Ker pisno deljenje velja za postopek, v knjigah in na spletu mrgoli "kuharskih receptov" z vrstnim redom opravil, ki ga je potrebno dosledno upoštevati, če ne želimo npr. bankrotirati, ko bomo 100 evrov med 10 sodelavcev razdelili tako, da bomo vsakemu dali 1000 evrov. ;) Tako kot življenje pa ne poteka vedno "po ravni črti", se tudi pri pisnem deljenju včasih kje ustavi. In če znamo zgolj postopek na pamet, je račun potrebno prečrtati in začeti znova. "Tekoče znanje matematike" namreč ne pomeni, da znamo vse postopke na pamet, ampak je to sposobnost, da se "izmotamo iz težav", ko naletimo nanje. Recimo, da pozabimo korak postopka ali pa se pri prejšnjem koraku zmotimo. Takrat nam po glavi začnejo rojiti različna vprašanja in zaželimo si, da bi imeli ob sebi nekoga, ki bi ga lahko prosili za pomoč. S tem namenom sem tokratni članek oblikoval v obliki vprašanj in odgovorov. Upam, da vam bo v pomoč. :) Koliko števk deljenca (na levi) moram vzeti za prvi izračun? Ravno prav. :) Pojdimo lepo po vrsti, pri tem pa si pomagajmo s primerom na sliki. Kot vemo, je deljenje enako ulomku in ulomek s števcem, manjšim od imenovalca, je manjši od 1. V okviru celih števil je to 0 (v minus ne gremo). Če bi torej vzeli premalo števk (v našem primeru le prvo ali prvi dve), bi bil rezultat deljenja manjši od 1 in prva števka količnika (desno od enačaja) bi bila 0. S tem sicer ni nič narobe, a je brez smisla, saj ničel pred števili ne pišemo. Tudi preveč števk (npr. prve štiri) ne bi bila dobra rešitev, saj bi bilo računanje preveč zahtevno, s čimer bi algoritem izgubil smisel. V našem primeru je torej najbolje izbrati tri števke, s čimer je celoštevilski rezultat prvega deljenja enomestna vrednost (1, 2, 3 ... ali 9), v našem primeru 6. Ta vrednost je hkrati tudi prva števka rezultata (količnika) in jo bomo bomo zapisali desno od enačaja, kar bo razvidno v nadaljevanju. Zakaj moram zaokrožati števila? Zato, ker večmestna števila delimo lažje, če so le-ta večkratniki potenc števila 10 (imajo na desni strani eno oziroma več ničel). Ker deljenje predstavlja ulomek, lahko posamezno število zapišemo kot zmnožek nekega števila in potence števila 10, nakar te potence enostavno okrajšamo. V primeru na sliki deljenec 123 zaokrožimo na 120, delitelj 21 pa na 20. Ker velja 120 = 12 · 10 in 20 = 2 · 10, lahko 10 enostavno okrajšamo in dobimo nov račun 12 : 2, za kar pa vemo, da je enako 6. Zakaj moram pri računu deljenja množiti? Algoritem je zasnovan tako, da lahko računamo s približki in oceno (po domače povedano »na palec«), kar nam sicer olajša delo, a za točen rezultat moramo pri vsakem koraku narediti preverjanje, za koliko smo pri ocenjevanju rezultata zmotili oziroma, po domače, »udarili mimo«. :) Pogrešek pri deljenju preverimo z množenjem, ker pa množenje velja za nasprotno računsko operacijo od deljenja, ju izvedemo v nasprotnih smereh. Enostavno si lahko zapomnite, da »delimo v smeri računanja (z leve), množimo pa z nasprotne smeri (z desne)«. V našem primeru smo za račun deljenja uporabili »števili z leve« (123 in 21 oziroma njuna približka 120 in 20), za račun množenja pa »števili z desne« (21 in 6). 120 : 20 oziroma 12 : 2 nam da količnik 6. Z množenjem delitelja (21) in tega količnika (obarvana rožnato) preverimo, če je bila naša ocena pravilna. 21 · 6 = 126, kar je več od 123, torej smo se pri ocenjevanju zmotili. Kaj pa sedaj? Odgovor na to najdete v nadaljevanju, na tem mestu zgolj razlaga, zakaj to presneto množenje. ;) Kako vem, da je števka količnika, ki sem jo zapisal v posameznem koraku deljenja, pravilna? Rezultat »množenja nazaj« v posameznem koraku vedno primerjamo s »trenutnim« deljencem. Pozor! To ni celotni deljenec, ampak le določene števke le-tega (na sliki so označene z modro barvo):
