težka, kot se zdi na prvi pogled :) Začnimo z najosnovnejšim pravilom računanja, pravilom o seštevanju in odštevanju. Pravilo seštevanja in odštevanja uporabimo pri:
Pravilo se glasi:
Pri računanju si lahko pomagamo tudi s tabelo. Pozor! V algebri (številke in črke) podobne člene seštevamo / odštevamo ločeno, saj "hrušk in jabolk" seveda ne moremo seštevati :). Ideja (aritmetika - samo številke): Števila, na katerih bomo uporabili rumeno pravilo, lahko obkrožimo z rumeno in jih pobarvamo. Primeri uporabe rumenega pravila v aritmetičnem računskem izrazu Ideja (algebra - številke in črke): Na koncu računa, ko imamo le še "kačo" členov, vsak člen obkrožimo z oranžno barvo, pod členi pa z zeleno barvo označimo posamezne podobne člene (ravna črta, vijugasta črta, poševno črtkana črta, ...) Tako dobimo pregleden "zemljevid" podobnih členov, ki nam bo olajšal končen izračun po rumenem pravilu z upoštevanjem grupiranja podobnih členov (zeleno pravilo). Primer končne "kače" členov; členi so obkroženi z oranžno barvo in nato grupirani po zelenem pravilu. Znotraj vsake "zelene" skupine je uporabljeno rumeno pravilo; ravna črta so a-ji, vijugasta b-ji, poševno črtkana črta pa predstavlja številske člene.
Lepota matematike je (med drugim) tudi v tem, da se je marsikaj potrebno naučiti samo na pol12/8/2018 V matematiki najdemo veliko računskih operacij, ki so med seboj obratne. To pomeni, da rezultat prve operacije z drugo operacijo vrnemo nazaj v začetno stanje. Vsakdo od vas bi si verjetno želel matematične operacije, ki bi vašo razmetano sobo pospravila nazaj v "pospravljeno stanje" ;)
"In kje je sedaj tisti del, ki pravi, da se je potrebno naučiti samo na pol?" boste dejali. Če sta računski operaciji obratni, je dovolj, da se določenega postopka naučimo le za prvo, za drugo pa vemo, da omenjeni postopek "obrne na glavo". Oglejmo si primer. Množenje in deljenje sta obratni računski operaciji. Če vemo, da vsako množenje z 10 rezultatu doda ničlo (oziroma decimalno mesto premakne v desno), jo bo vsako deljenje z 10 odvzelo (oziroma decimalno mesto premaknilo v levo). Naštejmo nekaj najbolj pogosto uporabljanih računskih operacij, ki so med seboj obratne:
Oglejmo si še en primer za potenciranje in korenjenje, konkretno za kvadrat in kvadratni koren:
Včasih dve obratni računski operaciji najdemo kar v enem računu, česar se še posebej razveselimo, saj ena operacija izniči drugo, tako da nam sploh ni potrebno ničesar računati :) Oglejmo si nekaj primerov:
Ste vedeli, da se je tudi poštevanke dovolj naučiti le na pol? Za to pa ima zaslugo zakon o zamenjavi, ki velja za množenje. 3·4 je tako enako 4·3 in tako naprej ... Zakon o zamenjavi velja tudi za seštevanje. Načeloma račune z oklepaji štejemo med težje račune. A brez panike, oklepaji niso nič strašnega. Tu so zato, da nam pomagajo.
