Časovni stroj - rešitev za vse naloge o starosti

Poanta nalog o starosti je, da isto stvar zapišemo na dva (neodvisna) načina (enkrat »na plus« in enkrat »na krat«), nato pa rešimo sistem enačb in rešitev je tu.

Sliši se enostavno, ampak ... je res? In kje v enačbi je časovni stroj?

Pojdimo lepo po vrsti. Najprej poglejmo na situacijo pasivno. Dejstvo je, da leta tečejo vsem enako in vsi smo vsako leto eno leto starejši. S tem ni prizanešeno niti našim junakom besedilnih nalog o starosti. V našem primeru sta to mati in njena hči Katja. Za lažjo predstavo naj čas teče v desno, kot smo navajeni s pouka fizike. Starost matere lahko opazujemo na zgornji strani časovne osi, starost Katje pa na spodnji.

Sedaj pa prenehajmo z lenarjenjem in zaženimo časovni stroj.  :)

V časovnem stroju nas pa ne zanima, kako tečejo leta, saj lahko ta trenutek v pradavnini bežimo pred dinozavri, par sekund kasneje pa preizkušamo svoj novi leteči avtomobil.

Nas pa v vsakem letu "pristanka" zanima soodvisnost med nastopajočimi, konkretno kolikoKRAT je nekdo starejši od drugega.
​
Ko smo v nekem letu, nas ne zanima preteklost in prihodnost, ukvarjamo se zgolj s podatki, ki jih imamo v danem trenutku (v določenem letu) na voljo.

Na kratko ponovimo "recept":

• v desno in levo štejemo leta nastopajočih (naprej oziroma nazaj), torej prištevamo oziroma odštevamo;
• v določeni točki v času pogledamo (navpično), kolikokrat je eden od nastopajočih starejši od drugega

Pri tem moramo zapisati povezavo levo-desno za vse nastopajoče in povezavo gor-dol za vsa časovna obdobja.

Pa še ena stvar je pomembna pri nalogah o starosti - podatek, ki manjka, označimo z x. To je lahko število pretečenih let ali pa starost katerega od nastopajočih. 

A pazimo: z neznanko x ne označujmo "skritega" podatka, ki je določljiv z enostavnim računom poštevanke ali seštevanja / odštevanja (npr. starost 6-krat starejšega očeta, če je sin star 5 let - v takem primeru kar pogumno zapišimo, da je oče star 6 x 5 = 30 let). 

Oglejmo si dva primera nalog o starosti.

Naloga 1: Katja je danes stara 4 leta, njena mati pa je 7-krat starejša. Čez koliko let bo mati samo še 4x starejša od Katje?

Narišimo časovno os in označimo najprej znane količine. Katja je danes stara 4 leta, starost matere pa lahko določimo posredno iz podatka, da je mati 7-krat starejša od Katje. 7 krat 4 je 28, torej je danes mati stara 28 let. Starost matere danes je v našem primeru "skriti" podatek.

Naloga nas sprašuje o dogodku, ki se bo zgodil v preteklosti ("čez koliko let bo ..."). Kot vemo, leta tečejo in mi se staramo. Tudi Katja in njena mati bosta čez nekaj let starejši. Ker ne vemo, koliko let bosta starejši, označimo število pretečenih let z neznanko x.
​
»Po matematično« starost Katje čez x let označimo s 4+x, starost njene matere pa z 28+x.

Opomba: Če bi se vprašanje v nalogi nanašalo na preteklost, bi x odšteli.

Povezavo levo-desno (seštevanje oz. odštevanje) smo torej obdelali, sedaj pa se usedimo v časovni stroj in preverimo še navpično povezavo.
​
Preden »poletimo«, še enkrat preverimo, kolikokrat je v sedanjosti mati starejša od Katje in to označimo na časovni osi:

Wruuum! In smo že v prihodnosti. Točneje, x let v prihodnosti, ko je mati stara 28+x, Katja pa 4+x let.