V našem primeru smo najprej »naračunali« preveč (21 · 6 je enako 126, kar je več od 123, označeno z modro), zato smo števko količnika morali zmanjšati za 1 (iz 6 na 5) in še enkrat izračunati račun množenja. Zmnožek 21 · 5 je enak 105, kar je manj od »trenutnega deljenca« (123), razlika med 123 in 105, ki je enaka 18, pa je tudi manjša od delitelja (21), zato je števka količnika v tem koraku pravilna, torej 5. Kako najlažje pridem do vrednosti, ki jo je potrebno podpisati na levi strani? Že v prejšnjem poglavju smo ugotovili, da je razlika med zmnožkom »množenja nazaj« (105) in »trenutnega« deljenca (123) enaka 18, nismo pa povedali, kako do te razlike najlažje pridemo. Na sliki je prikazana strategija s približevanjem preko »okroglih« števil (angl. under strategy). Za okrogla števila štejemo večkratnike potenc števila 10, v angleškem jeziku zanje pogosto slišimo izraz »friendly numbers«. Namesto te strategije bi lahko uporabili tudi strategijo s prištevanjem »okroglega« števila in vračanjem nazaj (angl. over strategy): 123 + 20 - 2. Omenjen način je marsikomu mogoče nekoliko neobičajen, saj je navajen »klasičnega« računa odštevanja v stolpcu (123 - 105), ampak omogoča veliko boljši vpogled v sam koncept pisnega deljenja. Saj se tudi vprašamo ponavadi: »Koliko od 105 manjka do 123?« in ne: »Koliko je 123 minus 105?« :) Kako pravilno podpisujem? Pri podpisovanju si zapomnite predvsem to, da enico podpisanega števila zapišete točno pod enico »trenutnega deljenca«. V našem primeru to pomeni 8 (enica števila 18) pod 3 (enica števila 123). Za lepši in bolj sistematičen izgled je seveda dobro zapisati tudi desetice pod desetice, stotice pod stotice itd., a za opisani način reševanja s pomočjo številskega traka to ni bistveno. Pri prvem podpisovanju si lahko pomagamo tudi s »kaveljcem«, ki označuje konec »trenutnega deljenca« (v našem primeru stoji med števkama 3 in 4 deljenca), pri podpisovanjih, ki sledijo, pa pazimo na to, da gremo v vsakem koraku za eno mesto v desno. Zakaj pa moramo paziti na to, da so enice pod enicami? Zato, ker bomo naslednjem koraku na desno stran podpisanega števila dodali naslednjo števko deljenca (v našem primeru je to števka 4), s čimer bomo dobili nov »trenutni deljenec«. In če je podpisana vrednost zamaknjena v levo ali v desno, se nam lahko zgodi, da bomo na desni strani dopisali napačno števko (v našem primeru 3 ali 5), kar za naš račun ne pomeni nič dobrega. Več o tem povem v naslednjem poglavju o »padajočih števkah«. :) Kaj pri pisnem deljenju »pada dol«? Podpisovanju razlike med zmnožkom »množenja nazaj« in »trenutnega deljenca« vedno sledi dodajanje naslednje števke deljenca na desno stran te razlike, s čimer dobimo »trenutni deljenec« za naslednji korak deljenja. Ste kaj razumeli? Brez skrbi, z razlago ob primeru bo lažje. ;) V našem primeru je razlika med zmnožkom »množenja nazaj« (21 · 5 = 105) in »trenutnega deljenca« (123, na rumenem polju do rdečega »hakeljca«) enaka 18. Kot je bilo rečeno že prejšnjem poglavju, pazimo, da je enica te razlike (8) točno pod enico trenutnega deljenca (3). Po domače rečeno »se držimo desnega robu rumenega polja«. Celotni deljenec je v našem primeru enak 12345, »trenutni deljenec« (v prvem koraku) pa predstavljajo njegove prve tri števke (123, v rumenem polju do »hakeljca«). Naslednja števka deljenca je tako (v prvem koraku) 4, ki prva sledi »hakeljcu«. Za lažjo predstavo ta števka leži na modri podlagi. To števko (4) nato dodamo na desno stran razlike (18), po domače lahko rečemo, da 4 »pade dol«. Za lažjo predstavo je pot padanja obarvana modro. Ko 18 in 4 »sestavimo skupaj«, dobimo »trenutni deljenec« za naslednji korak, to je 184. Tega nato delimo z 21 in tako naprej ... Kdaj je podpisovanja konec? Predpostavimo, da želimo rezultat zapisati v obliki celoštevilskega količnika in ostanka. S postopkom, opisanim v prejšnjem koraku, nadaljujemo toliko časa, da »pade dol« še zadnja števka celotnega deljenca, s čimer dobimo naš zadnji »trenutni deljenec«. Deljenje zadnjega »trenutnega deljenca« z deliteljem nam da še zadnjo števko količnika in ostanek. V našem primeru je celotni deljenec enak 12345, torej je njegova »zadnja števka« 5. To zapišemo desno od razlike 16, ki smo jo podpisali pod prejšnji »trenutni deljenec« 184. Naš zadnji »trenutni deljenec« je tako 165. Za količnik 165 : 21 smo ocenili vrednost 7. Ta postane zadnja števka količnika (587). Razlika med zmnožkom »množenja nazaj« (21 · 7 = 147) in »trenutnim deljencem« (165) pa je enaka 18. Ta razlika je naš ostanek, saj – po domače - »nima več kaj dol pasti«. V primeru, da želimo rezultat zapisati v obliki decimalnega števila, za zadnjo zapisano števko delitelja zapišemo decimalno vejico in s postopkom nadaljujemo vse dokler je razlika med zmnožkom »množenja nazaj« in »trenutnim deljencem« različna od nič. To lahko traja tudi »v neskončnost«, zato je včasih potrebno na neki decimalki rezultat zaokrožiti. Več o tem postopku povem kdaj drugič. ;) Kako vem, da je rezultat pravilen (oziroma vsaj smiseln)?
Marsikdo od nas je verjetno že kdaj na testu oddal kakšno »neumnost«, recimo rezultat za premer atoma, merjen v centimetrih. :) V izogib takim spodrsljajem je dobro izračun preveriti oziroma rezultat oceniti »na palec«, bodisi pred zapisom končnega odgovora ali pa že na začetku, da vemo, kaj pričakovati. Pri računu deljenja to lahko storimo zelo enostavno tako, da deljenec zaokrožimo na dve, delitelj pa na eno številsko mesto (več o zaokroževanju si lahko preberete tule), okrajšamo odvečne ničle in izračunamo »kar ostane«. Zakaj zaokrožati na tak način? Zato, ker s tem dobimo preprost račun deljenja dvomestnega števila z enomestnim, katerega lahko enostavno rešimo že s poznavanjem poštevanke in nekaj »premetavanja« ničel. V našem primeru deljenec 12345 zaokrožimo na 12000 (številska mesta štejemo od leve proti desni), delitelj pa na 20. Ker je deljenje isto kot ulomek, zadnji ničli lahko enostavno »okrajšamo« in dobimo račun 1200 : 2, katerega rezultat je 600. Račun deljenja »iz poštevanke«, ki ga moramo pri tem izračunati, je 12 : 2, kar je enako 6, ničli v deljencu pa se »preneseta« na količnik.
0 Comments
Računanja pri matematiki marsikdo ne mara, medtem ko je geometrija, vzorci, marsikje tudi logika in kombinatorika med bolj priljubljenimi.
