Kadar v besedilni nalogi nastopajo deleži (1/3, 3/5 ...), si lahko pomagamo z modelom »čokoladne vrstice«.

Pa pojdimo v matematične vode, preden nas popade lakota. :)

Recimo, da se naloga glasi: »Matej je dal sošolcu 3 sličice, kar znaša četrtino vseh svojih sličic. Koliko sličic je ostalo Mateju?«

Čeprav marsikdo nerad riše, še posebej pa pri matematiki, :) se tu splača potruditi. Ko boste problem dejansko videli, ga bo veliko lažje rešiti.

Najprej si pripravimo model situacije:

• Narišimo trak oziroma nekoliko daljši pravokotnik in ga razdelimo na toliko delov, kolikor znaša imenovalec omenjenega ulomka. V našem primeru je govora o četrtinah, zato bodo deli štirje. Pozor! Čeprav pri risanju »kirurška natančnost« ni nujna, se moramo zavedati, da vsako polje predstavlja enak delež celote!
• Na skici označimo podane vrednosti. Ker 3 sličice predstavljajo četrtino vseh, pobarvamo enega izmed 4 polj (npr. z modro) in zraven zapišemo 3 ter zaznamek, kaj ta vrednost predstavlja (npr. »dal sošolcu«).

Sedaj pa se malo ustavimo in še preden preberemo vprašanje, si oglejmo problem »od daleč«.

Od 4 polj je pobarvano eno in to ima vrednost 3. Ostanejo nam še 3 polja in ker so polja »enakovredna«, imajo tudi ta vrednost 3. Če seštejemo vsa polja, dobimo vrednost 3 + 3 + 3 + 3 = 12, kar pomeni vse sličice – tiste, ki jih je dal in tiste, ki so mu ostale. Nepobarvana polja lahko pobarvamo z drugo barvo (npr. z rdečo) in preštejemo število sličic, ki »spadajo vanje«. To so sličice, ki so Mateju ostale.

Če sedaj preberemo, kaj naloga od nas zahteva (vprašanje se glasi: »Koliko sličic je ostalo Mateju?«), vidimo, da imamo odgovor takorekoč na dlani: to je 3 + 3 + 3 = 9 sličic (na skici obarvano rdeče).
Točk na žalost ne bo (po sreči bi jih morda celo pri komu dobili), če ne bo računa. Ampak, ko imamo enkrat pred seboj pregledno skico, tega ni težko zapisati. Od celote (12) odštejemo število oddanih sličic (3) in dobimo 12 – 3 = 9.

Metod za reševanje besedilnih nalog je celo morje, nekaj jih najdete tudi na blogu, strokovnjaki pa vedno bolj priporočajo t.i. problemski pristop k reševanju, saj so v tem primeru naši možgani najbolj zaposleni in gradijo največ matematičnih povezav.

Tudi pri »igranju s številkami« imamo na voljo več strategij, najbolje pa se obnese tista, ki jo na podlagi predznanja in izkušenj »izumimo« sami. Ob reševanju vsake besedilne naloge v naših možganih namreč zgradimo kar nekaj novih povezav (no, točneje se to dogaja med spanjem, ampak več o tem ob kakšni drugi priložnosti), ki jih kasneje lahko koristno uporabimo.

Včasih pomaga, če si besedilno nalogo zgolj poenostavimo, da bi lažje razumeli samo bistvo le-te. Če nismo obremenjeni s »prevelikimi« ali »zakompliciranimi« številkami (na primer takimi s petimi decimalnimi mesti), imamo v delovnem spominu več prostora za razmišljanje o tem, kako bi nalogo rešili.

Primer: Ana ima prihranjenih 582,35 EUR, Marko 472,65 EUR, Katja pa 502,33 EUR. Kdo je prihranil največ in kdo najmanj? Kolikšna je razlika med največjim in najmanjšim zneskom?

