V osnovni šoli se v glavnem učimo, da ulomek predstavlja del celote in ga zapišemo kot količnik dveh celih števil. Pa je to vse, kar lahko povemo o njih?
V strokovni literaturi najdemo več interpretacij ulomkov, oziroma splošneje, racionalnih števil. Susan J. Lamon jih v knjigi »Teaching Fractions and Ratios for Understanding« navaja kar pet:
Za lažjo predstavo si jih oglejmo na primerih:
S pogledom na racionalna števila z različnih zornih kotov in iskanjem povezav med njimi si lahko olajšamo reševanje marsikatere problemske naloge, omenjena tema pa je primerna tudi za »razredno debato«, od katere bodo učenci odnesli veliko več, kot od učenja na pamet iz zvezka ali učbenika. Če koga zanima še kaj več o tem, si lahko posluša odličen podcast Pam Harris in Kim Montague na to temo.
0 Comments
Marsikomu se je že zgodilo, da je v matematiki zamešal pojma lastnost (značilnosti, karakteristika) in odnos (zveza, relacija).
O lastnosti običajno govorimo takrat, ko nekoga ali nekaj opisujemo, na primer:
Enako je pri matematiki:
O odnosu pa govorimo, ko iščemo povezave med več ljudmi, stvarmi ali pojmi, na primer:
In prav tako pri matematiki:
Računi "na koliko" predstavljajo uvod v reševanje enačb, ki velja za eno temeljnih matematičnih veščin. Zato je zelo pomembno, da jih učenci dejansko razumejo in se jih ne učijo na pamet, kamoli uporabljajo različne "trike", kjer čez nekaj časa ne vemo več ali je plus ali minus, kaj se od česa odšteje itd. Pri teh računih nam lahko močno pomaga tudi vizualna predstava, predvsem pri pretvarjanju v "običajen" račun - tak, ki ima neznanko na svoji strani enačaja. S tem namenom je na spodnjih slikah vsakemu tipu računa dodan grafičen element v obliki dvojnega traka, pri katerem dolžina najdaljšega dela traka ustreza vsoti krajših delov. Med zgornjim in spodnjim delom velja torej enakost, tako kot v enačbi. Seštevanje Namig: Če ne vemo, katero število postaviti v najdaljši del traku, pomislimo, da je pri računu seštevanja na eni strani enačbe vedno vsota števil z druge strani enačaja in ker ta števila seštejemo med seboj, je vsota vedno največje število. V najdaljšem delu traku je torej število, ki v enačbi stoji na svoji strani enačbe. Logično, saj le-to zaseda celotno dolžino traku. Odštevanje Namig: Če ne vemo, katero število postaviti v najdaljši del traku, pomislimo, da je pri računu odštevanja največje število vedno na skrajni levi strani, saj od njega nato odštevamo druga števila. To število se nahaja tudi v najdaljšem delu traku.
Če imajo učenci z nekim grafičnim prikazom (npr. zvezni trak) še težave, lahko uporabimo nižji nivo abstrakcije, na primer žetončke. Na hitro ponovimo, kaj lahko počnemo z matematičnimi izrazi.
Računske izraze (vsebujejo le številke, ki jim učeno rečemo koeficienti oziroma številski faktorji) izračunamo. Rešitev takega izraza je številka. Algebrske izraze (poleg številk vsebujejo tudi črke oziroma spremenljivke) pa lahko:
Na Twitter profilu matematika Matta Enlowa smo našli zanimivo objavo, ki povezuje znanje o izrazih, enačbah, ničlah funkcij in presečiščih grafa funkcije z abscisno (x) osjo. Za lažjo predstavo ga razložimo na primeru izraza v obliki polinoma (v našem primeru druge stopnje): p(x)=x²-x-6 Če polinom razstavimo, dobimo produkt linearnih faktorjev (v oklepajih, v našem primeru sta dva): p(x)=(x-3)(x+2) Če polinom izenačimo z 0, dobimo enačbo: (x-3)(x+2)=0 Rešitve te enačbe so hkrati ničle polinoma (v našem primeru sta dve): x₁=3 x₂=-2 O povezavi med produkti linearnih faktorjev in ničlah polinoma smo pisali že tule. Za polinom lahko rečemo, da je vrsta funkcije, ki jo dobimo s seštevanjem in množenjem. V razstavljeni obliki smo jo že zapisali: f(x)=(x-3)(x+2) Če funkcijo izenačimo z 0, dobimo ničle funkcije, ki so enake rešitvam enačbe: x₁=3 x₂=-2 Funkcijo lahko ponazorimo z njenim grafom: Točke, kjer graf seka abscisno (x) os koordinatnega sistema, imenujemo presečišča z x osjo. Vrednosti na x osi, kjer so presečišča, sovpadajo z rešitvami enačbe oziroma ničlami funkcije.
Omenjeno znanje z določenimi prilagoditvami in omejitvami lahko razširimo na vse izraze, ne le polinome. "Karkoli na nič" je vedno 1:
1⁰ = 2⁰ = 3⁰ ... = 1 "Nič na karkoli" pa je vedno 0: 0¹ = 0² = 0³ = ... = 0 Situacija okoli "nič na nič" pa je nekoliko bolj zakomplicirana. Razjasni vam jo tale video. (vir: Brilliant.org) Ko je govora o matematiki, omenjena dva izraza slišimo velikokrat.
Naj vam na kratko pojasnimo, kaj spada pod vsakega izmed njiju:
Vir: Wikipedia Verjeli ali ne, vse to lahko "vržemo v isti koš"... Pa pojdimo lepo po vrsti... Omejimo se na enostavna (dvočlena) razmerja, ki podajajo odnos med dvema količinama (oziroma veličinama, če vam je ljubše "tehnično" izražanje). Razmerje zapišemo v obliki količina1:količina2. Enostavno ga lahko ponazorimo z rezultatom hokejske tekme: Jesenice:Olimpija = 2:1 Levo je razmerje količin (neke vrste legenda), desno pa razmerje enot. Pojem sorazmerje pa uporabimo takrat, kadar želimo povedati, da sta dve razmerji enaki, recimo Jesenice:Olimpija = Triglav:Slavija = 2:1 Po domače povedano, Jesenice so ravno toliko boljše od Olimpije, kot je Triglav boljši od Slavije.
Količine običajno niso vedno enake, ampak se njihove vrednosti spreminjajo. Glede na to, v kakšnem medsebojnem odnosu sta opazovani količini, delimo sorazmerja v dve skupini:
Iskanje neznane količine, ki je v premem ali obratnem sorazmerju s podano količino, imenujemo sklepni račun. Sedaj pa med zgoraj povedano uvrstimo še pojem podobnost:
Tole bom poskusil razložiti s čim manj enačb.
Najprej razlika med omenjenimi pojmi:
Sledijo najpogostejši primeri:
Kasneje dodam še nekaj enačb, ker brez njih se na žalost ne da ničesar izračunat. Bodo pa enostavne kar se da. |