Tudi za določanje največjega skupnega delitelja (z VELIKO črko D ga označimo zato, ker je NAJVEČJI) obstaja "neračunska" metoda in sicer s pomočjo vzorcev. Navodilo je preprosto, oglejmo si ga na primeru iskanja največjega skupnega delitelja števil 20 in 30:
Omenjeno metodo lahko uporabimo tudi za iskanje največjega skupnega delitelja več števil. Množenje Množenje dveh števil, od katerih eno vsebuje decimalno vejico, drugo pa je večkratnik desetiške enote (po domače: konča se z ničlami), si lahko poenostavimo s tem, da decimalna mesta in ničle "kompenziramo". Kompenzacija lahko poteka v eno ... ... ali pa v drugo smer: Matematično ozadje je preprosto. Če neko število (v našem primeru produkt a ∙ b) delimo z 10 (premik decimalne vejice v levo) in nato še množimo z 10 (premik decimalne vejice v desno), dobimo seveda isto število. Predstava bo še lažja s pomočjo primera:
Deljenje Pri deljenju pa se decimalna mesta in ničle za razliko od množenja ne "kompenzirajo" ampak se premik decimalne vejice naredi pri deljencu in delitelju v isto smer. Če deljenec ali/in delitelj vsebuje decimalno vejico, naredimo premik v desno za toliko mest, da sta tako deljenec kot delitelj celi števili: Če ob tem deljencu ali delitelju "zmanjka" decimalnih mest, mu ob vsakem premiku na desno dodamo eno ničlo (več o tem v primerih, ki sledijo). Če pa je deljenec ali/in delitelj večkratnik desetiške enote (po domače: ima na desni strani eno ali več ničel), hkrati odvzamemo obema toliko ničel na desni, da vsaj eden izmed njiju ni več večkratnik desetiške enote (po domače: ima na mestu enic števko, različno od 0): Oglejmo si dva primera. V prvem delimo število 10 z 0,2.
V drugem primeru pa število 600 delimo s 30.
Glede na to, da je ena izmed interpretacij ulomkov razmerje, bi ulomke lahko krajšali in razširjali oziroma pretvarjali na določeni števec ali imenovalec tudi s tabelo razmerij (angl. ratio table). Preden si ogledamo nekaj primerov, najprej razmislek v povezavi z izrazoma krajšanje in razširjanje ulomkov. Pam Harris, predavateljica na Teksaški univerzi, avtorica številnih knjig in promotorka poučevanja t.i. »prave matematike« (angl. »real math«) me je opozorila, da je primernejši izraz za hkratno deljenje števca in imenovalca z istim številom poenostavljanje, saj vrednost ulomka po »krajšanju« ni nič manjša kot prej. Tudi »razširjanje ulomka« bi bilo po tej analogiji bolje imenovati pretvorba ulomka na določeno vrednost števca oz. imenovalca. Primer 1: poenostavi ulomek 180/300:
Števec in imenovalec smo dvakrat razpolovili (deljenje ulomka z 2), nato pa ju delili s 3 in nazadnje s 5. Primer 2: pretvori ulomek na vrednost števca 18:
Števec in imenovalec smo trikrat podvojili (množenje ulomka z 2), nato pa sešteli vrednosti v prvem in četrtem stolpcu s številkami (2+16=18, 3+24=27). Pozor! Tu ne gre za seštevanje ulomkov 2/3 in 16/24! Pomislimo na reševanje sistemov enačb (metoda nasprotnih koeficientov) ... Pri takem sklepanju se osredotočimo na števec, a ne pozabimo na imenovalec! Primer 3: pretvori ulomek na vrednost imenovalca 100:
Števec in imenovalec smo podvojili, nato pa smo ju pomnožili še z 10.
Pri takem sklepanju se osredotočimo na imenovalec, a ne pozabimo na števec! Za konec pa še odgovor na vprašanje: »Zakaj je pretvarjanje ulomkov sploh potrebno?« V tem najdemo vsaj dva smisla. Zakaj poenostavljamo, nam pove že samo ime – zato, da je ulomek enostavneje zapisati, ga prebrati, si ga zapomniti ... Pretvarjanje na določeno vrednost imenovalca, točneje na potence števila 10, pa nam pomaga pri pretvorbi ulomka v decimalno število ali odstotek. Smisla pretvarjanja na določeno vrednost števca pa do danes še nisem našel, čeprav v učbenikih najdemo tudi take naloge. :) Od kod izvira poimenovanje za "racionalna števila"?
