OSVOJI ZNANJE
  • Baza znanja
    • Triki in nasveti >
      • Matematika
      • Fizika
      • Geografija
      • Angleščina
      • Elektrotehnika
      • Kemija
      • Slovenščina
    • Na hitro ponovim >
      • Matematika
      • Fizika
      • Geografija
      • Slovenščina
      • Kemija
    • Besedilne naloge
    • Učenje in organizacija
  • Aktivnosti
    • Vodene aktivnosti
    • #wodb naloge
    • Problemske naloge
    • Podobnosti in razlike
    • Na kaj pomisliš
    • Računanje "na palec"
    • Problemske niti
  • Igre
    • Igraje do stotice
    • Igriva praštevanka in Čista stotica
    • Brezplačne igre
  • O blogu
  • Kontakt

Pogled na racionalna števila z različnih zornih kotov

29/4/2021

0 Comments

 
V osnovni šoli se v glavnem učimo, da ulomek predstavlja del celote in ga zapišemo kot količnik dveh celih števil. Pa je to vse, kar lahko povemo o njih?

V strokovni literaturi najdemo več interpretacij ulomkov, oziroma splošneje, racionalnih števil. Susan J. Lamon jih v knjigi »Teaching Fractions and Ratios for Understanding«  navaja kar pet:
  • del celote,
  • merska enota,
  • računska operacija,
  • količnik (kvocient) ali kot
  • razmerje

Za lažjo predstavo si jih oglejmo na primerih:
  • Če smo imeli 5 evrov in smo 4 zapravili, je 4/5 del celotnega zneska, po drugi strani pa smo prihranili 1/5 celotnega zneska.
  • Če družina vsak dan porabi 3/4 litra mleka, to količino lahko obravnavamo kot mersko enoto in jo kot tako lahko prikažemo tudi na številskem traku. Če ima merska enota v števcu vrednost 1, je zadeva še enostavnejša, saj »merimo« s preprostim preštevanjem: ena četrtina, dve četrtini, tri četrtine ... ali pa ena ¼, dve ¼, tri ¼ ... Posebna primera takih merskih enot sta odstotek (1/100) in promil (1/1000).
  • 2/3 od 15 jabolk izračunamo tako, da jabolka najprej razdelimo na 3 enake dele, nato pa vzamemo 2 od njih. 2/3 je v tem primeru računska operacija, ki vključuje množenje in deljenje. Na tem mestu lahko opazimo tudi povezavo s prejšnjo alinejo - če 1/3 jabolk vzamemo za mersko enoto, sta 2/3 dve taki enoti.
  • Če 3 čokolade (enakomerno) razdelimo med 5 otrok, nam količnik preprostega računa deljenja 3:5 pove, kolikšen delež dobi vsak izmed njih. Količnik poleg ulomka zapišemo lahko tudi v obliki decimalnega števila ali odstotka.
  • Rezultat nogometne tekme 1:2 nam pove razmerje med številom golov, ki jih je dosegla posamezna ekipa, ampak pozor! 1:2 je razmerje, ni pa ulomek! Gre namreč zgolj za primerjavo dveh številskih vrednosti oziroma količin in ne dela proti celoti. Vsak ulomek torej predstavlja razmerje, vsako razmerje pa ne predstavlja ulomka. Ulomek je denimo del(ež) proti celoti (npr. 1 gol prve ekipe proti 3 skupno doseženim golom na tekmi), ne pa celota proti del(ež)u ali en del(ež) proti drugemu del(ež)u (npr. rezultat nogometne tekme). Ne nazadnje imenovalec ulomka ne sme biti 0, medtem ko se pri športu lahko hitro zgodi, da kakšna od ekip ne doseže nobene točke.

S pogledom na racionalna števila z različnih zornih kotov in iskanjem povezav med njimi si lahko olajšamo reševanje marsikatere problemske naloge, omenjena tema pa je primerna tudi za »razredno debato«, od katere bodo učenci odnesli veliko več, kot od učenja na pamet iz zvezka ali učbenika.