Namesto velikih števil lahko uporabimo manjše, pri čemer upoštevamo razliko njihovih velikosti. Ana ima največ, nato Katja, najmanj ima Marko. Namesto »zakompliciranih« zneskov lahko rečemo, da ima Ana 3 evre, Katja 2, Marko pa 1 EUR. Tu hitro vidimo, da je razlika med Aninim in Markotovim zneskom 2 EUR, račun se glasi 3-1=2. Če sedaj uporabimo »velike« številke, dobimo račun 582,35-472,65. Rezultat pa je naš odgovor.

Nalogo si lahko še dodatno poenostavimo z uporabo izrazov »več«, »manj« in »enako« namesto konkretnih števil. Tudi vprašanje za začetek lahko »postavimo na stranski tir«. Tako se res osredotočimo le na razumevanje problema in se ne obremenjujemo z računanjem, vsaj na začetku ne.

Kogar zanima še kaj več na to temo, si lahko ogleda naslednji povezavi:

• Pam Harris: Problem solving with a twist
• Brian Bushart: Numberless word problems

Tale tip besedilnih nalog je marsikomu kar dobro poznan, bodisi zato, ker take naloge rad rešuje, bodisi zato, ker je "alergičen nanje". :)

Metod za reševanje le-teh je veliko, meni so bolj všeč bolj sistematične. Naj vam eno predstavim, najlažje kar na primeru:

Besedilo smo obarvali po naslednjem ključu:

• modra barva za podatek, ki se nanaša na prvo časovno obdobje (v našem primeru sedanjost),
• rdeča pa za podatek, ki se nanaša na drugo časovno obdobje (v našem primeru preteklost).

Uporabimo seveda lahko tudi drugačne barve, le da se držimo ključa.
Vprašanje zaenkrat še pustimo, k njem se vrnemo pri interpretaciji rezultata.

Pri reševanju naloge bomo uporabili naslednjo (univerzalno) tabelo, v kateri so:

• stolpci namenjeni časovnim obdobjem (preteklost, sedanjost, prihodnost)
• vrstice pa namenjene osebam, ki nastopajo v nalogi, pri čemer zadnja vrstica predstavlja vsoto zgornjih vrstic.

Pomembno vlogo v tabeli igra tudi barva:

• barva ozadja se nanaša na nastopajoče osebe,
• barva besedila se nanaša na časovno obdobje.

Odebeljena obroba pa nam pove, kateri dve polji v tabeli sta med seboj enaki (med njima je zapisan tufi enačaj), kar nam pomaga pri nastavljanju sistema enačb.

V našem primeru gre za dogajanje v preteklosti in sedanjosti, zato bomo uporabili le prvi in drugi stolpec. V nalogi nastopata dve osebi in sicer vsaka posebej, zato zadnje vrstice prav tako ne bomo potrebovali:

V tabelo vnesemo imena in časovne podatke, del s splošnimi spremenljivkami pa izbrišemo, vanj bomo v nadaljevanju korak za korakom vnesli konkretne vrednosti.

V tabelo vnesemo podatek za čas 1 (v našem prumeru sedanjost). Ker je Erik dvakrat starejši od Mojce, za Erika zapišemo 2x, za Mojco pa x:

Nato v tabelo vnesemo podatek za čas 2 (v našem primeru 4 leta nazaj). Ker je bil pred štirimi leti Erik trikrat starejši od Mojce, za Erika zapišemo 3y, za Mojco pa y:

​Kot vidimo, je za vsak čas "rezervirana" ena spremenljivka. Danes x, pred 4 leti y. To dvoje moramo vedno ločevati; če bomo na primer zapisali tako v rdeča kot modra polja x, bo izračun napačen.

Sedaj dopolnimo še manjkajoča polja v tabeli. Razmišljamo logično, recimo: če je danes Erik star 2x let, je bil pred 4 leti star 4 leta manj, torej 2x-4.