Razdelimo jih lahko v dve skupini:
Prvi določajo vrstni red računskih operacij v izrazu (oklepaje razrešujemo najprej, nato sledita množenje in deljenje, na koncu pa seštevanje in odštevanje). Primer 1:
Oklepaji v drugi skupini pa preprečujejo zaporeden zapis matematičnih operacij in so nekakšna "zaščita" negativnih členov. Primer 2:
Pogosto se zgodi, da se v računskem izrazu ena vrsta oklepaja preoblikuje v drugo. Primer 3:
Tako oklepaj iz prve kot tudi iz druge skupine se lahko pojavi v kombinaciji z eksponentom. V takih primerih moramo biti še posebej pazljivi, saj:
Primer 4:
Primer 5:
Pomembno! Za razliko od eksponenta pri korenu uporaba dodatnega oklepaja ni potrebna - koren se upošteva vedno za celoten izraz, ki se "skriva pod njim"! V aritmetiki (samo številke) matematični izraz v oklepaju iz prve skupine običajno izračunamo, medtem ko ga v algebri (številke + črke) ne moremo (hrušk in jabolk pač ne moreš enostavno sešteti ;)), zato v okviru algebre srečamo tudi različne kombinacije oklepajev iz prve in/ali druge skupine. Sem spada:
Primer 6:
Ste se pri iskanju ničel polinoma kdaj spraševali, zakaj ima ničla vedno nasprotni predznak od predznaka, ki se pojavi v oklepaju razstavljenega polinoma?
Če ste se, je to dober znak, saj želite razumeti, kaj počnete in to je pri matematiki ključnega pomena. Za primer vzemimo polinom: f(x)=x²-x-6 Ko ga razstavimo, dobimo: f(x)=(x-3)(x+2) Ničlo poiščemo tako, da polinom izenačimo z 0: (x-3)(x+2)=0 Da bo zmnožek oklepajev enak 0, mora biti vrednost vsaj enega oklepaja enaka 0, torej:
Če želimo, da bo x-3 enak 0, mora biti vrednost x enaka 3, saj je 3-3 enako 0. K -3 moramo torej postaviti njegovo nasprotno vrednost, da bosta skupaj enaka 0. Na enak način moramo za zagotovitev rezultata x+2=0 k +2 postaviti njeno nasprotno vrednost -2, da bosta skupaj enaka 0. Rešitvi enačbe (in hkrati ničli polinoma) sta torej
Vsako naravno število si lahko predstavljamo na dva načina:
Razlago pa lahko razširimo tudi na cela in racionalna števila. Pri tem upoštevamo:
V nadaljevanju ostanimo pri naravnih številih, da razlaga ne bo preveč zapletena. Število kot vsota Najmanjša vrednost seštevancev pri vsoti je 1. Število 1 si pri seštevanju lahko predstavljamo kot "osnovni delec seštevanja". Za lažje računanje te osnovne delce združujemo v večje skupine, v desetiškem sistemu so to desetice (10 enic), stotice (100 enic) itd. Pri vsoti je pomembno tudi število 0, ki ga imenujemo nevtralni element za seštevanje. Zanj je značilno, da njegovo prištevanje (ali odštevanje) ne spremeni rezultata. Število kot produkt Pri množenju je pa "osnovnih delcev" več. Le-te predstavljajo praštevila (to so števila, k so deljiva samo s številom 1 in s samim seboj). Zapis števila z "osnovnimi delci množenja" imenujemo tudi razcep na prafaktorje. Pri produktu je pomembno tudi število 1, ki ga imenujemo nevtralni element za množenje. Zanj je značilno, da množenje z njim ne spremeni rezultata. Grafični predstavitvi števila 24 izhajata iz naše didaktične matematične namizne igre, predstavitev katere si lahko ogledate na Facebook strani www.facebook.com/ucenjezigro/. Marsikdo se pri nalogah z razreševanjem trikotnika znajde pred vprašanjem, kateri izrek uporabiti. Je to nemara sinusni, kosinusni, morda Pitagorov? Ali pa le kotne funkcije. Da se boste v tovrstnih situacijah lažje znašli, smo vam pripravili naslednji algoritem: Nekaj navodil za tolmačenje algoritma:
Sinusni izrek si lahko zapomnimo grafično ... ... ali pa s pomočjo verza: Če kot in stranica stojita SI Nasproti, trikotnika s SINusnim izrekom se loti! Tudi kosinusni izrek si lažje zapomnimo, če si ga narišemo ... ... ko pa nas misli popeljejo v naravo, si lahko barvno pudarjen del predstavljamo kot KOSov kljun :) Pitagorov izrek ni nič drugega kot posebna oblika kosinusnega izreka, ko je kot med stranicama na zgornji sliki enak 90° in obarvani del enačbe "pade", saj je cos 90° enak 0. Pomembno! Enačb se ne učite na stranico in kot določeno! Stranice so lahko označene z a, b in c, predstavljamo pa si jih praktično lahko kot karkoli ... recimo kot živali :) Kotnih funkcij se nam ni potrebno učiti vseh "na pamet". Preden povemo, kako to doseči, ponovimo razliko med katetami in hipotenuzo (to so stranice v pravokotnem trikotniku, če kdo slučajno še ne ve): Kateti sta kratki, to ime že pove. Hipotenuza pa dooooolga, ni konca, ne kraja le-te. Kotne funkcije so štiri (sinus, kosinus, tangens in kotangens), a "na pamet" se moramo naučiti le enačbi za prvi dve ... Če kot in kateta stojita SI Nasproti, SINus vržem v račun, ko pa hodita po isti poti, kosinus na to ne bo imun. Sinus in kosinus, kje je tu fora? Enačbi zanju sta kot ledena gora. Stranica krajša gor' in daljša dol', Ne en ne drug večji od 1 ne bo nikol'. ... medtem ko preostali dve kotni funkciji (tangens in kotangens) enostavno izpeljemo...ali pa kar zapojemo: Enačbi za sinus in kosinus se naučim, za tangens pa kar prvega z drugim delim. Če pa kotangens koga zanima še, naj tangens na glavo obrne le. V šoli se verjetno sklepni in odstotni račun učite ločeno. Ko pride na vrsto preverjanje znanja, so pa naloge seveda pomešane. Da bi v množici nalog znali najti pravilni način reševanja, smo vam pripravili naslednji algoritem odločanja. Naj vas opozorimo, da pri opisanem postopku ne računamo s "klasično" odstotno enačbo, kjer nastopajo delež, relativni delež in osnova. Ta enačba je zelo "prikladna" za tiste, ki se učijo na pamet, a postane že ob prvi nekoliko bolj zapleteni nalogi popolnoma neuporabna. Zato vam bomo reševanje tekstnih nalog, tako z odstotki kot s sklepanjem, predstavili na enoten način - s starim, dobrim sklepnim računom. Algoritem izgleda takole: Na začetku se vedno vprašamo, če naloga vsebuje odstotke (procente). Če jih vsebuje, že takoj vemo, da gre za premo sorazmerje. Pripravimo tabelo: Legenda:
Pri tej tabeli je pomembno še:
Posivljenih polj ne spreminjamo - so vedno enaka! Praktični primer: Če naloga ne vsebuje odstotkov, si zastavimo dodatno vprašanje: "Če več dam, dobim..." Na prvi pogled vprašanje izgleda nekoliko čudno, zato ga raje razložimo s praktičnima primeroma:
Pripravimo tabelo: Legenda:
Pri tej tabeli je pomembno še:
Posivljenih polj ne spreminjamo - so vedno enaka. Praktični primer za premo sorazmerje: Praktični primer za obratno sorazmerje: Opomba: Če se v nalogah pojavi več neznank, je potrebno za izračun vsake od teh nastaviti nov sklepni račun. Neznanke računamo po vrsti, z vsakim sklepnim računom eno.
Število lahko zapišemo v obliki ulomka, decimalnega zapisa ali pa z odstotkom. To še nekako vemo, ko pa je potrebno pretvarjati med zapisi, se pa rado zatakne.