Če koga zanima še kaj več o tem, si lahko posluša odličen podcast Pam Harris in Kim Montague na to temo.
0 Comments

Lastnost (nečesa) : odnos (med večimi)

28/11/2020

0 Comments

 
Marsikomu se je že zgodilo, da je v matematiki zamešal pojma lastnost (značilnosti, karakteristika) in odnos (zveza, relacija).

O lastnosti  običajno govorimo takrat, ko nekoga ali nekaj opisujemo, na primer:
  • Jože je zelo preudaren gospodar.
  • Moj avto ima 100 konjskih moči.
  • ipd.

Enako je pri matematiki:
  • Trikotnik ima tri stranice.
  • Število 4 ima  tri deljitelje.
  • ipd.

O odnosu pa govorimo, ko iščemo povezave med več ljudmi, stvarmi ali pojmi, na primer:
  • Jože in Zdravko sta dobra prijatelja.
  • Tole motorno olje zelo blagodejno vpliva na motor mojega avtomobila.

In prav tako pri matematiki:
  • Trikotnik ABC in kvadrat BCDE imata eno stranico skupno.
  • Najmanjši skupni večkratnik števil 2 in 3 je 6.​
0 Comments

Računi "na koliko"

21/11/2020

1 Comment

 
Računi "na koliko" predstavljajo uvod v reševanje enačb, ki velja za eno temeljnih matematičnih veščin. Zato je zelo pomembno, da jih učenci dejansko razumejo in se jih ne učijo na pamet, kamoli uporabljajo različne "trike", kjer čez nekaj časa ne vemo več ali je plus ali minus, kaj se od česa odšteje itd. 

Pri teh računih nam lahko močno pomaga tudi vizualna predstava, predvsem pri pretvarjanju v "običajen" račun - tak, ki ima neznanko na svoji strani enačaja. S tem namenom je na spodnjih slikah vsakemu tipu računa dodan grafičen element v obliki dvojnega traka, pri katerem dolžina najdaljšega dela traka ustreza vsoti krajših delov. Med zgornjim in spodnjim delom velja torej enakost, tako kot v enačbi.

Seštevanje
Picture
Namig: Če ne vemo, katero število postaviti v najdaljši del traku, pomislimo, da je pri računu seštevanja na eni strani enačbe vedno vsota števil z druge strani enačaja in ker ta števila seštejemo med seboj, je vsota vedno največje število. V najdaljšem delu traku je torej število, ki v enačbi stoji na svoji strani enačbe. Logično, saj le-to zaseda celotno dolžino traku.

Odštevanje
Picture
Namig: Če ne vemo, katero število postaviti v najdaljši del traku, pomislimo, da je pri računu odštevanja največje število vedno na skrajni levi strani, saj od njega nato odštevamo druga števila. To število se nahaja tudi v najdaljšem delu traku.

Če imajo učenci z nekim grafičnim prikazom (npr. zvezni trak) še težave, lahko uporabimo nižji nivo abstrakcije
, na primer žetončke.
1 Comment

Kaj lahko počnemo z matematičnimi izrazi?

29/8/2018

0 Comments

 
Na hitro ponovimo, kaj lahko počnemo z matematičnimi izrazi.

Računske izraze (vsebujejo le številke, ki jim učeno rečemo koeficienti oziroma številski faktorji) izračunamo. Rešitev takega izraza je številka.

Algebrske izraze (poleg številk vsebujejo tudi črke oziroma spremenljivke) pa lahko:
  • poenostavimo (na koncu dobimo "kačo" členov, med katerimi so plusi in minusi)
  • razstavimo (na koncu dobimo le en člen, ki je običajno sestavljen iz zmnožka oklepajev)
  • najprej poenostavimo in potem še razstavimo.
Če pa spremenljivkam dodelimo številske vrednosti, algebrski izraz postane računski in ga lahko izračunamo.
0 Comments

O linearnih faktorjih, rešitvah, ničlah in presečiščih z x osjo

22/7/2018

0 Comments

 
Na Twitter profilu matematika Matta Enlowa smo našli zanimivo objavo, ki povezuje znanje o izrazih,  enačbah, ničlah funkcij in presečiščih grafa funkcije z abscisno (x) osjo.

