Priprava:

• Natisnemo predlogo in izrežemo trikotnike.
• Trikotnike premešamo in jih npr. 5 postavimo na mizo.
• S poljubnimi predmeti na vsakem trikotniku pokrijemo eno izmed spodnjih dveh številk (na svetlejši podlagi).
  • Kdor ima naš komplet didaktičnih iger, lahko uporabi priložene igralne žetone.

 
Naloga:

• Ugotovi, katero število se skriva pod posameznim predmetom.

Kaj s to nalogo utrjujemo oziroma spoznavamo: 

• odštevanje do 10,
• dopolnjevanje števil do 10,
• seštevanje preko desetice z "nogicami"

Ciljna skupina:

• 2. razred OŠ

Priprava:

• Natisnemo predlogo in na njem z debelejšim pisalom označimo nepravilno polje.
  • Meje polja naj potekajo po robovih kvadratkov.

 
Naloga:

• Ugotovi, koliko kvadratkov je znotraj označenega polja. 

Kaj s to nalogo utrjujemo oziroma spoznavamo: 

• poštevanko,
• računske izraze z množenjem in seštevanjem,
• povezavo med množenjem in ploščino,
• problemsko reševanje nalog

Vprašanja za pogovor:

• Če otrok šteje posamezne kvadratke, ga lahko vprašamo, če obstaja kakšen hitrejši način. (Označeno polje lahko razdelimo na pravokotnike in kvadratke znotraj pravokotnikov izračunamo s pomočjo poštevanke, nato pa posamezne zmnožke seštejemo, da dobimo končno število kvadratkov.)
• Kje v življenju uporabljamo take izračune? (Pri ugotavljanju površine stanovanja ali kmetijskega zemljišča itd.)
• Kako imenujemo zapis celotnega računa? (Računski izraz.)

Ciljna skupina:

• po učnem načrtu od 3. razreda OŠ naprej,
• za mlajše pa aktivnost ob pomoči staršev ali učitelja lahko predstavlja zanimive prve korake k reševanju problemov, kjer strategija ni vnaprej znana​.
  ​

Naloga: 

• Zapiši prvih deset večkratnikov števil od 1 do 10.
  • Za boljšo preglednost lahko vsak sklop večkratnikov zapišeš z drugo barvo.
  • Večkratnike lahko zapišeš na lističe (na vsak list en večkratnik) ali pa natisneš predlogo v priponki, zapišeš večkratnike v okvirčke ter jih izrežeš.
• Lističe z večkratniki razvrsti po velikosti, od najmanjšega do največjega.

Kaj s to nalogo utrjujemo oziroma spoznavamo: 

• Večkratnike števil od 1 do 10,
• poštevanko,
• delitelje števil od 1 do 100.

 
Vprašanja za pogovor:

• Kaj predstavljajo večkratniki posameznih števil? (Zmnožke, ki nastopajo v poštevanki.)
• Se vsak zmnožek pojavi le enkrat ali se kakšni izmed njih pojavijo tudi večkrat? (Nekateri se pojavijo večkrat.)
  • Kaj nam pove večkratna pojavnost posameznih večkratnikov? (Če se na primer število 8 pojavi med večkratniki števila 2, 4 in 8, pomeni, da je deljivo z vsemi tremi števili.)
  • Imajo števila na lističih še kakšne druge delitelje? (Da, vsako izmed njih je deljivo vsaj še s številom 1 in samo s seboj.)
  • Obstajajo še kakšni delitelji števil, ki jih nismo zajeli? Kateri so to? (Da. Poštevanka zajema le večkratnike in delitelje števil od 1 do 10. Število 45 je na primer deljivo tudi s 15.)

 
Podobne naloge:

• Zapišemo lahko tudi večje število večkratnikov, na primer do 20. Tako najdemo še več povezav med množenjem in deljenjem števil.

 
Ciljna skupina:

• Po učnem načrtu 3 razred OŠ,
• Če se ne osredotočamo na poštevanko, ampak na občutek za števila, pa že takoj, ko učenec zna šteti po 1, po 2, po 3 ... od 1 do 100.

