Sklepni račun

Naloge z odstotki lahko zelo elegantno rešimo s pomočjo sklepnega računa.

Poznamo dve vrsti nalog z odstotki:

• naloge tipa "podražitev"
• naloge tipa "pocenitev"

Za naloge tipa "podražitev" uporabimo lahko naslednjo predlogo:

Za naloge tipa "pocenitev" pa lahko uporabimo:

Pri izpisu podatkov pazimo na naslednje:

• Prva vrstica naj tako na levi kot na desni strani vsebuje znani vrednosti
• druga vrstica naj vsebuje na eni strani znano vrednost, na drugi pa neznanko (x ali y, odvisno, kaj nas zanima)

Primer: Hlače se pocenijo za 20% in po novem stanejo 40 €. Kolikšna je bila prvotna cena hlač?
Ker gre za nalogo s pocenitvijo, uporabimo naslednjo drugo predlogo, ki jo ustrezno dopolnimo:

V prvo vrstico zapišemo

40 €...80%

saj je to edini par podatkov, kjer poznamo obe vrednosti (40 € iz besedila naloge, 80% pa posredno, saj jo dobimo z odštevanjem 100%-20%).

V drugo vrstico zapišemo par podatkov, kjer eno vrednost poznamo, drugo pa iščemo. Iščemo prvotno ceno hlač (x), zato zapišemo:

x...100%

Vrednosti križno zmnožimo in izrazimo x.

Rešitev: x=50
Odgovor: Prvotna cena hlač je bila 50 €.

P.S.: Če bi pa iskali znižanje v €, bi pa v drugo vrstico zapisali y...20% in po križnem množenju izrazili y.

Nasvet: S predlogo tipa "pocenitev" lahko rešujemo tudi npr. naloge z raztopinami. Raztopina je v tem primeru "100% osnova", topljenec "znižanje", topilo pa "nova vrednost". Primer: Koliko vode vsebuje 1 liter soka s 60% sadnim deležem? 100% je 1 liter, 60% pa je premosorazmerno 6 decilitrov. 40% je torej preostanek, to je 1 liter - 6 decilitrov = 4 decilitre. Vode je torej 4 decilitre.

Več o sklepnem računu najdete tule. Pozor! odstotki spadajo v premo sorazmerje!

Računanje z deleži

Na marsikateri srednji šoli sklepni račun ni dovolj "fancy", zato je dobro poznati tudi računanje z deleži.

Enačba za relativni delež se glasi:
            r = d/o

Nekaj napotkov za "prepoznavanje" posameznih količin v enačbi iz teksta naloge:

• relativni delež (r) je vedno izražen v odstotkih ali z decimalko (npr. 3% je isto kot 0,03), njegova vrednost pa je vedno manjša od 100% oziroma 1,00
• delež (d) je vedno manjši od osnove (o)

Povezava s teorijo o absolutni in relativni napaki

Kdor pozna teorijo o absolutni in relativni napaki, si lahko predstavlja naslednje:

• osnova (o) pri odstotnem računu je ekvivalent povprečni vrednosti meritve
• delež (d) [izražamo ga v istih enotah kot začetno vrednost] pri odstotnem računu je ekvivalent absolutni napaki meritve.  Delež je vrednost, za katero se začetna vrednost poveča ali zmanjša.
• relativni delež (r) [izražamo ga v odstotkih ali z decimalko, npr. 3% je isto kot 0,03] pri odstotnem računu je ekvivalent relativni napaki meritve. Relativni delež je odstotek podražitve ali pocenitve.

Pri primerjavi omenjenih teorij pa je potrebno paziti na naslednjo razliko: Napaka meritve (absolutna ali relativna) je vedno podana kot ±, delež (absolutni ali relativni) pa je odvisen od tega, ali imamo opravka s "podražitvijo" ali "pocenitvijo":

• Pri "pocenitvi" bo račun enak:
  Nova vrednost = o + d
• pri "podražitvi" pa:
  Nova vrednost = o - d

Povezava med absolutnim in relativnim deležem pa je v obeh primerih:
           r = d/o

Povezava s kemijo - naloge z raztopinami

Naloge z raztopinami računamo z enačbo za "pocenitev", pri tem pa je:

• raztopina = osnova (o)
• topljenec = delež (d)
• topilo = osnova - delež (o-d). 

