Velikokrat se pri nastavljanju enačbe za problemsko (besedilno, tekstno) nalogo znajdemo pred dilemo, kdaj seštevati in odštevati oziroma kdaj množiti in deliti.

Spodnji primeri so vam pri tem lahko v pomoč:

• Erazem (b) ima pet jabolk več od  Erika (a): b = a + 5
• Ema (b) ima tri hruške manj od Vala (a): b = a - 3
• Bor (b) ima dvakrat več frnikol od  Nika (a): b = a⋅2 = 2a
• Urška (b) ima štirikrat manj sponk za lase od Zale (a): b = a:4 = a/4

Besedilo lahko tudi nekoliko obrnemo:

• Odvisna spremenljivka y je za šest večja od  neodvisne spremenljivke x:  y = x + 6
• Odvisna spremenljivka y je sedemkrat manjša od neodvisne spremenljivke x: y = x:7 = x/7
• Odvisna spremenljivka y je za tri manjša od petkratne vrednosti neodvisne spremenljivke x:
  y = 5x - 3

Tole je bolj "ziheraška" metoda, ki sicer lahko vzame nekoliko več časa, je pa zato dokaj pregledna.

Razložimo jo na primeru:

Pešec prehodi pot 72 metrov. Koliko časa hodi, če je njegova povprečna hitrost 2 m/s?

Berimo tekst in si sproti zapisujmo količine, zraven pa njihove podane vrednosti oziroma vprašaj, če te vrednosti iščemo. V oklepaje dodajmo še oznake za te količine, da bomo v nadaljevanju lažje našli ustrezno enačbo.

• pot (s) = 72 m
• čas (t) = ? 
• hitrost (v) = 2 m/s

V šoli se učimo, da morajo biti v izpisu zgoraj podane količine, spodaj (pod črto) pa iskane količine. To sicer lepo zgleda, ni pa nujno za reševanje naloge. Če želite, lahko zgornji seznam še vedno popravite:

pot (s) = 72 m
hitrost (v) = 2 m/s
----------------------​
čas (t) = ? 

Odsvetujemo pa vam, da za vsako ceno skušate vzdrževati "pravilni" vrstni red podatkov že med samim izpisovanjem le-teh. To vas lahko samo še dodatno zmede.

Če vse podane količine navedemo z osnovnimi enotami, se bodo na koncu enote lepo "ujele" in tudi količina, ki jo iščemo, bo v osnovni enoti. Količine, ki niso podane z osnovnimi enotami, pred vstavljanjem v enačbo pretvorimo. Pri tem si lahko pomagamo z desetiškimi potencami.

Po pregledu količin, ki nastopajo v zgornjem izpisu, kaj hitro ugotovimo, da nas do rešitve pripelje naslednja enačba:

Ker iščemo čas (t), bo enačbo potrebno obrniti. Nekaj navodil za to najdete tukaj. Lahko pa v enačbo preprosto vnesemo vrednosti, na mesto iskane količine pa zapišemo x:

Ko x "rešimo" iz enačbe, ugotovimo, da je iskani čas enak 36 sekund.

Marsikdo ne mara vmesnega koraka, imenovanega "izpisovanje podatkov", zato naj vam predstavimo naslednjo metodo, kar na primeru:

Kolesar s povprečno hitrostjo 12 m/s prevozi pot 36 metrov. Koliko časa porabi za to pot?

Najprej opozorilo. Če želite uporabljati opisano metodo, morate vedno vse količine navesti z osnovnimi enotami! Če so le-te podane z drugimi enotami, jih je potrebno pred vstavljanjem v enačbo pretvoriti. Pri tem si lahko pomagate z desetiškimi potencami.

Najprej pobarvajmo tekst. Del, ki se nanaša na posamezno količino, naj bo svoje barve. Količine, ki jih moramo izračunati, podčrtajmo. Te količine se ločijo od ostalih tako, da zraven njih ni navedenega številskega podatka.

Kolesar s povprečno hitrostjo 12 m/s prevozi pot 36 metrov. Koliko časa porabi za to pot?