Poenostavljeno rečeno - če dopolnjujemo v desno, prištejemo razliko v letih med enim in drugim časom, če pa dopolnjujemo v levo, pa jo odštejemo. V našem primeru je razlika 4 leta.

Sledi nastavljanje sistema enačb. Zanj potebujemo eno enačbo iz "rumenega polja" in eno iz "zelenega polja". Enačbi "enake barve" namreč nista neodvisni, zato z njima ne moremo računati (imata neskončno rešitev). Pri odločitvi imamo povsem proste roke - izberemo take enačbe, ki jih bomo lažje rešili. Jaz sem izbral naslednji:

Pri nastavljanju sistema enačb si lahko pomagamo z univerzalno tabelo, ki smo jo spoznali na začetku tega prispevka.

Rešimo sistem enačb. X iz prve enačbe vstavimo v drugo in izračunamo y, nato pa y vstavimo nazaj
v prvo enačbo in dobimo še x:

Na koncu pa še zelo pomembno opravilo - interpretacija rezultata.

​V našem primeru nas zanima, koliko sta Erik in Mojca stara danes, zato gledamo desni stolpec v tabeli (danes).

Vsako polje v tabeli je razdeljeno na zgornji in spodnji del, za katerega vemo, da sta enaka, zato rešitev
preberemo iz tistega, ki ima »manj zakompliciran« zapis:

Za vas imam še eno metodo reševanja besedilnih nalog. Mogoče bo pa ravno ta tista, ki se vam bo dopadla. ;) Seveda si jo lahko tudi po želji prilagodite. V bistvu je to celo zaželjeno. 

Zadeva je popolnoma preprosta. Naj jo razložim na primeru.

Besedilna naloga se glasi: »V trgovini je Maja kupila 2 tablici čokolade, Jure pa trikrat toliko. Koliko čokolade sta kupila oba skupaj?«

Pa jo rešimo. Najprej:

• na levo stran lista izpišemo vse osebe in predmete,
• na desno pa podatke:

Nato z enako barvo obkrožimo vse, kar spada skupaj. Če kakšna oseba oz. predmet nastopa le enkrat, a pripada več skupinam, jo obkrožimo z več barvami. V našem primeru je to čokolada.

Če kakšna oseba oz. predmet ni povezana z nobenim podatkom, jo prečrtamo. V našem primeru je to trgovina.

​Kako vemo, da oseba oz. predmet ni povezana z nobenim podatkom? Možnosti sta (vsaj) dve:

• Preverimo, če beseda nastopa v vprašanju. V našem primeru naloga sprašuje po čokoladi, trgovina pa ni nikjer omenjena. Beseda zato ni ključna.

• Zamenjamo jo z nekim drugim premetom oz. osebo in preverimo, če to kaj vpliva na nalogo. V našem primeru »v trgovini« lahko zamenjamo z »na spletu«. To naloge prav nič ne spremeni, zato beseda ni ključnega pomena.

Razmislimo, če z enako barvo obkrožene osebe oz. predmete na levi lahko združimo. Z manj »navlake« bomo lažje nastavili račun.

​Sledi zelo pomemben del naloge – poiskati moramo povezavo med podatki. Vsaka besedilna naloga tako povezavo mora vsebovati, sicer je ni možno rešiti.

V našem primeru se povezava skriva v besedici »toliko«. Podatek »trikrat toliko« je sicer obarvan rdeče, a besedica »toliko« se nanaša na osebe, predmete in podatke, obarvane modro. Zato besedo »toliko« obkrožimo z modro barvo:

​Ko imamo vse povezave »pod streho«, si še enkrat oglejmo vprašanje. Kaj moramo izračunati?

Ker bomo računali s podatki, se osredotočimo na desno stran lista. V našem primeru nas zanima skupna količina čokolade, torej »moder« in »rdeč« del skupaj.