Tukaj je nekaj napotkov:
Znak za računsko operacijo oziroma predznak "pripada" vedno tistemu, ki je na njegovi desni strani26/12/2017 Seštevanje in odštevanje (oziroma predznak + in -)
Marsikaterega učenca pri učenju računanja z izrazi zmede takle primer: 5+6-3+2-7+4 "Kje moram sedaj upoštevati minus med 6 in 3? Na levi ali na desni strani?" Veliko lažje nam je, če si zgornji primer predstavljamo takole: 5+6-3+2-7+4 Vsak par računske operacije in števila, ki mu sledi, smo obarvali z enako barvo. Sedaj točno vemo, da minus med 6 in 3 pripada številu na desni strani, torej trojki. "Katera računska operacija pa pripada petici na začetku računa?" Na začetku računa ni nobene računske operacije, ima pa zato prvo število predznak (predpostavimo, da smo v množici celih števil). Predznak petice je "+", zato ga ne zapisujemo (pred števili zapisujemo le predznak "-") Predznak celega števila pa si lahko predstavljamo tudi kot računsko operacijo seštevanja:
Glede na to lahko naš račun zapišemo kot: 0+5+6-3+2-7+4 Tudi ničle na začetku računa nima smisla zapisovati, tako da je končni izgled našega računa naslednji: +5+6-3+2-7+4 V enem izmed naših prejšnjih zapisov smo omenili, da je odštevanje enako prištevanju nasprotne vrednosti oziroma vrednosti z zamenjanim predznakom ("+" v "-" in obratno). Če si predstavljamo vse enako obarvane pare v zgornjem računu kot seštevanje števil z različnimi predznaki, lahko enostavno seštejemo vsa pozitivna (5+6+2+4 = 17) in negativna (3+7 = 10) števila ter ju odštejemo med seboj, "zmaga" pa predznak "večje skupine", v našem primeru "+", saj je 17 več od 10. Množenje in deljenje Oglejmo si še en primer: 20:5⋅3 "Moram najprej deliti s 5 in nato množiti s 3?" "Moram deliti tako s 5 kot s 3?" Obarvajmo račun enako kot v prejšnjem primeru: 20:5⋅3 Sedaj vidimo, da s 5 delimo, s 3 pa množimo. Ker sta množenje in deljenje enakovredni računski operaciji, vrstni red pri tem ni pomemben. Kaj pa storimo z 20? Ker vemo, da množenje števila z 1 ne spremeni vrednosti le-tega, lahko zapišemo: (20⋅1):5⋅3 Po zakonu o zamenjavi velja tudi: (1⋅20):5⋅3 Ker so vse operacije v računu enakovredne, lahko oklepaj odstranimo: 1⋅20:5⋅3 Sedaj vidimo, da tudi z 20 množimo. Enica na začetku pa naj nas ne moti, saj ne glede na to, ali z njo množimo ali delimo, ne spremeni vrednosti člena (podobno kot prištevanje ali odštevanje ničle nekemu členu ne spremeni vrednosti izraza - glej prvi del tega zapisa). V enem izmed naših prejšnjih zapisov smo omenili, da je deljenje enako množenju z obratno vrednostjo. Če si predstavljamo vse enako obarvane pare v zgornjem računu kot množenje števil ter njihovih obratnih vrednosti, lahko enostavno zmnožimo vsa števila, ki imajo pred seboj znak množenja (20⋅3=60) ter števila, ki imajo med seboj znak deljenja (5) števila ter jih postavimo na ulomek (ulomek je enak deljenju). 60 postavimo v števec in 5 v imenovalec. Ko ulomek okrajšamo, dobimo 12. To pa je tudi rešitev našega računa. Zakon o zamenjavi (komutativnostni zakon) Zakon o zamenjavi velja le za seštevanje in množenje, za odštevanje in deljenje pa ne. Na primer:
Če odštevanje obravnavamo kot prištevanje nasprotne vrednosti odštevanca, si račun 6-3 lahko predstavljamo kot seštevanje števil +6 in -3. Ta vrstni red pa lahko zamenjamo, tako da velja:
In če na podoben način deljenje obravnavamo kot množenje z obratno vrednostjo delitelja, lahko zapišemo:
|
ARHIV
December 2023
KATEGORIJE
All
|