Pomislimo, katera enačba bi bila primerna za to nalogo. Glede na obarvan tekst mora vsebovati naslednje količine (v oklepaju so oznake za te količine - tudi te si prikličimo v spomin, da bo enačbo lažje najti):

• hitrost (v)
• pot (s) in
• čas (t)

(Če morda niste med tistimi, ki ne marate izpisovati podatkov, si pa količine v zgornjih alinejah brez sramu zapišite kar na papir, zraven pa seveda še njihove vrednosti. Tak način je tudi nam najbolj všeč, saj je najbolj pregleden)

Ko pobrskamo po glavi ali po zvezku, ugotovimo, da gre za naslednjo enačbo:

Če nam obračanje enačb ne gre najbolje (komu pa gre :) ), lahko znane količine vstavimo že v njeno osnovno obliko, pa jo bomo potem obračali po mili volji. Neznano količino označimo z x. Da je delo še enostavnejše, lahko vstavljanjem količin enačbo zapišemo s svinčnikom in nato pišemo s krepkejšim pisalom kar čeznjo:

Iz enačbe izrazimo x in dobimo iskani čas. Ta znaša 3 sekunde. O tem, kako do njega najlažje pridemo, pa si preberite tule ;)

Sklepni račun

Naloge z odstotki lahko zelo elegantno rešimo s pomočjo sklepnega računa.

Poznamo dve vrsti nalog z odstotki:

• naloge tipa "podražitev"
• naloge tipa "pocenitev"

Za naloge tipa "podražitev" uporabimo lahko naslednjo predlogo:

Za naloge tipa "pocenitev" pa lahko uporabimo:

Pri izpisu podatkov pazimo na naslednje:

• Prva vrstica naj tako na levi kot na desni strani vsebuje znani vrednosti
• druga vrstica naj vsebuje na eni strani znano vrednost, na drugi pa neznanko (x ali y, odvisno, kaj nas zanima)

Primer: Hlače se pocenijo za 20% in po novem stanejo 40 €. Kolikšna je bila prvotna cena hlač?
Ker gre za nalogo s pocenitvijo, uporabimo naslednjo drugo predlogo, ki jo ustrezno dopolnimo:

V prvo vrstico zapišemo

40 €...80%

saj je to edini par podatkov, kjer poznamo obe vrednosti (40 € iz besedila naloge, 80% pa posredno, saj jo dobimo z odštevanjem 100%-20%).

V drugo vrstico zapišemo par podatkov, kjer eno vrednost poznamo, drugo pa iščemo. Iščemo prvotno ceno hlač (x), zato zapišemo:

x...100%

Vrednosti križno zmnožimo in izrazimo x.

Rešitev: x=50
Odgovor: Prvotna cena hlač je bila 50 €.

P.S.: Če bi pa iskali znižanje v €, bi pa v drugo vrstico zapisali y...20% in po križnem množenju izrazili y.

Nasvet: S predlogo tipa "pocenitev" lahko rešujemo tudi npr. naloge z raztopinami. Raztopina je v tem primeru "100% osnova", topljenec "znižanje", topilo pa "nova vrednost". Primer: Koliko vode vsebuje 1 liter soka s 60% sadnim deležem? 100% je 1 liter, 60% pa je premosorazmerno 6 decilitrov. 40% je torej preostanek, to je 1 liter - 6 decilitrov = 4 decilitre. Vode je torej 4 decilitre.

Več o sklepnem računu najdete tule. Pozor! odstotki spadajo v premo sorazmerje!

Računanje z deleži

Na marsikateri srednji šoli sklepni račun ni dovolj "fancy", zato je dobro poznati tudi računanje z deleži.