Za še večjo preglednost lahko poleg obkroženih podatkov še na veliko napišemo vrednosti. V našem primeru sta to »modra« in »rdeča« vrednost.

Vrednost, ki nas zanima, označimo z vprašajem ali pa kar z neznanko x. Ta naj bo drugačne barve od podatkov. V našem primeru uporabimo zeleno barvo:

Če pozorneje pogledamo desno stran lista, vidimo, da nam manjka le še korak do računa. Z zeleno smo obkrožili vrednost, ki nas zanima, torej »moder« in »rdeč« del skupaj. Besedo »skupaj« povezujemo z računsko operacijo »plus«, torej se bo račun glasil:

x=2+3∙2

Oziroma x=8. Maja in Jure sta torej kupila skupaj 8 tablic čokolade.
​
Na koncu pa še napotek. Če je naloga preveč zahtevna zgolj za izpisovanje in obkrožanje podatkov, narišemo skico, kjer nastopajoče predmete in osebe narišemo v obliki čimbolj preprostih simbolov.

Pri besedilnih nalogah imamo vedno podane neke podatke, "skrite" med besedilo, nakar sledi vprašanje (ali več vprašanj).

Za marsikoga najtežji del reševanja take naloge predstavlja zapis računa, pogosto zaradi težav pri povezovanju abstraktnega s konkretnim oziroma, kot radi rečemo, "slabe predstave".

Kaj pa, če bi nalogo "postavili na glavo"? Tako, da bi imeli najprej račun in bi si šele potem "izmislili" vprašanje?

Vzemimo za primer naslednjo nalogo:
Maja ima 3 jabolka, Jure pa 2.

Razpolagamo torej z naslednjima dvema podatkoma:

Kaj lahko izračunamo? Kakšno bi bilo lahko vprašanje?

Poglejmo si nekaj primerov:

• če seštejemo 3 in 2, dobimo vsoto vseh jabolk, torej se vprašanje lahko glasi: "Koliko jabolk imata oba skupaj?" Račun je "3+2=5", odgovor pa: "Oba skupaj imata 5 jabolk."
• če 2 odštejemo od 3, dobimo razliko jabolk, vprašanje pa se lahko glasi: "Kdo ima več jabolk in za koliko?" Račun je "3-2=1", odgovor pa: "Maja ima eno jabolko več od Jureta."
• Še eno vprašanje lahko sestavimo na podlagi odštevanja: "Koliko jabolk manjka Juretu, da jih bo imel enako kot Maja?"

Ker si vprašanje zastavimo sami, imamo račun že "v glavi" in ga lažje povežemo s konkretnim problemom.

S takimi vajami lahko enostavno in na bolj naraven način utrjujemo povezovanje abstraktnega "računskega" sveta s konkretnimi življenjskimi situacijami, saj je pot od računa do jabolk ali frnikol običajno lažja od poti v obratno smer. Za končni uspeh pa je seveda potrebno obvladati obe.

Oglejmo si naslednji primer:

Nika vsak dan preteče 5 kilometrov.
Koliko kilometrov preteče v enem tednu?

Za začetek obarvajmo besedilo s podatki z modro barvo, besedilo z vprašanji pa z rdečo:

Nika vsak dan preteče 5 kilometrov.
Koliko kilometrov preteče v enem tednu?

V zvezku besedilo težko obarvate (razen če ga prepišete ;) ), lahko ga pa podčrtate.

Nato označimo nepomembne podatke oziroma podatke, ki ne vplivajo na izračun:

• Nika (ime je lahko karkoli)
• preteče (tek) (lahko bi se tudi peljala …)

Pomembne podatke pa označimo z rumenim markerjem:

Podatki iz modrega dela so torej:

• Nika teče vsak dan v tednu.
• Nika vsak dan preteče 5 km.