Naloga: 

• Izberi si račun poštevanke, ki ti povzroča težave.
• Nariši ga na papir (idejo najdeš tule) in izreži.
  • Lahko si pomagaš tudi s priloženimi tabelami – na primer za račun 9x5 izbereš tako s petimi vrsticami in en stolpec odrežeš.
  • Pazi na to, da so stolpci in vrstice enakih dimenzij (tvoji pravokotniki morajo biti sestavljeni iz skladnih kvadratkov).
• S pomočjo prepogibanja izrezanega pravokotnika reši račun poštevanke.

 
Kaj s to nalogo utrjujemo oziroma spoznavamo: 

• poštevanko,
• koncept množenja,
• povezavo množenja s ploščino,
• distributivnostni zakon

 
Vprašanja za pogovor:

• Zakaj morajo biti stolpci in vrstice enakih dimenzij? (Zato, ker vsak okvirček predstavlja točno eno enoto.)
• Je polje, ki predstavlja račun poštevanke, vedno v obliki pravokotnika? Zakaj (ne)? (V primerih, ko sta faktorja enaka, je polje v obliki kvadrata.)
• Bi lahko za grafično ponazoritev računa poštevanke izbral tudi kakšno drugo tabelo? Bi bilo to smiselno? (Da, zaradi veljavnosti zakona o zamenjavi faktorjev pri množenju. Smiselnost pa je odvisna od tega, koliko tabele je potrebno odrezati. Za račun 9x5 je recimo bolje izbrati tabelo s 5 vrsticami, katere zadnji stolpec odrežemo, namesto tabele z 9 vrsticami, kateri je potrebno odrezati 5 stolpcev.)
• Kako lažje prideš do rezultata – s pregibanjem po stolpcih ali po vrsticah tabel? (Odvisno od računa. Pri računu 9x5 je pravokotnik recimo lažje razdeliti na tri pravokotnike dimenzij 3x5 kot pa na 5 pravokotnikov dimenzij 9x1.)

 
Podobne naloge:

• Izberemo si dva računa poštevanke in vrednosti primerjamo med seboj.
  • V tem primeru je priporočljivo, da sta grafična prikaza računov različnih barv.
  • Za lažjo primerjavo lahko polja kvadratkov tudi ustrezno razrežemo.

 
Ciljna skupina:

• po učnem načrtu 3 razred OŠ,
• če se ne osredotočamo na poštevanko, ampak na iznajdljivost pri seštevanju s pomočjo združevanja, pa že takoj, ko zna šteti preko 20 (temu ustrezno prilagodimo nalogo), pozna pojma stolpec in vrstica ter ve, kako izgleda pravokotnik. 

Naloga: 

• Vzamemo od 1 do 20 poljubnih elementov (gumbi, fižolčki, kocke ...); lahko na primer sežemo z roko v posodo in jih vzamemo ven toliko, kolikor se jih je "ujelo" v pest.
• Učenec elemente prešteje.
• Vse elemente postavimo na levo stran, nato pa  učenec enega po enega prestavlja na desno stran in ob vsaki kombinaciji sestavi račun seštevanja (na primer  9+1=10, 8+2=10, 7+3 =10...). 
• Ko smo "na polovici" (parna/soda števila) oziroma na mestu najmanjše razlike med levim in desnim kupčkom (neparna/liha števila), aktivnost ustavimo, učenec pa naj poišče dvakratno vrednost elementov, tako na levi kot na desni strani. 
• Učenec nadaljuje z aktivnostjo, dokler vsi elementi niso na desni strani, 
• Zatem učenec elemente enega po enega prestavi nazaj na levo stran, ob vsaki kombinaciji pa sestavi račun odštevanja (na primer  10-1=9, 10-2=8, 10-3=7 ...). 

Dodatna naloga:

• Na poljubni točki lahko aktivnost lahko ustavimo, učenec pa naj za tisto kombinacijo elementov poišče vse štiri račune seštevanja in odštevanja.