Ne, izraz nima zveze z razumom ali premišljenostjo (razlaga v SSKJ), čeprav pri matematiki to pride še kako prav, :) ampak izvirajo iz drugega pomena latinskega izraza ratio, ki pomeni računanje, delo s števili, izvajanje postopka ... V angleščini "ratio" pomeni razmerje, ta beseda pa se skriva tudi v definiciji racionalnih števil, saj gre za števila, ki jih lahko izrazimo kot razmerje dveh celih števil. Za "firbčne" je tule še nekaj povezav: Marsikdo si težko zapomni, da ima množenje (in deljenje) prednost pred seštevanjem (in odštevanjem). Predstavljajmo si, da se v testu pojavi račun 3∙6+5∙4. Ker smo itak živčni, pozabimo katera računska operacija ima prednost. Seštevanje ali množenje? Iz zagate nas reši grafični model računa: Če izraz zapišemo (ali pa si ga zgolj predstavljamo) v grafični obliki (v našem primeru 3 vrste po 6 in 4 vrste po 5), vidimo, da vse elemente (npr. kvadratke) preštejemo tako, da najprej izračunamo polji (računa na krat), nato pa vse skupaj še seštejemo.
Za konec pa še izziv za vas. Kako bi grafično predstavili račun 8∙7-6∙5? Kaj pa 9∙5-6∙7? (V prvem primeru kvadratke modrega pravokotnika dimenzij 6∙5 položimo na rdeči pravokotnika dimenzij 8∙7. Preostanek rdečega pravokotnika je rezultat. V drugemprimeru storimo enako, le da je potrebno kvadratke modrega pravokotnika nekoliko preoblikovati, da "pašejo" na rdeč pravokotnik.) »Hm«, boste rekli, »a nismo v šoli rekli, da velja zgolj za seštevanje in množenje? Ja. In ne. :) Če odštevanje obravnavamo strogo kot odštevanje in deljenje kot deljenje, potem ne moremo splošno reči, da zanju velja zakon o zamenjavi. Če pa:
A pozor! Računsko operacijo pred številom, ki ga želimo »nesti drugam«, moramo v tem primeru »vzeti s seboj«! Oglejmo si dva primera. V prvem želimo odštevanje postaviti na konec računa, da ga bomo izvedli nazadnje. To lahko storimo, a ne pozabimo minusa pred številom 5! V drugem primeru pa želimo deljenje izvesti prej, da ne bo deljenec prevelik. Število 4 lahko postavimo takoj za 12, a ne pozabimo »s seboj nesti« tudi znaka za računsko operacijo deljenja! Da me ne boste "prijeli za besedo": V matematičnem členu po Wikipediji v členu lahko nastopata zgolj številski operaciji množenja in potenciranja. Kaj pa deljenje? Če si deljenje z nekim številom (v našem primeru s 4) predstavljamo kot množenje z ulomkom, ki ima to število v imenovalcu, števec pa enak 1 (v našem primeru 1/4), pa imamo čisto pravi člen s štirimi faktorji: 12, 2, 3 in 1/4.
O tem, kaj je distributivnost, lahko nekaj več preberete tule, mi pa si poglejmo kar primer. Izračunajmo račun 42 krat 5. Poštevanka nam tu direktno ne more pomagati, saj jo znamo le do 10 krat 10, si pa lahko pomagamo tako, da razdelimo prvi faktor na dva dela (42 razdelimo na štiri desetice in dve enici), katera potem ločeno množimo z drugim faktorjem (v našem primeru 5) in na koncu seštejemo (po distributivnostnem zakonu). Da bo vse skupaj še lažje, si izmislimo zgodbico. 🙂 Recimo, da s kladivom udarimo po večjem od števil (42), nakar to razpade v števili 40 in 2, ki ju ujamemo v roko in postavimo v oklepaj: Števil ni nujno drobiti na vrednosti pod 10, saj poštevanka zajema celoštevilske faktorje do vrednosti 10. Močno si lahko pomagamo že z razčlenitvijo na večkratnike desetiških enot. Mi smo število 42 s tem namenom razdelili na 40 (4 krat 10) in 2. Namesto množenja števil 42 in 5 bomo tako s 5 zmnožili števili 40 in 2 ločeno, rezultata množenja pa na koncu sešteli. Nadaljujmo našo zgodbico od včeraj. 😉 Petico si na primer predstavljajmo kot psa, na katerega z vsake številke v oklepaju skoči ena bolha. Vsak skok pomeni eno množenje. Prvo je 40 krat 5, drugo pa 2 krat 5: Sedaj moramo izračunati le še preprost računski izraz (ne pozabimo, da ima množenje prednost pred seštevanjem) in smo končali. 🙂 Za tak način množenja torej potrebujemo le znanje poštevanke, seštevanja in množenja z večkratniki potenc števila 10. Zakaj iz 4 ∙ 5 = 20 sledi, da je 40 ∙ 5 = 200? Preprosto. 40 ∙ 5 lahko zapišemo tudi kot 4 ∙ 10 ∙ 5 oziroma 4 ∙ 5 ∙ 10 (zakon o zamenjavi) oziroma 20 ∙ 10 (zakon o združevanju), pri množenju z 10 pa vemo, da v rezultatu "pridelamo" dodatno ničlo na desni strani (oziroma premik decimalne vejice v desno, kadar računamo z decimalnimi števili).
