Deljenje. Za nekoga "u izi, navadn", za drugega nočna mora. Najlažje je, če si ga predstavljamo "v živo". Ko ga enkrat dojamemo, je res povsem "simpl" :) Prva težava se ponavadi pojavi že pri samih izrazih. Zakaj neki deljenec, delitelj in količnik? Imajo mogoče koliščarji kaj tu zraven?? Vam je zdaj kaj bolj jasno? Vidite, da koliščarjev res ni bilo zraven :) Ostanimo še nekoliko pri enakih delih. Veste, da si z deljenjem lahko pomagamo pri delitvi pravokotnika na enake dele? Če smo povsem iskreni, gredo tu zasluge bolj množenju, obratni operaciji deljenja. Aja, pa ulomek je isto kot deljenje, če ste slučajno pozabili ;) Za lažjo predstavo si oglejte še našo igro "Matematični osvajalci".
0 Comments
Pri množenju z 10 se decimalna vejica premakne za eno mesto v desno, pri deljenju z 10 pa za eno mesto v levo.
Kako si to najlažje zapomnimo? Preprosto. Premik decimalne vejice v desno pomeni povečanje vrednosti števila, saj ima celi del le-tega več števk, premik decimalne vejice v levo pa zmanjšanje vrednosti števila, saj ima celi del le-tega manj števk. Ker množenje s številom, večjim od 1 pomeni povečanje vrednosti, deljenje pa zmanjšanje le-te, je zadeva dokaj logična :) V matematiki se velikokrat zgodi, da nekaj dejansko je tam, a tega ne vidimo ... in - papa točka ali dve pri kontrolki :( Matematika je sinonim za urejenost, zato mora pri zapisih vse "lepo izgledati", brez "odvečne krame" in med to "kramo" spada tudi nekaj predznakov in znakov za računske operacije. Lahko pa si zadevo predstavljamo tudi drugače, zamislimo si, da so matematiki le leni in se jim teh znakov enostavno ne da pisati :) Oglejmo si nekaj najznačilnejših primerov. Znak za množenje med spremenljivkami kljub temu, da znaka za množenje med spremenljivkami (črkami v računih) ne pišemo, moramo vedeti, da je tam. A pozor: Znak za množenje med številkami je nujen! Predznak + pred prvim členom v računskem izrazu Če pred prvim členom v računskem izrazu ni predznaka, to pomeni, da je le-ta pozitiven. A pozor! Če je prvi člen negativen, moramo predznak nujno zapisati! Katerega izmed faktorjev je potrebno postaviti nad in katerega pod ulomkovo črto? Vsi številski faktorji znotraj posameznega člena imajo levo od sebe znak za množenje ali deljenje. Glede na to tudi vemo, kam jih postavimo, če člen želimo zapisati v obliki ulomka. Množenje vodi v "zgornje nadstropje" (števec), deljenje pa v "spodnje nadstropje" (imenovalec ulomka) :) Posebnost pa je faktor na skrajni levi. Tega vedno zapišemo v števec ulomka. Zakaj? Oglejmo si primer na spodnji sliki. Levo od prvega številskega faktorja si predstavljajmo še en faktor - enico, s katero pomnožimo celoten člen (vrednost člena se pri tem seveda ne spremeni, saj množenje z 1 ne spremeni rezultata). Trojka tako predse dobi znak za množenje, kar jo "pelje" v števec ulomka. Enice pa v ulomku tako ali tako ni potrebno pisati (razen če bi bila edina v števcu ali imenovalcu). Pozor! Če je pred številskim faktorjem na skrajni levi slučajno predznak + ali -, ta ne vpliva na zgoraj povedano, saj se nanaša na celoten člen. Preprosto ga prepišemo pred ulomek. Kaj se nahaja med celim delom in ulomkom? Odvisno. Če gre za števila, je vmes plus. Če pa imamo spremenljivke (črke), je vmes krat. Ničle na skrajni levi in skrajni desni strani decimalnega zapisa Ničel levo od prve števke celega dela števila in desno od zadnje neničelne decimalke (števke v decimalnem delu števila) ne pišemo: Decimalna vejica pri celem številu?