Zopet se osredotočimo na navpično povezavo, kjer nas zanima to, kolikokrat je eden starejši od drugega. In v letu »danes + x« velja, da je mati 4-krat starejša od Katje. Označimo na grafu še to:

Obe povezavi levo-desno in obe navpični povezavi imamo, preostane nam le še končni račun.

Danes velja enačba Mati = 7 · Katja. Preverimo, če drži. Če za starost matere vzamemo vrednost 28, za starost Katje pa 4, dobimo račun 28=7·4, ki je pravilen.
​
Če danes velja Mati = 7 · Katja, mora v prihodnosti veljati tudi Mati = 4 · Katja, saj tako pravi besedilo naloge. V enačbo vstavimo starost matere in katje čez x let in dobimo:

28 + x = 4·(4+x)
28 + x = 16 + 4x
3 x = 12
x = 4

Ker je x enak 4, pomeni, da smo s časovnim strojem potovali x let v prihodnost.

Še preverimo, da se pri računanju nismo zmotili. Čez 4 leta bo Katja stara 4+4=8 let, njena mati pa 28+4=32, kar je res 4-krat več od Katje.

Naloga 2: Mati je 5-krat starejša od Katje, pred tremi leti pa je bila 9-krat starejša od nje. Koliko sta stari?

Narišimo časovno os in označimo najprej znane količine. Tokrat ne poznamo nobene starosti, vemo le, da med enim in drugim dogodkom pretečejo 3 leta. Zato moramo eno od starosti poimenovati z x, ostale pa bomo zapisali v relativni obliki. Najlažje bo, če z x označimo leta mlajše osebe v sedanjosti.

Katja je mlajša, zato je danes stara x let, pred tremi leti pa je bila 3 leta mlajša, torej je bila stara x-3 let.

Povezavo levo-desno za Katjo torej imamo. Kaj pa mati?

Za to pa se bo potrebno usesti v časovni stroj. Preden »poletimo« (3 leta) v preteklost, preverimo, kolikokrat je v sedanjosti mati starejša od Katje in to označimo na časnovni osi. Mati je 5-krat starejša od Katje, torej velja mati = 5 · Katja:

​Sedaj pa poletimo 3 leta v preteklost in še tam poglejmo, kolikokrat je mati starejša od Katje. 9-krat, torej velja mati = 9 · Katja:

Sedaj imamo dve navpični povezavi (danes in pred 3 leti), manjka pa nam še povezava levo-desno za mati.

Ker smo x že uporabili za Katjo, bomo za mater uporabili večkratnik x, najbolje kar v tistem časovnem obdobju, ko ima Katja x, torej v sedanjosti. Danes je mati 5-krat starejša od Katje, torej je stara 5x let. Ker se stara enako kot Katja, pa je bila pred 3 leti stara 3 leta manj, torej 5x-3 let. Tudi to označimo na grafu:

Obe povezavi levo-desno in obe navpični povezavi torej imamo, preostane nam le še končni račun.
Danes velja enačba mati = 5 · Katja. Če vanjo vstavimo materina in Katjina leta, se enačba glasi 5x = 5·x, kar je sicer pravilno, pomaga nam pa ne prav dosti. :)

K sreči imamo dve enačbi še 3 leta v preteklosti. V tistem času velja mati = 9 · Katja. Ko vanjo vstavimo materina in Katjina leta (pred 3 leti, seveda), se enačba glasi:

5x-3= 9·(x-3)
5x – 3 = 9x – 27
4x = 24
x=6

Ker je x enak 6, pomeni, je Katja danes stara 6 let. Koliko je stara mati? 5-krat starejša je od Katje, torej je stara 5x6=30 let.

Še preverimo, da se pri računanju nismo zmotili. Pred 3 leti je bila Katja stara 6-3=3 leta, mati pa 30-3=27 let, kar je res 9-krat več od Katje.