Na koncu še vprašanje za vas. V našem primeru smo delna zmnožka na koncu sešteli. Pri katerih številih, recimo dvomestnih, pa bi bil račun lažji, če bi uporabili odštevanje? (Kadar je enica večja od 5, npr. pri računu 48 ∙ 5.) ... oziroma uporaba logike pri uri aritmetike. Pri seštevanju ulomkov »na klasičen način« vemo, da jih moramo najprej »spraviti na skupni imenovalec«, nato pa sešteti števce le-teh. Na koncu ulomek, ki predstavlja vsoto, še okrajšamo. Kako pa bi to storili grafično? Oglejmo si račun 1/2+1/3. Ker ulomek predstavlja del celote, eno polovico lahko predstavimo tako, da celoto razdelimo na dva enaka dela in enega pobarvamo. Z eno tretjino storimo podobno, le da celoto razdelimo na tri enake dele. Kako pa bi naenkrat lahko predstavili oba ulomka? Z dvodimenzionalnim poljem oziroma tabelo. S stolpci prikažemo en ulomek, z vrsticami pa drugega. V našem primeru torej potrebujemo tabelo z dvema stolpcema in tremi vrsticami (lahko storimo tudi obratno, saj za vsoto velja zakon o zamenjavi). Modra šrafura na sliki predstavlja števec ulomka 1/2, rdeča pa števec ulomka 1/3. Sedaj pa »vklopimo logiko«. V Booleovi algebri simbol »+« pomeni disjunkcijo oziroma logični »ali«. V izjavni logiki (angl. propositional logic) to povezavo označimo z znakom »∨«, v teoriji množic pa z znakom »∪«. Poznavalci digitalnega sveta omenjeno relacijo prepoznajo tudi v znaku »∥« ali zgolj angleškem izrazu »OR«. Kaj to pomeni za našo tabelo s prikazom ulomkov? S pomočjo uporabe logike lahko iz nje neposredno zapišemo rezultat našega računa. Ker ima tabela 6 polj, je imenovalec vsote enak 6, saj gre za celoto, razdeljeno na 6 (enakih) delov. Kaj pa števec? Ker imamo logično relacijo »ali«, moramo prešteti vsa polja, ki so šrafirana ali modro ali rdeče. Eno polje je šrafirano z dvema barvama, torej ga moramo šteti dvakrat. Imamo torej eno modro, dve rdeči in eno dvobarvno šrafirano polje, skupaj torej 1+2+2 oziroma 5 polj. Števec je torej 5, kar pomeni, da je vsota enaka 5/6. Pri množenju ulomkov »na klasičen način« pa zmnožimo tako števce kot imenovalce ter okrajšamo, »kar se da«. Za primer uporabimo ista ulomka, le da ju tokrat zmnožimo. Iščemo torej produkt 1/2 · 1/3. Ulomka predstavimo na povsem enak način kot pri seštevanju, le rezultat bomo prebrali drugače. Zopet imamo torej tabelo z 2 stolpcema in 3 vrsticami, kjer modra šrafura predstavlja števec ulomka 1/2, rdeča pa števec ulomka 1/3. Ponovno »vklopimo logiko«. V Booleovi algebri simbol »*« pomeni konjunkcijo oziroma logični »in (hkrati)«. V izjavni logiki to povezavo označimo z znakom »∧«, v teoriji množic pa z znakom »∩«. Poznavalci digitalnega sveta omenjeno relacijo prepoznajo tudi v znaku »&« ali zgolj angleškem izrazu »AND«. S pomočjo naše tabele zapišimo še rezulat. Ker ima tabela 6 polj, je tudi tu imenovalec vsote enak 6, saj gre za celoto, razdeljeno na 6 (enakih) delov. Pri števcu pa bo nekoliko drugače. Ker imamo logično relacijo »in hkrati«, moramo prešteti vsa polja, ki so šrafirana tako modro kot rdeče. Tako je le eno polje, kar pomeni, da je števec enak 1. Zmnožek ulomkov 1/2 in 1/3 je torej enak 1/6. Omenjena metoda je mogoče nekoliko daljša od »klasične«, saj je tu in tam potrebno kakšen rezultat še dodatno okrajšati, nam pa omogoča zelo dober vpogled v koncept računanja z ulomki, česar nam »piflarski« postopki ne nudijo.