Celo število ne vsebuje decimalne vejice, je pa pri deljenju takega števila z večkratniki števila 10 dobro vedeti, "od kje pride". Vejica namreč "potrpežljivo čaka" na desni strani števke, ki v mestnovrednostnem konceptu predstavlja enico. Postopkov je v matematiki celo morje. Eni so bolj "na kožo pisani" enim, drugi drugim. Rdeča nit vseh skupaj pa je - razumevanje. Sam postopek je brez razumevanja matematičnega ozadja povsem brez pomena, saj nikoli ne moremo vedeti, ali smo nekaj izračunali prav ali narobe. Po drugi strani pa tak postopek hitro pozabimo ali si ga zapomnimo površno, kar pa nam tudi prav nič ne koristi :)
Pri tem postopku se moramo dobro poznati pojem negativnih števil ter razumeti vrednost desetiških enot. Postopek se od "klasičnega" razlikuje po tem, da ne zahteva dopisovanja "malih številk" pri prehodu čez desetico. Le-te namreč lahko kaj hitro zapišemo na napačno stran števke in posledično upoštevamo pri napačni desetiški enoti (še posebej, če nas različni učitelji navajajo na zapisovanje na različnih straneh), kar vodi k nepravilnemu rezultatu. Kot vidimo v spodnjem primeru, nam pri deseticah preglavice povzroča prehod čez stotico, pri enicah pa prehod čez desetico, zato najprej odštejemo le stotici, omenjena prehoda pa kasneje "korigiramo" z odštetjem "odvečnih" desetic in enic (če smo natančni, prištetjem negativnih desetic in enic). Veste, da lahko z eno samo vajo "opravite" s kar tremi računskimi operacijami oziroma postopki? Oglejmo si, kako lahko naenkrat utrjujemo:
Vaja je sestavljena iz treh delov. Najprej pisno zmnožimo dve števili in si zabeležimo rezultat, saj ga bomo še potrebovali. Množitelj je lahko eno- ali dvomestno število, odvisno od razreda in volje ;) V drugem delu vaje množenec razstavimo na desetiške enote (v našem primeru stotice, desetice in enice) in vsako posebej množimo z množiteljem. Ko posamezne zmnožke seštejemo, dobimo isto število kot v prvem koraku. S tem smo s pomočjo zakona distributivnosti (več o njem na naslovu tinyurl.com/yctv72wg) dokazali pravilnost izračuna v prvem koraku. Izračun seveda lahko preverimo tudi s kalkulatorjem, ampak če smo ga na dva načina rešili enako, si pa že lahko zaupamo ;) V zadnjem delu pa račun še "obrnemo".
Sedaj zmnožek iz prvega in drugega dela (upajmo, da v obeh primerih dobimo enakega ;) ) delimo z množiteljem in če gre vse tako, kot mora iti, dobimo "nazaj" množenca. S tem smo opravili še končni preizkus in lahko rečemo, da zadevo obvladamo ;) Pravijo, da slika pove več kot tisoč besed. Zato smo sklenili tole temo predstaviti kar v stripu. Prehod čez desetico zna biti trd oreh, če dogajanja pri tem "pojavu" ne razumemo povsem dobro, saj poznavanje le-tega igra odločilno vlogo tudi pri računanju z večjimi števili, tako pri seštevanju kot pri odštevanju. Pri prehodu čez desetico (tako kot tudi pri prehodu čez stotico, tisočico ...) je najpomembnejše dejstvo, da je v vsakem stolpcu (enic, desetic, stotic ...) na voljo le eno številsko mesto. Na tretji sličici vidimo, da desna števka ostane v "modrem" stolpcu enic, leva pa mora "na pot" v sosednji stolpec, k deseticam. V stripu je uporabljena enaka barvna koda, kot smo jo uporabili pri naši Čisti stotici (https://www.facebook.com/ucenjezigro).
Četrta sličica prikazuje "običajno stanje" v naših zvezkih (oziroma v zvezkih naših otrok, če to berete starši :) ). Marsikdo malo (rdečo) enko piše povsem avtomatično in se ne sprašuje, zakaj je tam, a ker v naših prispevkih spodbujamo kritično mišljenje, je dobro, da vemo, zakaj je tam in kako tja sploh pride. Razumevanje opisanega postopka je pomembno tudi zato, ker po seštevanju sledi odštevanje, kjer prehod čez desetico prav tako označujemo z malo številko na mestu desetice zadnjega seštevanca. Težava s prehodom čez desetico pri odštevanju je, da le-tega ne moremo prikazati analogno kot pri seštevanju, saj abstraktni postopek vizualni predstavitvi ne sledi popolnoma. Pri odštevanju namreč upoštevamo dejstvo, da je, karikirano, "razlika med 2 in 4 isto kot razlika med 3 in 5". Eno lažje narišemo, drugo pa izračunamo. In ker matematika ni likovna umetnost, upoštevamo dejstvo med narekovajema in se odločimo za slednjo možnost. Nekateri računske izraze rešujejo po intuiciji, za druge je to početje pravi mini projekt in se nanj zares dobro pripravijo, ostali pa so ... nekje vmes :)