Kaj s to nalogo utrjujemo oziroma spoznavamo: 

• seštevanje  in odštevanje v okviru števil do 20 (angl. number bonds)
• zakon o zamenjavi (velja za seštevanje, za odštevanje pa ne)
• dvojno vrednost
• polovično vrednost
• povezavo med  dvakratno in polovično vrednostjo

Vprašanja za pogovor: 

• Že takoj ko učenec prešteje elemente, ga lahko vprašamo, kako bi jih razdelil na polovico in če mogoče že ve, koliko je polovična vrednost le-teh.
• Ob iskanju dvakratne vrednosti  ga lahko vprašamo o povezavi med polovico in dvakratno vrednostjo.  Lahko se pogovarjamo tudi o tem, da v okviru naravnih števil sodim številom lahko poiščemo polovično vrednost, lihim pa ne.
• Ko pri seštevanju učenec pride čez polovico, ga lahko vprašamo: "Kaj opaziš?" (Pozorni smo na to, da je vsota vedno enaka, ko pridemo čez polovico, pa se pojavijo računi z zamenjanima seštevancema.)
• Tudi pri odštevanju lahko zastavimo vprašanje: "Kaj opaziš?" Ter: "Kaj je sedaj drugače kot pri seštevanju?" (Zmanjševanec je vedno enak, odštevanec in razlika pa se menjata tako, kot sta se pri seštevanju seštevanca.)

Ciljna skupina:

• drugi razred OŠ

​Skladnost s priporočili:
V izogib težavam pri težjih matematičnih problemih je na koncu 2. razreda OŠ priporočljivo, da učenec tekoče računa do 20. Sem spadajo vsi računi seštevanja in odštevanja do 20 ter iskanje dvojnih in polovičnih vrednosti v okviru števil do 20. Aktivnost zajema utrjevanje vseh naštetih veščin.

Naloga: 

• Izberi enega izmed rezultatov poštevanke (na primer 24).
• Vzemi elemente ploščatih oblik, npr. kvadratke (lahko si pomagaš z mrežo, ki jo natisneš na zadnjo stran kolaž papirja) in jih  zloži na stotični kvadrat tako, da zapolneš zaporedna mesta od 1 naprej.
• Kvadratke  zloži v pravokotnik (v kolikor že niso).  Pri tem si lahko pomagaš s kvadratom poštevanke.

Kaj s to nalogo utrjujemo oziroma spoznavamo: 

• Mestnovrednostni koncept,
• poštevanko,
• povezavo med stotičnim kvadratom in  kvadratom poštevanke,
• koncept množenja,
• zakon o zamenjavi faktorjev pri množenju,
• povezavo množenja s ploščino ter
• različna pogleda na posamezno naravno število - kot vsoto desetic in enic oziroma zmnožek dveh faktorjev.

Vprašanja za pogovor

Pred prelaganjem kvadratkov: 

• Kaj ugotoviš pri zlaganju  kvadratkov na stotični kvadrat? (Zapolnim dve celotni vrstici (desetici) in 4 enice.)
• So kvadratki na stotičnem kvadratu zloženi v obliko pravokotnika? Kaj to pomeni? (Če so zloženi v obliko pravokotnika, pomeni, da so v številu le desetice, sicer ne.)
  • Če so kvadratki zloženi v obliko pravokotnika, lahko zastavimo dodatno vprašanje: "Večkratnike katerega števila lahko zložimo v enako obliko tako na stotičnem kvadratu kot na kvadratu poštevanke? Zakaj?" (Večkratnike števila 10. Zato, ker so desetice večkratniki števila 10.

Po prelaganju kvadratkov: 

• Kaj predstavljata stranici pravokotnika? (Faktorja računa poštevanke.)
• Bi lahko kvadratke razvrstil v pravokotnik tudi na drugačen način? Kako? (Primer: 24 kvadratkov lahko zložimo v pravokotnike 8x3, 3x8, 4x6, 6x4, 2x12, 12x2, 1x24 in 24x1. )
  • Zakaj to lahko storimo? (Zato, ker se število 24 pojavi v več rezultatih poštevanke. Zato, ker ima število 24 več deliteljev. Zato, ker za množenje velja zakon o zamenjavi (3⋅8 je recimo enako kot 8⋅3)).
  • Lahko drugače zložimo tudi tiste kvadratke, ki že imajo obliko pravokotnika? Zakaj? (Da, saj so večkratniki števila 10 deljivi tudi z 2 in 5.)
• Se lahko zgodi, da pri prelaganju kvadratkov namesto pravokotnika dobimo kvadrat? Kdaj? (Da. Takrat, kadar sta oba faktorja v računu poštevanke enaka.)