Za lažjo predstavo ga razložimo na primeru izraza v obliki polinoma (v našem primeru druge stopnje):

p(x)=x²-x-6

Če polinom razstavimo, dobimo produkt linearnih faktorjev (v oklepajih, v našem primeru sta dva):

p(x)=(x-3)(x+2)

Če polinom izenačimo z 0, dobimo enačbo:

(x-3)(x+2)=0

Rešitve te enačbe so hkrati ničle polinoma (v našem primeru sta dve):

x₁=3
x₂=-2


O povezavi med produkti linearnih faktorjev in ničlah polinoma smo pisali že tule.

Za polinom lahko rečemo, da je vrsta funkcije, ki jo dobimo s seštevanjem in množenjem. V razstavljeni obliki smo jo že zapisali:

f(x)=(x-3)(x+2)

​Če funkcijo izenačimo z 0, dobimo ničle funkcije, ki so enake rešitvam enačbe:

x₁=3
x₂=-2


Funkcijo lahko ponazorimo z njenim grafom:
Picture
Točke, kjer graf seka abscisno (x) os koordinatnega sistema, imenujemo presečišča z x osjo. Vrednosti na x osi, kjer so presečišča, sovpadajo z rešitvami enačbe oziroma ničlami funkcije.

Omenjeno znanje z določenimi prilagoditvami in omejitvami lahko razširimo na vse izraze, ne le polinome.
0 Comments

Pri potencah ne pozabi ...

6/6/2018

0 Comments

 
"Karkoli na nič" je vedno 1:

1⁰ = 2⁰ = 3⁰ ... = 1

"Nič na karkoli" pa je vedno 0:

0¹ = 0² = 0³ = ... = 0

Situacija okoli "nič na nič" pa je nekoliko bolj zakomplicirana.
Razjasni vam jo tale video. (vir: Brilliant.org)
0 Comments

Aritmetika : algebra

26/12/2017

0 Comments

 
Ko je govora o matematiki, omenjena dva izraza slišimo velikokrat.

Naj vam na kratko pojasnimo, kaj spada pod vsakega izmed njiju:
  • Aritmetika obravnava zgolj konkretna števila in računske operacije med njimi (seštevanje, odštevanje, množenje in deljenje). Primer: 2+3=5
  • v algebri pa konkretna števila nadomeščajo spremenljivke (označujemo jih s črkami). S tem se nam odpre neskončno možnosti za "igranje" s števili, saj vsaka spremenljivka lahko predstavlja katerokoli številsko vrednost. Ker nismo več omejeni na posamezna števila, lahko v okviru algebre zapišemo splošne zakone aritmetike, enačbe itd. Primer: a⋅b=b⋅a (velja za katero koli vrednost a in b)

Vir: Wikipedia
0 Comments

Razmerje, sorazmerje, sklepni račun, podobnost...

10/3/2016

0 Comments

 
Verjeli ali ne, vse to lahko "vržemo v isti koš"... Pa pojdimo lepo po vrsti...

Omejimo se na enostavna (dvočlena) razmerja, ki podajajo odnos med dvema količinama (oziroma veličinama, če vam je ljubše "tehnično" izražanje).

Razmerje zapišemo v obliki količina1:količina2. Enostavno ga lahko ponazorimo z rezultatom hokejske tekme:
Jesenice:Olimpija = 2:1
Levo je razmerje količin (neke vrste legenda), desno pa razmerje enot.

Pojem sorazmerje pa uporabimo takrat, kadar želimo povedati, da sta dve razmerji enaki, recimo
Jesenice:Olimpija = Triglav:Slavija = 2:1
Po domače povedano, Jesenice so ravno toliko boljše od Olimpije, kot je Triglav boljši od Slavije.