Ste pogrešili odštevanje in deljenje? Odštevanje je »pokrito« s prištevanjem nasprotne vrednosti, deljenje pa z množenjem z obratno vrednostjo. Na koncu pa še vprašanje za vas. Kako bi grafično predstavili vsoto oziroma zmnožek treh ulomkov? Vedno bolj se zavedamo, da je vizualizacija zelo pomembna za razumevanje matematičnih zakonitosti. Pa tudi kakšnih drugih. Ampak, ostanimo zaenkrat pri matematiki. Konkretneje, pri osnovnih računskih operacijah. Načinov za vizualno predstavitev seštevanja, odštevanja, množenja in deljenja je kar veliko, zato smo včasih v dilemi, katerega uporabiti. Seveda je najbolje, da si vsakdo izbere takega, ki ustreza prav njemu, a vseeno je nekje potrebno začeti. ;) Sam ponavadi začnem z dvema modeloma oziroma didaktičnima pripomočkoma (če ju imamo na voljo v fizični obliki), to sta:
Glavna razlika med trakom in ploščicami je dimenzija. Trak se razteza le v eni smeri, medtem ko je polje ploščic dvodimenzionalno. Če trakove zlagamo enega za drugim, nam celotna dolžina take »kače« predstavlja vsoto posameznih trakov, s čimer ponazorimo seštevanje. Če trakove zlagamo vzporedno, pa jih med seboj lahko primerjamo. Se sprašujete, kje smo izgubili odštevanje? ;) Odštevanje najlažje ponazorimo z razliko med dolžinama dveh trakov. Kljub temu, da ne govorim o merjenju, ampak o računanju, sem že dvakrat omenil dolžino. Malo iz navade, malo pa nalašč. ;) Seštevanje in odštevanje si namreč v naravi najlažje predstavljamo prav z merjenjem razdalje. Če na primer najprej prehodim 3 kilometre, nato pa še 2, sem skupaj prehodil 3+2, torej 5 kilometrov (seštevanje, vsota). Če je sosednja vas oddaljena 6 kilometrov, pa moram do nje prehoditi še 6-5, torej 1 kilometer (odštevanje, razlika). Kaj pa množenje in deljenje? Za množenje vemo, da predstavlja seštevanje več enakih števil hkrati, lahko bi mu rekli tudi »turbo seštevanje«. :) Zakaj bi recimo preštevali 56 rozin, ko pa jih lahko zložimo v 7 vrstic po 8 ali 8 vrstic po 7 rozin? Ja, 7 krat 8 je isto kot 8 krat 7, le gledamo nekoliko z druge perspektive. In ja, govorimo o poštevanki. :) Poštevanka ni nič drugega kot vsi možni računi množenja s faktorji od 1 do 10. In če želimo pri računanju imeti »doživljenjski turbo pogon«, se jo je dobro dobro naučiti. Ja, dobro je zapisano dvakrat, ne gre za slovnično napako. :)
Pri deljenju pa imamo prav tako opravka z več enakimi števili, le da jih tu ne seštevamo, ampak neko večje število razdelimo na več enakih manjših števil. Včasih to (v množici celih števil) ni mogoče, zato govorimo o deljenju z ostankom. Pri deljenju z ostankom eno od števil vedno »nasrka«, saj je manjše od ostalih. Saj poznate tisto, trije starejši bratje in četrti »mulc«, ki je komaj iz plenic ... nikoli nima prav. ;) Glede na povedano množenje torej najlažje predstavimo z zlaganjem v stolpce in vrstice. Kaj pa bi zlagali? Ploščice. Ali, če želite, polagali, tako kot tiste v kopalnici. ;) Z deljenjem pa te ploščice razdelimo, podolgem ali počez. |
ARHIV
December 2023
KATEGORIJE
All
|