Naloge z odstotki znajo biti kar trd oreh, ko pa jih enkrat "zakapiraš" oziroma "skontaš", pa znajo postati še zabavne ;)

Da bodo tudi vam v zabavo, smo vam pripravili ene vrste "kuharski recept za začetnike". Marsikdo bo porekel, da "recept" ne zajema vseh tipov nalog. Res je. Po drugi strani je pa res tudi to, da nihče na začetku ne mara prevelike kompleksnosti. In ravno zaradi njegove enostavnosti je za začetne korake vsekakor uporaben.

Za primer vzemimo situacijo, ko nam starši zaradi vestne pomoči pri hišnih opravilih zvišajo žepnino.
Za tako situacijo so možni so trije tipi nalog:

• poznamo osnoven znesek (v €) in dodatek k žepnini (v €),  zanima pa nas, za koliko % se je žepnina zvišala
• poznamo osnoven znesek (v €) in % zvišanja žepnine, zanima pa nas, koliko znaša dodatek k žepnini (v €)
• poznamo dodatek k žepnini (v €) in % zvišanja žepnine, zanima pa nas, kakšen je osnovni znesek žepnine (v €)

Za vse zgoraj opisane primere lahko uporabimo naslednjo grafično predlogo:

Debeli črti na zgornji predlogi nam predstavljata osnovo in dodatek. Nad črtama bomo pisali zneske ​v €, spodaj pa %.

Poleg grafične bomo potrebovali tudi besedno predlogo:

Znak % na levi strani besedne predloge se nanaša na % zvišanja žepnine iz našega primera. Splošno ta % pomeni delež dodatka v osnovi. Ne skrbite, če ste se slučajno izgubili. Vse bo bolj jasno v nadaljevanju ;)

Besedno predlogo pretvorimo v računsko predlogo:

• "%" iz besedne predloge je "100" v imenovalcu računske predloge,
  
• "od" v besedni predlogi je znak za množenje v računski predlogi
  
• beseda "je" v besedni predlogi pa je znak za enakost v računski predlogi

Vrnimo se k našim trem tipom nalog in jih rešimo, s konkretnimi številkami:

​1. Žepnina znaša 50​ €. Starši jo povišajo za 10 €. Za koliko % se je žepnina zvišala?

Izpolnimo grafično predlogo. Pri tem pazimo barvno kodo:

Problem zapišimo z besedo:

Zapišimo račun:

Račun rešimo tako, da na desni strani zapišemo 10/1, križno zmnožimo in izrazimo x.

Rešitev: x=20
Odgovor: Žepnina se je zvišala za 20%.

​2. Žepnina znaša 50​ €. Starši jo povišajo za 20%. Za koliko € se je žepnina zvišala?​

​Izpolnimo grafično predlogo. Pri tem pazimo barvno kodo:

Račun rešimo tako, da na desni strani zapišemo 10/1, križno zmnožimo in izrazimo x.
​
Rešitev: x=50
Odgovor: Prvoten znesek žepnine je znašal 50 €.

Naloge so seveda lahko še težje:

• namesto osnovnega ali dodatnega zneska je lahko podan celoten znesek po povišanju. V tem primeru uvedemo nov pojem: vsota osnovnega in dodatnega zneska. Tako kot zneske seštejemo tudi odstotke (dodamo še en pojem: vsota osnovnih 100% in odstotka zvišanja). Ne pozabimo, da vsota odstotkov znaša več kot 100%! Računamo pa po eni izmed omenjenih treh metod, ki smo jih navedli.
  
  Primer: Zvišan znesek žepnine znaša 60​ €. Starši so jo povišali za 20%. Koliko € je žepnina znašala pred dvigom? ​​Uporabimo nov pojem "vsota osnovnega in dodatnega zneska". Ta znaša 60​ €, medtem ko je "vsota osnovnih 100% in odstotka zvišanja" (100+20)% = 120%. Z besedo problem zapišemo: "120% od x je 60 €", rešimo ga pa po tretji od navedenih metod. Rešitev: 50 €.
  
  
• namesto zvišanja imamo lahko tudi znižanje (saj vsi poznate razprodaje kajne? ;)). V tem primeru je vrednost dodatnega zneska negativna! Tudi tu računamo po eni izmed omenjenih treh metod, ki smo jih navedli, le predlogo moramo pred tem ustrezno prilagoditi: