V osnovni šoli se v glavnem učimo, da ulomek predstavlja del celote in ga zapišemo kot količnik dveh celih števil. Pa je to vse, kar lahko povemo o njih?

V strokovni literaturi najdemo več interpretacij ulomkov, oziroma splošneje, racionalnih števil. Susan J. Lamon jih v knjigi »Teaching Fractions and Ratios for Understanding«  navaja kar pet:

• del celote,
• merska enota,
• računska operacija,
• količnik (kvocient) ali kot
• razmerje

Za lažjo predstavo si jih oglejmo na primerih:

• Če smo imeli 5 evrov in smo 4 zapravili, je 4/5 del celotnega zneska, po drugi strani pa smo prihranili 1/5 celotnega zneska.
• Če družina vsak dan porabi 3/4 litra mleka, to količino lahko obravnavamo kot mersko enoto in jo kot tako lahko prikažemo tudi na številskem traku. Če ima merska enota v števcu vrednost 1, je zadeva še enostavnejša, saj »merimo« s preprostim preštevanjem: ena četrtina, dve četrtini, tri četrtine ... ali pa ena ¼, dve ¼, tri ¼ ... Posebna primera takih merskih enot sta odstotek (1/100) in promil (1/1000).
• 2/3 od 15 jabolk izračunamo tako, da jabolka najprej razdelimo na 3 enake dele, nato pa vzamemo 2 od njih. 2/3 je v tem primeru računska operacija, ki vključuje množenje in deljenje. Na tem mestu lahko opazimo tudi povezavo s prejšnjo alinejo - če 1/3 jabolk vzamemo za mersko enoto, sta 2/3 dve taki enoti.
• Če 3 čokolade (enakomerno) razdelimo med 5 otrok, nam količnik preprostega računa deljenja 3:5 pove, kolikšen delež dobi vsak izmed njih. Količnik poleg ulomka zapišemo lahko tudi v obliki decimalnega števila ali odstotka.
• Rezultat nogometne tekme 1:2 nam pove razmerje med številom golov, ki jih je dosegla posamezna ekipa, ampak pozor! 1:2 je razmerje, ni pa ulomek! Gre namreč zgolj za primerjavo dveh številskih vrednosti oziroma količin in ne dela proti celoti. Vsak ulomek torej predstavlja razmerje, vsako razmerje pa ne predstavlja ulomka. Ulomek je denimo del(ež) proti celoti (npr. 1 gol prve ekipe proti 3 skupno doseženim golom na tekmi), ne pa celota proti del(ež)u ali en del(ež) proti drugemu del(ež)u (npr. rezultat nogometne tekme). Ne nazadnje imenovalec ulomka ne sme biti 0, medtem ko se pri športu lahko hitro zgodi, da kakšna od ekip ne doseže nobene točke.

S pogledom na racionalna števila z različnih zornih kotov in iskanjem povezav med njimi si lahko olajšamo reševanje marsikatere problemske naloge, omenjena tema pa je primerna tudi za »razredno debato«, od katere bodo učenci odnesli veliko več, kot od učenja na pamet iz zvezka ali učbenika.

Če koga zanima še kaj več o tem, si lahko posluša odličen podcast Pam Harris in Kim Montague na to temo.

Marsikomu se je že zgodilo, da je v matematiki zamešal pojma lastnost (značilnosti, karakteristika) in odnos (zveza, relacija).

O lastnosti  običajno govorimo takrat, ko nekoga ali nekaj opisujemo, na primer:

• Jože je zelo preudaren gospodar.
• Moj avto ima 100 konjskih moči.
• ipd.

Enako je pri matematiki:

• Trikotnik ima tri stranice.
• Število 4 ima  tri deljitelje.
• ipd.

O odnosu pa govorimo, ko iščemo povezave med več ljudmi, stvarmi ali pojmi, na primer:

• Jože in Zdravko sta dobra prijatelja.
• Tole motorno olje zelo blagodejno vpliva na motor mojega avtomobila.

In prav tako pri matematiki:

• Trikotnik ABC in kvadrat BCDE imata eno stranico skupno.
• Najmanjši skupni večkratnik števil 2 in 3 je 6.​

Računi "na koliko" predstavljajo uvod v reševanje enačb, ki velja za eno temeljnih matematičnih veščin. Zato je zelo pomembno, da jih učenci dejansko razumejo in se jih ne učijo na pamet, kamoli uporabljajo različne "trike", kjer čez nekaj časa ne vemo več ali je plus ali minus, kaj se od česa odšteje itd. 