Ciljna skupina:

• po učnem načrtu 3 razred OŠ,
• če otroku pomagamo pri izbiri rezultata poštevanke pa že takoj, ko zna šteti do 10 in ve, kako izgleda pravokotnik. 

​Mlajših otrok še ne obremenjujemo s pojmom poštevanka, ampak jih zgolj vzpodbujamo k zlaganju kvadratkov v pravokotnike oziroma kvadrate.

Naloga: 

• Izberi enega izmed računov poštevanke (na primer 3⋅8).
• Vzemi elemente ploščatih oblik, npr. kvadratke (lahko si pomagaš s priloženo mrežo, ki jo natisneš na zadnjo stran kolaž papirja) in jih razvrsti v 3 vrstice po 8 kvadratkov
• Kvadratke preloži na stotični kvadrat tako, da zapolneš zaporedna mesta od 1 naprej.

Kaj s to nalogo utrjujemo oziroma spoznavamo: 

• poštevanko
• koncept množenja
• povezavo množenja s ploščino
• mestnovrednostni koncept
  
• povezavo med kvadratom poštevanke in stotičnim kvadratom. ter
• različna pogleda na posamezno naravno število - kot vsoto desetic in enic oziroma zmnožek dveh faktorjev

Vprašanja za pogovor: 

• Bi lahko elemente razvrstil tudi v 8 vrstic po 3 kvadratke? Zakaj (ne)? (Lahko, saj za množenje velja zakon o zamenjavi in je 3⋅8 enako kot 8⋅3.)
• Kaj ugotoviš, ko kvadratke preložiš na stotični kvadrat? (Kvadratki zapolnejo 2 celotni desetici in 4 enice, kar nam da število 24, to pa je tudi rezultat računa poštevanke 3⋅8.)

Ciljna skupina:

• po učnem načrtu 3 razred OŠ,
• če otroku pomagamo pri izbiri faktorjev pa že takoj, ko zna šteti do 10 in pozna pojma stolpec in vrstica. 

Mlajših otrok še ne obremenjujemo s pojmom poštevanka, ampak jih zgolj vzpodbujamo k zlaganju kvadratkov v stolpce in vrstice ter prelaganju kvadratkov iz ene postavitve v drugo.

Na koncu sem vam dolžan še razlago naslova naloge. :) Na račune poštevanke lahko gledamo kot na štetje v drugih številskih sistemih (dvojiškem, trojiškem, osmiškem ...), kjer imamo zgolj od ene do devet števk. Razen tistih, seveda, pri katerih ima en izmed faktorjev vrednost 10; ti se "nahajajo" v desetiškem številskem sistemu. Zato je tudi poštevanka števila 10 najlažja. Če bi nam bili ostali sistemi tako "domači" kot desetiški, nam poštevanka sploh ne bi delala težav, saj bi namesto poštevanke zgolj šteli.  :)

Naloga: 

• Izmisli si naravno število med 10 in 100 (11, 12, ... 98, 99).
• razdeli ga na desetice in enice - dobiš dve števki (cifri); npr. iz števila 56 dobiš števki 5 in 6.
  • Seštej števki, ki predstavljata desetico in enico (npr. 5+6).
  • Odštej števki, ki predstavljata desetico in enico (obe možnosti, npr. 5-6 in 6-5)
  • Zmnoži števki, ki predstavljata enico in desetico (npr. 5⋅6).