​Na tem mestu se lahko malo ustavimo in razmišljamo:

• Kaj lahko sklepamo iz podatkov?
  • ​Število pretečenih kilometrov se vsak dan veča. Prvi dan 5 km, drugi dan jih je skupaj že 10, tretji dan 15 …
• Katero računsko operacijo smo pri sklepanju uporabili?
  • ​Ker se število kilometrov povečuje enakomerno, za skupno število kilometrov namesto seštevanja lahko uporabimo množenje.

Tudi v rdečem delu imamo podatek:

• Nika teče en teden.

Zopet razmišljajmo:

• V prvem stavku je bilo govora o dnevih, tu je omenjen teden. Koristno je priklicati informacijo o tem, da je en teden enako 7 dni.

Sedaj pa si oglejmo neznanko iz rdečega dela:

• Koliko kilometrov preteče Nika? (če vemo, da teče en teden in sicer vsak dan)

 
Končni razmislek:

• Ker se skupno število kilometrov vsak dan povečuje, bo končna številka višja od razdalje za posamezen dan. Ker se skupna razdalja povečuje enakomerno (Nika vsak dan preteče enako število kilometrov), bo v izračunu potrebno uporabiti računsko operacijo množenja.

Končnega izračuna na tem mestu niti ne bom zapisal, saj namen zapisa ni rešiti besedilno nalogo, ampak omeniti možnost reševanja z vmesnim razmislekom.

P.S. Dr'gač je pa rešitev 35, da se ne boste preveč tolk'l po glav' ;)

Iz preprostega razloga - ker rezultat potem kar "pade pred nas" :)

​Oglejmo si naslednjo nalogo: 

V 2.a razredu je 14 deklic in 11 dečkov, v 2.b razredu pa 12 deklic in 13 dečkov. Koliko deklic je v obeh razredih skupaj?

Kdor "obvlada", bo hitro ugotovil, da mora sešteti 14 in 12. Kaj pa tisti, ki se še učijo oziroma imajo težave pri razumevanju?

Pomaga že, če z barvami "opremimo besedilo ...

V 2.a razredu je 14 deklic in 11 dečkov, v 2.b razredu pa 12 deklic in 13 dečkov. Koliko deklic je v obeh razredih skupaj?

... še lažje pa nam bo, če situacijo skiciramo (poudarek je na "skiciramo", saj smo pri matematiki in ne pri LUM :) )

Sedaj, ko imamo sliko, bomo na vprašanja odgovorili veliko lažje. In to ne le na eno, tudi na kopico le-teh, recimo:

• Koliko deklic je v obeh razredih skupaj? (●)
• Koliko dečkov je v obeh razredih skupaj? (●)
• Koliko učencev je v 2.a razredu? (●)
• Koliko učencev je v 2.b razredu? (●)
• Je v 2.a razredu več učencev ali učenk? Za koliko? (●)
• Je v 2.b razredu več učencev ali učenk? Za koliko? (●)
• V katerem razredu je več deklic? Za koliko? (●)
• V katerem razredu je več otrok (dečki + deklice)? (●●●●)
• ...

V oklepaju so barve, na katere moramo biti pri posameznem vprašanju pozorni.

Led pri reševanju problemskih nalog učenci običajno prebijajo z osnovnimi nalogami "na plus in minus". Starši se ob reševanju domačih nalog velikokrat sprašujemo, kako bi jim pri tem pomagali. Tudi mi imamo za to nekaj predlogov :)

Zadeve gredo običajno "lažje v glavo", če se jih učimo po več skupaj in med njimi iščemo neko relacijo, v našem primeru razliko. Kakšna je razlika med nalogami "na plus" in nalogami "na minus"? Podobna kot razlika med sodelovanjem in tekmovanjem.

Zgornja dva primera lahko služita kot neka referenca, na katero se bodo učenci lahko vedno spomnili, kadar bodo "v škripcih".