Mi vam predstavljamo še eno izmed metod - reševanje aritmetičnih izrazov s pomočjo algoritma. Tisti, ki ste algoritme srečali pri pouku računalništva, se verjetno sprašujete, kakšno povezavo imajo z matematičnimi izrazi. Kar precejšnjo. Wikipedija pravi, da so algoritmi navodila za reševanje problemov. Ta navodila so večinoma zapisana za računalnik (v obliki računalniškega programa), lahko pa jih zapišemo tudi v "ljudem prijazni obliki". Taka navodila smo pripravili tudi za vas. Ko nekomu razlagamo, kako naj se nečesa loti, ga spremljamo pri njegovem delu in ga ob dilemah usmerjamo na pravo pot. To lahko počne učitelj(ica), inštruktor(ica), starši, ... Pomoč pa ni vedno na voljo, zato si nemalokrat pomagamo kar sami. In algoritem je v takem primeru kar koristen pripomoček. Naj na kratko razložimo naš algoritem:
* rumeno pravilo seštevanja in odštevanja ter oranžno pravilo množenja in deljenja smo definirali zato, da se v algoritmu ne ukvarjamo preveč z osnovami računanja, ampak lahko takoj preidemo na bistvo problema. Preko priloženih povezav pa seveda lahko kadarkoli ponovimo tudi osnove, če so nam slučajno "ušle iz glave" ;) V računskih izrazih poznamo dve osnovni postavitvi oklepajev:
Zaporedna oklepaja lahko razrešujemo istočasno (v isti vrstici izraza), medtem ko pri vgnezdenih oklepajih začnemo z reševanjem v notranjosti, nakar se pomikamo navzven. Primera z zaporednimi oklepaji:
Primera z vgnezdenimi oklepaji:
Za razliko od "rumenega" in "oranžnega" pravila zeleno pravilo uporabljamo samo pri računanju izrazov v algebri (črke in številke) in sicer pri poenostavljanju končnega izraza ("kače" členov, ki nam ostane potem, ko smo že razrešili oklepaje ter vse potrebno potencirali, korenili, zmnožili in delili) Pri rumenem pravilu seštevanja in odštevanja smo omenili, da v algebri podobne člene seštevamo / odštevamo ločeno ("hrušk in jabolk" seveda ne moremo seštevati :) ). Zeleno pravilo se glasi:
Pomni! Podobni členi so tisti členi, ki imajo različne številske faktorje in enake spremenljivke (na primer 4bc in -3bc). Enaki členi pa imajo enake tako številske faktorje kot tudi spremenljivke. Če odštejemo enaka člena, dobimo 0. Primer končne "kače" členov; členi so obkroženi z oranžno barvo in nato grupirani po zelenem pravilu. Znotraj vsake "zelene" skupine je uporabljeno rumeno pravilo; ravna črta so a-ji, vijugasta b-ji, poševno črtkana črta pa predstavlja številske člene.
Rumeno pravilo" seštevanja in odštevanja že poznamo, za naziv "mojster reševanja matematičnih izrazov" pa moramo spoznati še t.i. oranžno pravilo množenja in deljenja. Kot vemo, so seštevanje, odštevanje, množenje in deljenje osnovne matematične operacije. Vemo tudi, da imata množenje in deljenje v računskih izrazih prednost pred seštevanjem in odštevanjem. "Oranžno pravilo" bo imelo torej prednost pred "rumenim". Pravilo množenja in deljenja uporabimo pri:
Za množenje oziroma deljenje dveh členov se pravilo glasi:
Oglejmo si ga še v grafični obliki (več o pomenu krožcev si lahko ogledate v članku o računanju s simboli): Pomni! Situacijo, ko je pred oklepajem samo minus, upoštevamo kot množenje (-1) s členi v oklepaju, torej se vsem členom v oklepaju zamenja predznak! V primeru več členov pa pravilo lahko posplošimo:
Pomni! Potenciranje števila upoštevamo kot množenje števila s samim seboj (tolikokrat, kolikor je vrednost eksponenta); v primeru potenciranja negativnega števila (minus je znotraj oklepaja, na primer (-5)²) je zato končni predznak odvisen od tega, ali je eksponent liho ali sodo število! Potenciranje posameznega števila vedno izvedemo pred množenjem z ostalimi faktorji znotraj posameznega člena! V izrazu 3⋅(-3)² recimo najprej izračunamo (-3)²=9 in nato šele 3⋅9=27. V istem koraku kot potenciranje izvedemo tudi korenjenje, a zanj oranžnega pravila ne uporabljamo. Ideja: Člen, znotraj katerega bomo uporabili oranžno pravilo, lahko obkrožimo z oranžno in ga pobarvamo. Po uporabi oranžnega pravila nastanejo novi členi, katere le obkrožimo z oranžno barvo. Z oranžno barvo lahko obkrožimo tudi ostale člene, kjer oranžnega pravila ni potrebno uporabiti. Tako dobimo pregleden "zemljevid" členov, ki jih bomo potrebovali za končen izračun po rumenem (aritmetika - samo številke) oziroma zelenem in rumenem (algebra - številke in črke) pravilu. Primer uporabe oranžnega pravila v aritmetičnem izrazu Primer uporabe oranžnega pravila v algebrskem izrazu
|
ARHIV
December 2023
KATEGORIJE
All
|