Pri teh računih nam lahko močno pomaga tudi vizualna predstava, predvsem pri pretvarjanju v "običajen" račun - tak, ki ima neznanko na svoji strani enačaja. S tem namenom je na spodnjih slikah vsakemu tipu računa dodan grafičen element v obliki dvojnega traka, pri katerem dolžina najdaljšega dela traka ustreza vsoti krajših delov. Med zgornjim in spodnjim delom velja torej enakost, tako kot v enačbi.

Seštevanje

Namig: Če ne vemo, katero število postaviti v najdaljši del traku, pomislimo, da je pri računu seštevanja na eni strani enačbe vedno vsota števil z druge strani enačaja in ker ta števila seštejemo med seboj, je vsota vedno največje število. V najdaljšem delu traku je torej število, ki v enačbi stoji na svoji strani enačbe. Logično, saj le-to zaseda celotno dolžino traku.

Odštevanje

Na hitro ponovimo, kaj lahko počnemo z matematičnimi izrazi.

Računske izraze (vsebujejo le številke, ki jim učeno rečemo koeficienti oziroma številski faktorji) izračunamo. Rešitev takega izraza je številka.

Algebrske izraze (poleg številk vsebujejo tudi črke oziroma spremenljivke) pa lahko:

• poenostavimo (na koncu dobimo "kačo" členov, med katerimi so plusi in minusi)
• razstavimo (na koncu dobimo le en člen, ki je običajno sestavljen iz zmnožka oklepajev)
• najprej poenostavimo in potem še razstavimo.

Če pa spremenljivkam dodelimo številske vrednosti, algebrski izraz postane računski in ga lahko izračunamo.

Na Twitter profilu matematika Matta Enlowa smo našli zanimivo objavo, ki povezuje znanje o izrazih,  enačbah, ničlah funkcij in presečiščih grafa funkcije z abscisno (x) osjo.

Za lažjo predstavo ga razložimo na primeru izraza v obliki polinoma (v našem primeru druge stopnje):

p(x)=x²-x-6

Če polinom razstavimo, dobimo produkt linearnih faktorjev (v oklepajih, v našem primeru sta dva):

p(x)=(x-3)(x+2)

Če polinom izenačimo z 0, dobimo enačbo:

(x-3)(x+2)=0

Rešitve te enačbe so hkrati ničle polinoma (v našem primeru sta dve):

x₁=3
x₂=-2

O povezavi med produkti linearnih faktorjev in ničlah polinoma smo pisali že tule.

Za polinom lahko rečemo, da je vrsta funkcije, ki jo dobimo s seštevanjem in množenjem. V razstavljeni obliki smo jo že zapisali:

f(x)=(x-3)(x+2)

​Če funkcijo izenačimo z 0, dobimo ničle funkcije, ki so enake rešitvam enačbe:

x₁=3
x₂=-2

Funkcijo lahko ponazorimo z njenim grafom:

"Karkoli na nič" je vedno 1:

1⁰ = 2⁰ = 3⁰ ... = 1

"Nič na karkoli" pa je vedno 0:

0¹ = 0² = 0³ = ... = 0

Situacija okoli "nič na nič" pa je nekoliko bolj zakomplicirana.
Razjasni vam jo tale video. (vir: Brilliant.org)

Ko je govora o matematiki, omenjena dva izraza slišimo velikokrat.

Naj vam na kratko pojasnimo, kaj spada pod vsakega izmed njiju:

• Aritmetika obravnava zgolj konkretna števila in računske operacije med njimi (seštevanje, odštevanje, množenje in deljenje). Primer: 2+3=5
• v algebri pa konkretna števila nadomeščajo spremenljivke (označujemo jih s črkami). S tem se nam odpre neskončno možnosti za "igranje" s števili, saj vsaka spremenljivka lahko predstavlja katerokoli številsko vrednost. Ker nismo več omejeni na posamezna števila, lahko v okviru algebre zapišemo splošne zakone aritmetike, enačbe itd. Primer: a⋅b=b⋅a (velja za katero koli vrednost a in b)

Vir: Wikipedia