Enačba za relativni delež se glasi:
            r = d/o

Nekaj napotkov za "prepoznavanje" posameznih količin v enačbi iz teksta naloge:

• relativni delež (r) je vedno izražen v odstotkih ali z decimalko (npr. 3% je isto kot 0,03), njegova vrednost pa je vedno manjša od 100% oziroma 1,00
• delež (d) je vedno manjši od osnove (o)

Povezava s teorijo o absolutni in relativni napaki

Kdor pozna teorijo o absolutni in relativni napaki, si lahko predstavlja naslednje:

• osnova (o) pri odstotnem računu je ekvivalent povprečni vrednosti meritve
• delež (d) [izražamo ga v istih enotah kot začetno vrednost] pri odstotnem računu je ekvivalent absolutni napaki meritve.  Delež je vrednost, za katero se začetna vrednost poveča ali zmanjša.
• relativni delež (r) [izražamo ga v odstotkih ali z decimalko, npr. 3% je isto kot 0,03] pri odstotnem računu je ekvivalent relativni napaki meritve. Relativni delež je odstotek podražitve ali pocenitve.

Pri primerjavi omenjenih teorij pa je potrebno paziti na naslednjo razliko: Napaka meritve (absolutna ali relativna) je vedno podana kot ±, delež (absolutni ali relativni) pa je odvisen od tega, ali imamo opravka s "podražitvijo" ali "pocenitvijo":

• Pri "pocenitvi" bo račun enak:
  Nova vrednost = o + d
• pri "podražitvi" pa:
  Nova vrednost = o - d

Povezava med absolutnim in relativnim deležem pa je v obeh primerih:
           r = d/o

Povezava s kemijo - naloge z raztopinami

Naloge z raztopinami računamo z enačbo za "pocenitev", pri tem pa je:

• raztopina = osnova (o)
• topljenec = delež (d)
• topilo = osnova - delež (o-d). 

Naloge z odstotki znajo biti kar trd oreh, ko pa jih enkrat "zakapiraš" oziroma "skontaš", pa znajo postati še zabavne ;)

Da bodo tudi vam v zabavo, smo vam pripravili ene vrste "kuharski recept za začetnike". Marsikdo bo porekel, da "recept" ne zajema vseh tipov nalog. Res je. Po drugi strani je pa res tudi to, da nihče na začetku ne mara prevelike kompleksnosti. In ravno zaradi njegove enostavnosti je za začetne korake vsekakor uporaben.

Za primer vzemimo situacijo, ko nam starši zaradi vestne pomoči pri hišnih opravilih zvišajo žepnino.
Za tako situacijo so možni so trije tipi nalog:

• poznamo osnoven znesek (v €) in dodatek k žepnini (v €),  zanima pa nas, za koliko % se je žepnina zvišala
• poznamo osnoven znesek (v €) in % zvišanja žepnine, zanima pa nas, koliko znaša dodatek k žepnini (v €)
• poznamo dodatek k žepnini (v €) in % zvišanja žepnine, zanima pa nas, kakšen je osnovni znesek žepnine (v €)

Za vse zgoraj opisane primere lahko uporabimo naslednjo grafično predlogo:

Debeli črti na zgornji predlogi nam predstavljata osnovo in dodatek. Nad črtama bomo pisali zneske ​v €, spodaj pa %.

Poleg grafične bomo potrebovali tudi besedno predlogo:

Znak % na levi strani besedne predloge se nanaša na % zvišanja žepnine iz našega primera. Splošno ta % pomeni delež dodatka v osnovi. Ne skrbite, če ste se slučajno izgubili. Vse bo bolj jasno v nadaljevanju ;)

Besedno predlogo pretvorimo v računsko predlogo:

• "%" iz besedne predloge je "100" v imenovalcu računske predloge,
  
• "od" v besedni predlogi je znak za množenje v računski predlogi
  
• beseda "je" v besedni predlogi pa je znak za enakost v računski predlogi

Vrnimo se k našim trem tipom nalog in jih rešimo, s konkretnimi številkami:

​1. Žepnina znaša 50​ €. Starši jo povišajo za 10 €. Za koliko % se je žepnina zvišala?

Izpolnimo grafično predlogo. Pri tem pazimo barvno kodo:

Problem zapišimo z besedo:

Zapišimo račun:

Račun rešimo tako, da na desni strani zapišemo 10/1, križno zmnožimo in izrazimo x.

Rešitev: x=20
Odgovor: Žepnina se je zvišala za 20%.