Eno izmed osnovnih vodil pri učenju priporoča smer "od znanega k neznanemu", z drugimi besedami osvojitev obravnavanih lastnosti oziroma zakonitosti na dobro poznanem primeru in nato iskanje podobnih vzorcev še v drugih, manj "domačih" situacijah.

"Na minus" pogosto računamo tudi pri nalogah, ko "z danes na jutri" nečesa zmanjka ali pa se nekaj poveča, nas pa zanima razlika, recimo takole:

Ko se boste naslednjič "spopadali" s kakšno od problemskih (ali uporabnih ... hmm ... a neuporabne sploh obstajajo? :) ) nalog, si lahko pomagate z naslednjimi nasveti:
​

1. Zadnji stavek preberite najprej. V njem piše, kaj je potrebno izračunati. Ko razumete, kaj naloga od vas zahteva, se lotite branja naloge od začetka.
2. Znebite se "balasta". Ni važno npr. ime trgovine, ki prodajata čokolado, niti to, kako je ime trgovcema za blagajno, pomembno je le to, da je čokolada recimo nekje za 3 cente cenejša kot drugje.
3. Vse koristne informacije uredite v tabelo, kjer npr. v enem stolpcu odgovarjamo na vprašanje "KAJ", v drugem stolpcu pa na vprašanje "KOLIKO". V eni vrstici en podatek manjka (običajno je ta zadnja, ni pa nujno), to pa bo naša neznanka x. Stolpce in vrstice seveda lahko tudi zamenjamo, če nam je tako ljubše.
4. "Na palec" ocenite rezultat. Če stane 10 čokolad 8 evrov, potem cena za 15 čokoad verjetno ne bo nižja ;) Ta naloga je običajno najtežja, saj morate vsaj približno vedeti, kaj delate. Ko pa vam enkrat uspe, se bo verjetnost za dosežene vse točke pri nalogi močno povečala.
5. Rišite. Pustite domišljiji prosto pot, narišite karkoli, da vam bo le pomagalo pri reševanju naloge. Oče je lahko debela črta, sin tanka črta, avtobus je lahko samo en kvadrat ... Nihče vas ne bo ocenjeval po umetniški plati ;)
6. Narišite diagram poteka reševanja. Tak diagram pride prav predvsem v primerih, kjer vse potrebne vrednosti za končno enačbo niso preprosto "servirane" v besedilu naloge, temveč jih je nekaj potrebno še izračunati iz drugih enačb. Namig: Diagram poteka začnite risati "pri dnu" in nadaljujte navzgor.
7. Poskušajte. Če ste v dilemi množiti ali deliti, poskusite oboje in kombinirajte s točko 4 (ocena rezultata). Če na primer razdelite 100 g čokolade med 5 ljudi, bo račun z množenjem verjetno narobe, saj ne more vsak dobiti pol kile čokolade :) Deljenje pa je OK, saj vsak dobi 100:5=20 gramov čokolade.

Velikokrat se pri nastavljanju enačbe za problemsko (besedilno, tekstno) nalogo znajdemo pred dilemo, kdaj seštevati in odštevati oziroma kdaj množiti in deliti.

Spodnji primeri so vam pri tem lahko v pomoč:

• Erazem (b) ima pet jabolk več od  Erika (a): b = a + 5
• Ema (b) ima tri hruške manj od Vala (a): b = a - 3
• Bor (b) ima dvakrat več frnikol od  Nika (a): b = a⋅2 = 2a
• Urška (b) ima štirikrat manj sponk za lase od Zale (a): b = a:4 = a/4

Besedilo lahko tudi nekoliko obrnemo:

• Odvisna spremenljivka y je za šest večja od  neodvisne spremenljivke x:  y = x + 6
• Odvisna spremenljivka y je sedemkrat manjša od neodvisne spremenljivke x: y = x:7 = x/7
• Odvisna spremenljivka y je za tri manjša od petkratne vrednosti neodvisne spremenljivke x:
  y = 5x - 3