Količine običajno niso vedno enake, ampak se njihove vrednosti spreminjajo. Glede na to, v kakšnem medsebojnem odnosu sta opazovani količini, delimo sorazmerja v dve skupini:
  • pri premem sorazmerju se ob povečanju prve količine (Pozor! gre za povečanje za 2x, 3x,... in ne za 2, 3,... enote!) istočasno sorazmerno poveča tudi druga količina (za 2x, 3x...). Primer: 1 čokolada stane 2 evra, 2 čokoladi staneta 2x2=4 evre, tri čokolade 3x2=6 evrov,...
  • pri obratnem sorazmerju se ob povečanju prve količine (Pozor! gre za povečanje za 2x, 3x,... in ne za 2, 3,... enote!) istočasno sorazmerno zmanjša tudi druga količina (za 2x, 3x...). Primer: 1 delavec koplje jarek 6 ur, dva delavca 6/2=3 ure, 3 delavci 6/3=2 uri,...

Iskanje neznane količine, ki je v premem ali obratnem sorazmerju s podano količino, imenujemo sklepni račun.

Sedaj pa med zgoraj povedano uvrstimo še pojem podobnost:
  • Razmerja enakoležnih stranic v podobnih likih so premo sorazmerna.
    Primer:  če imamo trikotnik ABC in njemu podoben trikotnik A’B’C’, velja a:b = a':b',  a:c = a':c', b:c = b':c'​,...
0 Comments

PERMUTACIJE, VARIACIJE, KOMBINACIJE

2/3/2016

1 Comment

 
Tole bom poskusil razložiti s čim manj enačb.

Najprej razlika med omenjenimi pojmi:
  • pri permutacijah menjamo vrstni red že postavljenih predmetov
  • pri variacijah postavljamo predmete na določeno mesto, kjer pa ni nujno prostora za vse
  • pri kombinacijah jemljemo predmete z določenega mesta, običajno ne vseh

Sledijo najpogostejši primeri:
  • permutacije: menjamo vrstni red knjig na polici; če gre za permutacije s ponavljanjem, so nekatere knjige med seboj enake
  • variacije: sestavljamo "playlisto" za večerno zabavo (cut/paste način); če gre za variacije s ponavljanjem, ista pesem lahko zaseda več mest na "playlisti" (copy/paste način). Varianta s ponavljanjem je sicer nesmiselna, je pa dober primer.
  • kombinacije: žrebanje loto številk; če gre za kombinacije s ponavljanjem, isto številko lahko izžrebamo večkrat (vračanje žogic nazaj v boben). Če bi se zgodilo slednje, bi to v praksi po pomenilo velik škandal, papir oziroma spletna stran pa prenese vse, pa še lažje si boste zapomnili, ker gre za nekaj nezaslišanega.

Kasneje dodam še nekaj enačb, ker brez njih se na žalost ne da ničesar izračunat. Bodo pa enostavne kar se da.
1 Comment

    Arhiv

    April 2021
    November 2020
    August 2018
    July 2018
    June 2018
    December 2017
    March 2016

    Categories

    All
    Algebra
    Aritmetika
    Izrazi
    Kombinatorika
    Podobnost
    Polinomi
    Potence
    Sklepni Račun
    Sorazmerje
    Splošno
    Ulomki

    RSS Feed

Powered by Create your own unique website with customizable templates.
  • Baza znanja
    • Triki in nasveti >
      • Matematika
      • Fizika
      • Geografija
      • Angleščina
      • Elektrotehnika
      • Kemija
      • Slovenščina
    • Na hitro ponovim >
      • Matematika
      • Fizika
      • Geografija
      • Slovenščina
      • Kemija
    • Besedilne naloge
    • Učenje in organizacija
  • Aktivnosti
    • Vodene aktivnosti
    • #wodb naloge
    • Problemske naloge
    • Podobnosti in razlike
    • Na kaj pomisliš
    • Računanje "na palec"
    • Problemske niti
  • Igre
    • Igraje do stotice
    • Igriva praštevanka in Čista stotica
    • Brezplačne igre
  • O blogu
  • Kontakt