​2. Žepnina znaša 50​ €. Starši jo povišajo za 20%. Za koliko € se je žepnina zvišala?​

​Izpolnimo grafično predlogo. Pri tem pazimo barvno kodo:

Račun rešimo tako, da na desni strani zapišemo 10/1, križno zmnožimo in izrazimo x.
​
Rešitev: x=50
Odgovor: Prvoten znesek žepnine je znašal 50 €.

Naloge so seveda lahko še težje:

• namesto osnovnega ali dodatnega zneska je lahko podan celoten znesek po povišanju. V tem primeru uvedemo nov pojem: vsota osnovnega in dodatnega zneska. Tako kot zneske seštejemo tudi odstotke (dodamo še en pojem: vsota osnovnih 100% in odstotka zvišanja). Ne pozabimo, da vsota odstotkov znaša več kot 100%! Računamo pa po eni izmed omenjenih treh metod, ki smo jih navedli.
  
  Primer: Zvišan znesek žepnine znaša 60​ €. Starši so jo povišali za 20%. Koliko € je žepnina znašala pred dvigom? ​​Uporabimo nov pojem "vsota osnovnega in dodatnega zneska". Ta znaša 60​ €, medtem ko je "vsota osnovnih 100% in odstotka zvišanja" (100+20)% = 120%. Z besedo problem zapišemo: "120% od x je 60 €", rešimo ga pa po tretji od navedenih metod. Rešitev: 50 €.
  
  
• namesto zvišanja imamo lahko tudi znižanje (saj vsi poznate razprodaje kajne? ;)). V tem primeru je vrednost dodatnega zneska negativna! Tudi tu računamo po eni izmed omenjenih treh metod, ki smo jih navedli, le predlogo moramo pred tem ustrezno prilagoditi:

Kadar moramo iz dveh razdalj izračunati tretjo razdaljo, pri čemer sta dve razdalji pravokotni ena na drugo, imamo opravka s Pitagorovim izrekom.

Ker smo na testu velikokrat živčni in črke lahko hitro zamenjamo, si ga lahko zapomnimo v obliki simbolov živali :)

Poglejmo spodnjo sliko: tretja razdalja (hipotenuza, predstavljena z veverico) je vedno večja od pravokotnih dveh razdalj (kateti, predstavljani s slonom in papagajem):

Če iščemo poševno, najdaljšo razdaljo, seštevamo, če pa iščemo kakšno od pravokotnih krajših razdalj, pa odštevamo (seveda manjšo od večje, saj dolžina ne more biti negativna). Ne pozabimo, da so v enačbi kvadrati razdalj, zato moramo vse razdalje kvadrirati in po končanem seštevanju / odštevanju rezultat še koreniti!

Podobno kot pri tem tipu bomo tudi tu seštevali in odštevali, potrebno pa je paziti, da med številkami nastopajo deleži celotne vrednosti (če je le-ta neznana, bo to četrtina od x, 20% od x,...).

"Simpl" varianta vsebuje samo številske vrednosti. Take naloge najlažje rešujemo v obliki tabele:

Problemske naloge tipa...

"Koliko m tega ali onega materiala potrebujemo, če želimo nekaj ograditi, narisati črto okoli nečesa...v izmeri toliko krat toliko oziroma glede na priloženo skico z merami"

...rešujemo s poznavanjem obsega geometrijskih likov. Če ti liki niso pravilni, oziroma preproste enačbe za njihovo ploščino ne obstajajo, jih je potrebno razrezati in potem dolžine posameznih delov sešteti (glej tudi tole).

Problemske naloge tipa...

"Koliko m² tega ali onega materiala potrebujemo, če želimo položiti, tlakovati...stanovanje, dvorišče itd. v izmeri toliko krat toliko oziroma glede na priloženo skico z merami"

...rešujemo s poznavanjem ploščine geometrijskih likov. Če ti liki niso pravilni, oziroma preproste enačbe za njihovo ploščino ne obstajajo, jih je potrebno razrezati in potem ploščine posameznih delov sešteti, kar se prekriva, pa odšteti (glej tudi tole).

Včasih vprašajo tudi, koliko ploščic, tlakovcev...potrebujemo, če so podane mere enega od teh. Takrat moramo izračunati ploščino enega in z njo deliti celotno ploščino.