Kaj s to nalogo utrjujemo: 

• seštevanje in odštevanje celih števil
• množenje
• mestnovrednostni koncept

Vprašanja za pogovor:

• Kje nam to znanje oz. veščina lahko koristi? (pri razstavljanju tričlenikov po Vietovem pravilu)​
• Zakaj sta v navodilu naloge obe možnosti navedene le pri odštevanju, ne pa tudi pri seštevanju in množenju? (za seštevanje in množenje velja zakon o zamenjavi, za odštevanje pa ne)

Podobne naloge:

• Naloge se lahko lotimo tudi tako, da s kvadrata poštevanke vzamemo poljubni zmnožek (npr. 12) in zapišemo vse možne kombinacije njegovih faktorjev. Pa recimo, da se tu zaenkrat omejimo na naravna števila (v našem primeru torej 1⋅12, 2⋅6, in 3⋅4), nato pa vse kombinacije faktorjev seštejemo in odštejemo. Ta naloga pa je še nekoliko bližje razstavljanju po Vietovem pravilu, kajne ;)
• Če pa želimo povsem pravo utrjevanje za  uporabo Vietovega pravila, pa je zmnožek iz prejšnje alineje lahko tudi negativen (npr. -12), kombinacije njegovih faktorjev (ne pozabimo, da so tudi ti laho negativni) pa bomo v tem primeru zgolj seštevali .

Ciljna skupina:

• če želite utrjevati za Vietovo pravilo: 1. letnik SŠ
• če želite le seštevati, odštevati (v množici celih števil) in množiti: 8. razred OŠ
• če želite le seštevati, odštevati (v množici naravnih števil) in množiti: 3. razred OŠ

Naloga: 

• Zapiši prvih 10 večkratnikov števil od 1 do 10, za vsako število v novo vrsto.
  
• Poišči enaka števila in jih poveži med seboj. Pri tem lahko uporabiš različne barve.

Kaj s to nalogo utrjujemo: 

• večkratnike števil od 1 do 10
• poštevanko
• iskanje razlik in podobnosti

Poleg tega pa se urimo tudi v pozornosti, natančnosti in iznajdljivosti.

Vprašanja za pogovor:

• ​Se vsako število pojavi enakokrat? (ne, največ se jih pojavi 2x, nekatera večkrat, nekatera pa le 1x)
  • Zakaj se nekatera števila pojavijo večkrat? (zato, ker imajo med števili od 1 do 100 več večkratnikov)
• Obstaja med enakimi števili kakšna vizualna povezava? (da, zgornja desna in spodnja leva polovica sta zrcalni preko diagonale kvadratov števil)
  • Pri čem ti ta povezava koristi? (naučiti se moram le polovico kvadrata poštevanke)
  • Kaj nam ta povezava pove? (za množenje velja zakon o zamenjavi) 
    

Podobne naloge:

• Polje števil lahko dopolnimo z dodatno zgornjo vrstico in dodatnim levim stolpcem, kamor vpišemo  množence in množitelje (faktorje), nato pa:
  
  • zmnožke (rezultate poštevanke) pokrijemo,
  • odkrijemo naključno polje in
    
  • iščemo njegove "dvojnike"

Ciljna skupina:

• po učnem načrtu 3 razred OŠ,
• če otroku pomagamo pri zapisu večkratnikov števil pa že takoj, ko otrok pozna števila od 1 do 100  oziroma
  
• takoj, ko je sposoben ločevati različne zapise

Naloga: Zapiši prvih 10 večkratnikov števila med 10 in 99.

Kaj s to nalogo utrjujemo: 

• seštevanje števil preko 20 oziroma 100
• deljenje z dvomestnim številom (deliteljem)

Vprašanja za pogovor:

• ​Kje v matematiki ti bo to znanje koristilo? (deljenje z dvomestnim številom)
• Kakšna je tvoja strategija zapisovanja večkratnikov?
• Bi znal te večkratnike narisati?

Podobne naloge:

• Iščemo lahko tudi večkratnike števil od 1 do 10
  • na ta način utrjujemo poštevanko
  • utrjevanje deljenja z enomestnim številom

Ciljna skupina:

• po učnem načrtu 5. razred OŠ,
• neformalno takoj, ko otrok zna seštevati preko 20 oziroma 100.